2.3.1 离散型随机变量的均值.pptx

1、-1- 2 2.3 3 离散型随机变量的均值与方差 -2- 2 2.3 3.1 1 离散型随机变量的均值 -3- 2.3.1 离散型随机变量的均值 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.能记住离散型随机变量的均值的意义,会根据 离散型随机变量的分布列求出均值. 2.能记住离散型随机变量的均值的性质,能记住 两点分布、二项分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机 变量的取值水平,解决一些相关的实际问题. -4- 2.3.1 离散型随机变量的均值 J

2、ICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.离散型随机变量的均值 (1)定义:一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称 E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望. (2)意义:离散型随机变量 X 的均值或数学期望反映了离散型随机变量 取值的平均水平. (3)性质:如果 X 为离散型随机变量,则 Y=aX+b(其中 a,b 为常数)也是随 机变量,且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. -5- 2.3

3、.1 离散型随机变量的均值 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系? 提示:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均 值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化,对于简单随机抽样,随着样 本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值. -6- 2.3.1 离散型随机变量的均值 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.两点分布、二项分布的均值 (1

4、)若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)=P; (2)若随机变量 X 服从二项分布 XB(n,p),则 E(X)=np. 思考 2一名射手每次射击中靶的概率均为 0.8,则每射击 3 次 中靶次数 X 的均值为( ) A.0.8 B.0.83 C.3 D.2.4 提示:射手独立射击 3 次中靶次数 X 服从二项分布,即 XB(3,0.8), 所以 E(X)=30.8=2.4. -7- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 求离

5、散型随机变量的均值 求离散型随机变量 的均值的步骤: (1)根据 的实际意义,写出 的全部取值; (2)求出 的每个值的概率; (3)写出 的分布列; (4)利用定义求出均值. -8- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 1】 从装有 2 个红球,2 个白球和 1 个黑球的袋中逐一取球, 已知每个球被抽到的可能性相同.若抽取后不放回,设取完红球所需的次数 为 X,求 X 的分布列及期望. 思路分析:先确定好抽取次数 X 的取

6、值,再求出对应的概率,从而得到 X 的分布列及期望. -9- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:由题意知 X 的取值为 2,3,4,5. 当 X=2 时,表示前 2 次取的都是红球, P(X=2)=A2 2 A5 2 = 1 10; 当 X=3 时,表示前 2 次中取得一红球,一白球或黑球,第 3 次取红 球, P(X=3)=C2 1C31A22 A5 3 = 1 5; 当 X=4 时,表示前 3 次中取得一红球,2 个不是红球,

7、第 4 次取红 球, P(X=4)=C2 1C32A33 A5 4 = 3 10; -10- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 当 X=5 时,表示前 4 次中取得一红球,3 个不是红球,第 5 次取红 球, P(X=5)=C2 1C33A44 A5 5 = 2 5. X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 1 10 1 5 3 10 2 5 数学期望 E(X)=2 1 10+3 1 5+4 3 10+5 2 5=4. -11- 2.

8、3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结求离散型随机变量的均值时要验证分布列的所 有概率之和是否为 1,并且真正理解每个随机变量所代表的事件. -12- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 离散型随机变量的期望的性质 若给出的随机变量 与 X 的关系为 =aX+b(其中

9、a,b 为常数),一般思 路是先求出 E(X),再利用公式 E(aX+b)=aE(X)+b 求 E(). 【典型例题 2】 某市出租车的起步价为 6 元,行驶路程不超出 3 km 时, 车费为 6 元,若行驶路程超出 3 km,则按每超出 1 km 收费 3 元计费.设出租 车行车路程X是一个随机变量,司机所收车费为Y(元),则Y=3X-3.已知出租 车在一天内行车路程可能取的值有(单位:km)200,220,240,260,280,300,它们 出现的概率分别为 0.12,0.18,0.20,0.20,0.18,0.12.求出租车行驶一天所收车 费的数学期望. 思路分析:先求出 E(X),再

10、利用 E(Y)=E(3X-3)求 E(Y). -13- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:E(Y)=E(3X-3)=3E(X)-3=3(2000.12+2200.18+2400.20+2600. 20+2800.18+3000.12)-3=3250-3=747. -14- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练

11、习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结本题利用公式 E(aX+b)=aE(X)+b,将求 E(Y)的问 题转化为求 E(X)的问题,避免了求 Y 的分布列的麻烦. -15- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 两点分布、二项分布的均值 (1)如果随机变量 X 服从两点分布,则其期望值 E(X)=P(P 为成功概 率).(2)如果随机变量 X 服从二项分布即 XB(n,P),则 E(X)=nP 直接代入求 解,从而避免了繁杂

12、的计算过程. 【典型例题 3】 某运动员的投篮命中率为 p=0.6. (1)求投篮一次时命中次数 的均值; (2)求重复投篮 5 次时,命中次数 的均值. 思路分析:第(1)问中 只有 0,1 两个结果,服从两点分布; 第(2)问中 服从二项分布. -16- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)投篮一次,命中次数 的分布列为 0 1 P 0.4 0.6 ,则 E()=p=0.6. (2)由题意,重复 5 次投篮,命中的次数 服

13、从二项分布,即 B(5,0.6). 则 E()=np=50.6=3. -17- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结对服从二项分布或两点分布的随机变量求均值, 只要利用相应公式即可,但要准确判断问题中的变量是否服从二项分布、 两 点分布. -18- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探

14、究三 探究四 探究四 易错辨析 易错点 审题不清致误 【典型例题 4】 某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决 赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行. 每位选手最多有5 次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止 其初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰.已知选手甲 答题的正确率为2 3. (1)求选手甲可进入决赛的概率; (2)设选手甲在初赛中答题的个数为,试写出 的分布列,并求 的数学 期望. -19- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础

15、知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错解:(1)选手甲答 3 题进入决赛的概率为C5 3 2 3 3 1 3 2 = 80 243; 选手甲答 4 题进入决赛的概率为C5 4 2 3 4 1 3 = 80 243; 选手甲答 5 题进入决赛的概率为C5 5 2 3 5 = 32 243; 所以选手甲进入决赛的概率为 80 243 + 80 243 + 32 243 = 192 243 = 64 81. -20- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG L

16、IANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)依题意, 的可能取值为 3,4,5,P(=3)= 2 3 3 + 1 3 3 = 1 3; P(=4)=C4 3 2 3 3 1 3 + C4 3 1 3 3 2 3 = 40 81; P(=5)=C5 3 2 3 3 1 3 2 + C5 3 2 3 2 1 3 3 = 120 243 = 40 81. 则答题个数的分布列为 3 4 5 P 1 3 40 81 40 81 E()=3 1 3+4 40 81+5 40 81 = 49 9 . -21- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首

17、 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析:(1)甲答 4 题进入决赛指的是前 3 题中答对 2 道题,答错 1 道 题,第 4 题答对.只有前 3 次答题事件满足独立重复试验,同理答 5 题进入决 赛指的是前 4 题答对 2 道题,答错 2 道题,第 5 题答对.只前 4 次答题事件满 足独立重复试验,不是对全部进行独立重复试验. (2)甲答 4 题结束比赛,指答对前 3 题中的 2 道题,第 4 题答对进入决赛, 或前 3 题中有 2 道题答错,第 4 题答错.甲答 5 题结束比赛,指答对前 4 题中 的 2

18、道题. -22- 2.3.1 离散型随机变量的均值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 正解:(1)选手甲答 3 道题进入决赛的概率为 2 3 3 = 8 27; 选手甲答 4 道题进入决赛的概率为C3 2 2 3 2 1 3 2 3 = 8 27; 选手甲答 5 道题进入决赛的概率为C4 2 2 3 2 1 3 2 2 3 = 16 81. 所以选手甲可进入决赛的概率为 8 27 + 8 27 + 16 81 = 64 81. -23- 2.3.1 离散型随机变量的均

19、值 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)依题意, 的可能取值为 3,4,5,则有 P(=3)= 2 3 3 + 1 3 3 = 1 3, P(=4)=C3 2 2 3 2 1 3 2 3 + C3 2 1 3 2 2 3 1 3 = 10 27, P(=5)=C4 2 2 3 2 1 3 2 2 3 + C4 2 2 3 2 1 3 2 1 3 = 8 27,因此,有 3 4 5 P 1 3 10 27 8 27 E()=3 1 3+4 10 27+5 8 27

20、= 107 27 . -24- 2.3.1 离散型随机变量的均值 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.随机变量 的分布列为 1 2 3 P 0.2 0.5 m 则 的数学期望是( ) A.2 B.2.1 C.2.3 D.随 m 的变化而变化 解析: 0.2+0.5+m=1, m=0.3, E()=10.2+20.5+30.3=2.1. 答案:B -25- 2.3.1 离散型随机变量的均值 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHO

21、NGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片, 设 3 张卡片上的数字之和为 X,则 X 的数学期望是( ) A.7.8 B.8 C.16 D.15.6 解析:X的取值为6,9,12,P(X=6)= C8 3 C10 3 = 7 15,P(X=9)= C8 2C21 C10 3 = 7 15,P(X=12)= C8 1C22 C10 3 = 1 15. E(X)=6 7 15+9 7 15+12 1 15=7.8. 答案:A -26- 2.3.1 离散型随机变量的均值 SUITANG LIANXI 随堂练

22、习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.同时抛掷两颗骰子,至少有一个 3 点或 6 点出现时,就说这次试验成功,则 在 9 次试验中,成功次数 的数学期望是 . 解析:由已知同时抛掷两颗骰子一次,至少有一个 3 点或 6 点出现时的概率 为 P=20 36 = 5 9, 9 次试验相当于独立重复试验 9 次,则成功次数 服从二项分 布,且 B 9, 5 9 . E()=9 5 9=5. 答案:5 -27- 2.3.1 离散型随机变量的均值 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础

23、知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.设 的分布列为 1 2 3 4 P 1 6 1 6 1 3 1 3 ,又设 =2+5,则 E()= . 解析:E()=1 1 6+2 1 6+3 1 3+4 1 3 = 1 6 + 2 6 + 6 6 + 8 6 = 17 6 . E()=E(2+5)=2E()+5=2 17 6 +5=32 3 . 答案:32 3 -28- 2.3.1 离散型随机变量的均值 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.某农场计

24、划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种 甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙.假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和 均值. -29- 2.3.1 离散型随机变量的均值 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解:随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 P(X=0)= 1 C8 4 = 1 70,P(X=1)= C4 1C43 C8 4 = 8 35, P(X=2)=C4 2C42 C8 4 = 18 35,P(X=3)= C4 3C41 C8 4 = 8 35, P(X=4)= 1 C8 4 = 1 70,所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 所以 X 的均值为 E(X)=0 1 70+1 8 35+2 18 35+3 8 35+4 1 70=2.