1.2.1 排列.pptx

1、-1- 1 1.2 2 排列与组合 -2- 1 1.2 2.1 1 排列 -3- 1.2.1 排列 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.通过实例正确理解排列的意义,能利用树形图 写出简单问题的所有排列. 2.理解和掌握排列和排列数公式,能应用排列及 排列数公式解决某些实际问题. 3.掌握几种具有限制条件的题型,如团体排列、 插空问题等,掌握解决有关排列问题的一些方 法,如直(间)接法、捆绑法,优先考虑特殊位置(元 素)等. -4- 1.2.1 排列 JICHU

2、ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.排列的相关概念 (1)定义:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素,按照一定的顺 序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)相同排列:两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同,且元 素的排列顺序也相同. 思考 1如何理解排列及相同排列的概念? 提示:排列的定义包括两个方面:取出元素;按一定顺序排列. 两个排列相同的条件:元素相同;元素的顺序也相同. -5- 1.2.1 排列 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONG

3、DIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.排列数与排列数公式 (1)排列数定义:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排 列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号n m表示. (2)排列数公式:n m =n(n-1)(n-2)(n-m+1). (3)全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元素的 一个全排列.即有n n=n (n-1) (n-2)321.就是说,n 个不同元素全部取 出的排列数,等于正整数 1 到 n 的连乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的 阶乘,用 n!表示.所以 n

4、 个不同元素的全排列数公式可以写成n n=n!.另外,我 们规定 0!=1.所以n m = n! (n-m)!. -6- 1.2.1 排列 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念? 提示:不是同一概念.“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m个元素 按照一定的顺序排成一列,它不是一个数”;“排列数”是指“从 n 个不同元素 中取出m 个元素的所有排列的个数”.例如,从“a,b,c”中任取2个元素的排列 有 ab,ba,ac,ca,bc,cb 共 6 个,6

5、 就是从 a,b,c 中任取 2 个元素的排列数. -7- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 简单的排列问题 在“树形图”的操作中,先将元素按一定顺序排出,然后以安排哪个元素 为首位为标准,进行分类,再在余下的元素中确定第二位并按顺序分类,依次 一直进行到完成一个排列.这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有的 排列. -8- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUIT

6、ANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 1】 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成不同的两 位数,一共可以组成多少个? (2)写出从 4 个元素 a,b,c,d 中任取 3 个元素的所有排列. 思路分析:解答时按顺序分步解决,然后利用树形图列出所有排列. -9- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)由题意作树形图,如下. 故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,3

7、4,41,42,43,共有12个. (2)由题意作树形图,如下. 故所有的排列 为:abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,d ab,dac,dba,dbc,dca,dcb. -10- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结解决排列问题的步骤:(1)分清问题是否与元素 的顺序有关,若与顺序有关,则是排列问题;(2)注意排列对元素或位置有无 特殊

8、要求;(3)借助排列数公式计算. -11- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 排列数公式 (1)排列数的第一个公式n m=n(n-1)(n-2)(n-m+1)适用于具体计算以 及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等式;在运用该公式时要注意它 的特点. (2)排列数的第二个公式n m = n! (n-m)!适用于与排列数有关的证明、解方 程、解不等式等,在具体运用时,应注意先提取公因式,再计算,同时还要注意 隐含条件“mn 且 mN*,nN

9、*”的运用. -12- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 2】 (1)计算 24 3 + 4 4;(2)计算48 4+285 8 8-95 ; (3)求 38 x =49 x-1中的 x. 思路分析:(1),(2)两题直接运用排列数的公式计算.(3)用排列数的公式 展开得方程,然后求解.要注意 x 的取值范围,并检验根是否合理. -13- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基

10、础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)24 3 + 4 4=2 4 3 2+4 3 2 1=72. (2)48 4+285 8 8-95 = 48 4+2484 4328 4-984 = 4+8 24-9 = 4 5. (3)原方程 38 x =49 x-1 可化为 38! (8-x)! = 49! (10-x)!, 即 38! (8-x)! = 498! (10-x)(9-x)(8-x)!,化简,得 x 2-19x+78=0,解得 x 1=6,x2=13. 由题意知 x 8, x-1 9, 解得 x8. 所以原方程的解为 x=6. -14-

11、 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结应用排列数公式时应注意以下几个方面: (1)准确展开:应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确. (2)合理约分:若运算式是分式形式,则要先约分后计算. (3)合理组合:运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合律,进行 数据的组合,可以提高运算的速度和准确性. -15- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIA

12、NXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 常见的排列问题 涉及有约束条件的排列问题,首先考虑元素的排法或特殊位置上元素 的选法,再考虑其他元素的位置(这种方法称为特殊元素法或特殊位置法); 或者,先求出无约束条件的排列数,再减去不符合条件的排列数(也叫做间 接法或排除法),这是解排列题的基本策略.所谓“捆绑法”与“插空法”,实际 上都是特殊元素(位置)特殊考虑的结果.要求相邻的两个元素是特殊元素, 先把这两个元素“捆绑”起来处理;要求不相邻的元素也是特殊元素,一般考 虑用“插空法”. -16- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU

13、ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3】 用 0,1,2,3,4 这五个数字,组成五位数: (1)可组成多少个五位数? (2)可组成多少个无重复数字的五位数? (3)可组成多少个无重复数字的五位奇数? (4)若 1 和 3 相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数? (5)若 1 和 3 不相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数? (6)若 1 不在万位,2 不在个位,则可组成多少个无重复数字的五位数? 思路分析:该题目中的特殊元素为 0,它不能放在首位.(1)首位不为 0,数 字可以重复;(2)只需限制首位不为 0;(3)

14、限制末位是奇数,首位不是 0;(4)把 1,3看成整体进行排列;(5)可间接求,也可直接求,用插空法;(6)可从特殊位置 或元素入手分析. -17- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)各个数位上的数字允许重复,由分步计数原理得,共可组成 4 5 5 5 5=2 500 个五位数. (2)方法一:(优先考虑特殊位置)先排万位,从 1,2,3,4 中任取一个有4 1 种 方法,其余四个位置排四个数字共有4 4种方法,所以组成的无重复数字的五 位

15、数共有4 1 4 4 =96(个). 方法二:(优先考虑特殊元素)先排 0,除首位之外的其他四个数位均可, 有4 1种方法,其余四个数字全排,有44种方法.故组成的无重复数字的五位 数共有4 144=96(个). (3)(优先考虑特殊位置)先排个位,1 和 3 均可,有2 1种方法.然后从剩下 的 3 个非 0 数中选一个排在万位,有3 1种方法,最后将剩下的 3 个数排在其 他三个数位上,有3 3种方法.故组成的无重复数字的五位奇数共有 2 131 3 3=36(个). -18- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SU

16、ITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (4)(捆绑法)若 1 和 3 相邻,则把 1 和 3“捆绑”,看成一个整体与 0,2,4 进 行排列.则共可组成无重复数字的五位数共有2 23133=36(个). (5)方法一:(间接法)由(2),(4)两问可得,1 和 3不相邻时,共可组成无重复 数字的五位数有 96-36=60(个). 方法二:(插空法)先将 0,2,4 排好,再将 1 和 3 分别插入产生的 4 个空当 中有3 342 =72 种排法,而当 0 在万位时,1,3 分别插入 2,4 产生的 3 个空当中 有2 232=12 种排法. 所以 1 和 3 不

17、相邻的无重复数字的五位数共有 72-12=60(个). -19- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (6)方法一:(间接法)无重复数字的所有五位数有 96 个,当 1 在万位时, 有4 4种排法,当 2 在个位时,0 又不能在万位,先把 0 排在中间三个位上,再排 其余的 3 个数,有3 1 3 3 种排法,但这两种排法中都包括 1 在万位,2 在个位的 排法,这种排法有3 3种,所以符合条件的五位数共有 96-44 3 133 + 3 3 =60(

18、个). 方法二:(优先考虑特殊元素或位置)1 排在个位时,0 不能在万位,有 3 1 3 3=18 种排法.1 不在个位且不在万位时,先排 1,有31 种方法,再排剩下 的数分两类.一类是当 2 在万位时,有3 3种方法,另一类是 2 不在万位,有 2 1 2 1 2 2种排法,所以 1 不在个位且不在万位时,有31 (3 3 + 2 1 2 222 )=42 种排 法,所以 1 不在万位,2 不在个位时,共可组成无重复数字的五位数 18+42=60(个). -20- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG L

19、IANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 规律总结(1)排列问题的限制条件一般包括某些元素不能 在某个位置,某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊 位置,再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时,可以先不考虑限制条件,把 所有的排列数算出,再从中减去全部不符合条件的排列数,这种方法也称为 “去杂法”,但必须注意要不重复,不遗漏. (2)对于某些特殊问题,可采取相对固定的特殊方法,如相邻问题,可用 “捆绑法”,即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列,再进行内部排列;不 相邻问题,则用“插空法”,即先排其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位 中. (3)对于定序问题,可采用

20、“除阶乘法”解决. -21- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析 易错点 重复排列 【典型例题 4】 6 个人站成前后三排,每排 2 人,有多少种不同的排法? 错解一:分步完成,先安排第一排的 2 人,有6 2种排法;再安排中间一排 的 2 人,有4 2种排法;余下的 2 人排在最后一排.由分步乘法计数原理,共有 6 242=360 种不同排法. 错解二:分步完成,先安排第一排的 2 人,有6 2种排法;再安排中间一排 的 2 人,有

21、4 2种排法;最后安排余下的 2 人,有22种排法.因为排在第一排,中 间一排和最后一排不同,所以三排再排列,有3 3种排法.由分步乘法计数原 理,有6 2422233=4 320 种不同排法. -22- 1.2.1 排列 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析:错解一的解答错在第3步,余下的2人还要去排最后一排的2 个不同位置. 错解二的解答错在前三步已经分清了三排,不需要再排列了. 正解一:6 个人站成前后三排,每排 2 人,分 3 步完成,不同的排法共有 6

22、 24222=720(种). 正解二:此问题可看作将排成的三排“拉直”,实际上就是将 6 人排成一 排的问题.故共有6 6=720 种不同排法. -23- 1.2.1 排列 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种 数为( ) A.5 B.10 C.20 D.60 解析:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有A5 2=20 种不同的送书方法. 答案:C -24- 1.2.1 排列 SUITANG L

23、IANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.A7 6-A65 5 4 =( ) A.12 B.24 C.30 D.36 解析:A7 6-A65 A5 4 = 76A5 4-6A54 A5 4 =36. 答案:D -25- 1.2.1 排列 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次 可以任挂 1 面、2 面或 3 面(旗的颜色

24、无重复),并且不同的顺序表示不同的 信号,则一共可以表示 种不同的信号. 解析:第 1 类,挂 1 面旗表示信号,有A3 1 种不同方法; 第 2 类,挂 2 面旗表示信号,有A3 2种不同方法; 第 3 类,挂 3 面旗表示信号,有A3 3种不同方法; 根据分类加法计数原理,可以表示的信号共有A3 1 + A3 2 + A3 3=3+32+321=15(种). 答案:15 -26- 1.2.1 排列 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力

25、队员,要派 5 名队员参加比赛,其中 3 名主力队员安排在第一、 三、 五场的位置,其余7名队员选2名安排在第二、 四场的位置,那么不同的出场安排共有 种. 解析:分两类:第一步安排主力队员有A3 3种方法,第二步安排其余队员有A72 种方法. 不同的出场安排共有A3 3 A7 2=642=252 种. 答案:252 -27- 1.2.1 排列 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.有 5 个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少种? 解: 总的排法数为A5 5=120 种, 甲在乙的右边的排法有1 2 A5 5 =60 种.