1.1 第二课时　两个计数原理的综合应用.ppt

1、第二课时第二课时 两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用 选选(抽抽)取与分配问题取与分配问题 典例典例 某外语组有某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的人，每人至少会英语和日语中的 一门，其中一门，其中 7 人会英语，人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和日人会日语，从中选出会英语和日 语的各一人，有多少种不同的选法？语的各一人，有多少种不同的选法？ 解解 由题意由题意 9人中既会英语又会日语的人中既会英语又会日语的“多面手多面手”有有 1 人则可分三类：人则可分三类： 第一类：第一类： “多面手多面手”去参加英语时， 选出只会日语的一去参加英语时， 选出只会日语的一 人即可，

2、有人即可，有 2 种选法种选法 第二类：第二类： “多面手多面手”去参加日语时， 选出只会英语的一去参加日语时， 选出只会英语的一 人即可，有人即可，有 6 种选法种选法 第三类：第三类： “多面手多面手”既不参加英语又不参加日语， 则需既不参加英语又不参加日语， 则需 从只会日语和只会英语中各选一人，有从只会日语和只会英语中各选一人，有 2612(种种)方法方法 故共有故共有 261220(种种)选法选法 选选(抽抽)取与分配问题的常见类型及其解法取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图 法

3、或者图表法法或者图表法 (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： 直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理 一般地， 若直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理 一般地， 若 抽取是有顺序的就按分步进行； 若按对象特征抽取的， 则按分类进行抽取是有顺序的就按分步进行； 若按对象特征抽取的， 则按分类进行 间接法： 去掉限制条件计算所有的抽取方法数， 然后减去所有间接法： 去掉限制条件计算所有的抽取方法数， 然后减去所有 不符合条件的抽取方法数即可不符合条件的抽取方法数即可 活学活用活学活用 1甲、乙、丙甲、乙、丙 3 个班各有三好学生个班各有三好学

4、生 3,5,2 名，现准备推选名，现准备推选 2 名来自名来自 不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有_ 种不同的推选方法种不同的推选方法 解析：解析：分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分 步乘法计数原理有步乘法计数原理有 3515 种选法；种选法； 第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有 326 种选法；种选法； 第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法

5、计数原理有 5210 种选法种选法 综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有 1561031 种不同选法种不同选法 答案：答案：31 2图书馆有图书馆有 8 本不同的有关励志教育的书，任选本不同的有关励志教育的书，任选 3 本分给本分给 3 个同学，每人个同学，每人 1 本，有本，有_种不同的分法种不同的分法 解析：解析：分三步进行：第一步，先分给第一个同学，从分三步进行：第一步，先分给第一个同学，从 8 本书中选一本，共有本书中选一本，共有 8 种方法；第二步，再分给第二个种方法；第二步，再分给第二个 同学，从剩下的同学，从剩下的 7 本中任选本中任选

6、 1 本，共有本，共有 7 种方法；第三种方法；第三 步，分给第三个同学，从剩下的步，分给第三个同学，从剩下的 6 本中任选本中任选 1 本，共有本，共有 6 种方法所以不同分法有种方法所以不同分法有 876336 种种 答案：答案：336 用计数原理解决用计数原理解决组数问题组数问题 典例典例 用用 0,1,2,3,4 五个数字，五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的电话号码？可以排出多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？整除的无重复数字的三位数？ 解解 (1)三位数字的电

7、话号码，首位可以是三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以，数字也可以 重复，每个位置都有重复，每个位置都有 5 种排法，共有种排法，共有 55553125(种种) (2)三位数的首位不能为三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首，但可以有重复数字，首先考虑首 位的排法，除位的排法，除 0 外共有外共有 4 种方法，第二、三位可以排种方法，第二、三位可以排 0，因此，因此， 共有共有 455100(种种) (3)被被 2 整除的数即偶数，末位数字可取整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分，因此，可以分 两类，一类是末位数字是两类，一类是末位数字是 0，则有，则

8、有 4312(种种)排法；一类是末排法；一类是末 位数字不是位数字不是 0，则末位有，则末位有 2 种排法，即种排法，即 2 或或 4，再排首位，因，再排首位，因 0 不能在首位， 所以有不能在首位， 所以有 3 种排法， 十位有种排法， 十位有 3 种排法， 因此有种排法， 因此有 233 18(种种)排法因而有排法因而有 121830(种种)排法即可以排成排法即可以排成 30 个能个能 被被 2 整除的无重复数字的三位数整除的无重复数字的三位数 组数问题的常见类型及解决原则组数问题的常见类型及解决原则 (1)常见的组数问题常见的组数问题 组成的数为组成的数为“奇数奇数”“”“偶数偶数”“”

9、“被某数整除的数被某数整除的数”； 在某一定范围内的数的问题；在某一定范围内的数的问题； 各位数字和为某一定值问题；各位数字和为某一定值问题； 各位数字之间满足某种关系问题等各位数字之间满足某种关系问题等 (2)解决原则解决原则 明确特殊位置或特殊数字，是我们采用明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类分类”还是还是“分步分步”的关的关 键一般按特殊位置键一般按特殊位置(末位或首位末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或或 特殊元素特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解 要注

10、意数字要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位 活学活用活学活用 1从从 0,2 中选一个数字，从中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数中选两个数字，组成无重复数 字的三位数其中奇数的个数为字的三位数其中奇数的个数为 ( ) A24 B18 C12 D6 解析：解析：选选 B 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以 分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇如果是第一种奇偶奇的情分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇如果是第一种奇偶奇的情 况，可以从个位开始分析况，可以从个位开始分析(3 种情况种情

11、况)，之后十位，之后十位(2 种情况种情况)， 最后百位最后百位(2 种情况种情况)，共，共 12 种；如果是第二种情况偶奇奇：种；如果是第二种情况偶奇奇： 个位个位(3 种情况种情况)，十位，十位(2 种情况种情况)，百位，百位(不能是不能是 0，一种情况，一种情况)， 共共 6 种因此总共有种因此总共有 12618 种情况故选种情况故选 B 2如果一个三位正整数如如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足满足 a1a2且且 a3a2，则称这样的，则称这样的 三位数为凸数三位数为凸数(如如 120,342,275 等等)，那么所有凸数个数是多少？，那么所有凸数个数是多少？ 解：解：分分 8 类

12、，当中间数为类，当中间数为 2 时，百位只能选时，百位只能选 1，个位可选，个位可选 1、0， 由分步乘法计数原理，有由分步乘法计数原理，有 122 个；个； 当中间数为当中间数为 3 时，百位可选时，百位可选 1,2，个位可选，个位可选 0,1,2，由分步乘法计，由分步乘法计 数原理，有数原理，有 236 个；同理可得：个；同理可得： 当中间数为当中间数为 4 时，有时，有 3412 个；个； 当中间数为当中间数为 5 时，有时，有 4520 个；个； 当中间数为当中间数为 6 时，有时，有 5630 个；个； 当中间数为当中间数为 7 时，有时，有 6742 个；个； 当中间数为当中间数为

13、 8 时，有时，有 7856 个；个； 当中间数为当中间数为 9 时，有时，有 8972 个个 故共有故共有 26122030425672240 个个 用计数原理解决涂色用计数原理解决涂色(种植种植)问题问题 典例典例 如图所示，要给如图所示，要给“优优”、 “化化”、“指指”、“导导”四个区域分别涂上四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色 使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色， 有多少种不同的涂色方法？有多少种不同的涂色方法？ 解解 优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步优、化、指、导四个区域依次涂

14、色，分四步 第第 1 步，涂步，涂“优优”区域，有区域，有 3 种选择种选择 第第 2 步，涂步，涂“化化”区域，有区域，有 2 种选择种选择 第第 3 步，涂步，涂“指指”区域，由于它与区域，由于它与“优优”、“化化”区域区域 颜色不同，有颜色不同，有 1 种选择种选择 第第 4 步，涂步，涂“导导”区域，由于它与区域，由于它与“化化”“”“指指”区域颜区域颜 色不同，有色不同，有 1 种选择种选择 所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有 32116(种种) 求解涂色求解涂色(种植种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用问题一般是直

15、接利用两个计数原理求解，常用 方法有：方法有： (1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理 分析；分析； (2)以颜色以颜色(种植作物种植作物)为主分类讨论，适用于为主分类讨论，适用于“区域、点、线段区域、点、线段” 问题，用分类加法计数原理分析；问题，用分类加法计数原理分析； (3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题 活学活用活学活用 有有 4 种不同的作物可供选择种植在如图所示的种不同的作物可供选择种植在如图所示的 4 块试块试 验田中， 每块种植一种作物，

16、 相邻的试验田验田中， 每块种植一种作物， 相邻的试验田(有公共边有公共边) 不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？ 解：解：法一：法一：第一步：种植第一步：种植 A 试验田有试验田有 4 种方法；种方法； 第二步：种植第二步：种植 B 试验田有试验田有 3 种方法；种方法； 第三步：若第三步：若 C 试验田种植的作物与试验田种植的作物与 B 试验田相同，则试验田相同，则 D 试验田试验田 有有 3 种方法，此时有种方法，此时有 133 种种植方法种种植方法 若若 C 试验田种植的作物与试验田种植的作物与 B 试验田不同，则试验田不同，则

17、C 试验田有试验田有 2 种种种种 植方法，植方法，D 也有也有 2 种种植方法，共有种种植方法，共有 224 种种植方法种种植方法 由分类加法计数原理知，有由分类加法计数原理知，有 347 种方法种方法 第四步： 由分步乘法计数原理有第四步： 由分步乘法计数原理有 N43784 种不同的种植方法种不同的种植方法 法二：法二：(1)若若 A，D 种植同种作物，则种植同种作物，则 A、D 有有 4 种不同的种法，种不同的种法，B 有有 3 种种植方法，种种植方法，C 也有也有 3 种种植方法，由分步乘法计数原理，共有种种植方法，由分步乘法计数原理，共有 43336 种种植方法种种植方法 (2)若若 A， D 种植不同作物， 则种植不同作物， 则 A 有有 4 种种植方法，种种植方法， D 有有 3 种种植方法，种种植方法， B 有有 2 种种植方法，种种植方法，C 有有 2 种种植方法，由分步乘法计数原理，共有种种植方法，由分步乘法计数原理，共有 432248 种种植方法种种植方法 综上所述，由分类加法计数原理，共有综上所述，由分类加法计数原理，共有 N364884 种种植方法种种植方法 “多练提能多练提能熟生巧熟生巧”见见“课时跟踪检测课时跟踪检测(二二)” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )