第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.2离散型随机变量的方差.ppt
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- 第二 随机变量 及其 分布 2.3 离散 均值 方差 下载 _其它资料_高考专区_数学_高中
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1、2 2.3 3.2 2 离散型随机变量的方差 1.理解离散型随机变量的方差以及标准差的意义,会根据分布列 求方差和标准差. 2.掌握方差的性质,两点分布、二项分布的方差的求解公式,会利 用公式求它们的方差. 1 2 1.离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值 的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程 度越小. (3)D(aX+b)=a2D(X). X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称D(X)= =1 ( ()2为随机变量X的方差,并称其算术 平方根 ()为随机变量 X 的标准
2、差. 1 2 知识拓展知识拓展离散型随机变量的分布列、均值和方差都是从整体上 描述随机变量的.离散型随机变量的分布列反映了随机变量取各个 值的可能性的大小,均值则反映了随机变量取值的平均水平.在实 际问题中仅靠均值还不能完善地说明随机变量的特征,还必须研究 变量取值的集中与分散状况,即要研究其偏离平均值的离散程度, 这就需要求出方差. 1 2 【做一做1-1】 已知的分布列为 则D()等于( ) A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0 解析:E()=-10.5+00.3+10.2=-0.3,则D()=(- 1+0.3)20.5+(0+0.3)20.3+(1+0.3)20.2=0.245
3、+0.027+0.338=0.61. 答案:B 【做一做1-2】 若随机变量的方差D()=1,则D(2+1)的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:D(2+1)=4D()=4. 答案:C -1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 X 1 3 5 P 0.4 0.1 x 1 2 【做一做1-3】 已知随机变量X的分布列如下表所示,则X的方差 为 . 解析:由条件知,x=0.5. E(X)=10.4+30.1+50.5=3.2, 所以D(X)=(1-3.2)20.4+(3-3.2)20.1+(5-3.2)20.5=3.56. 答案:3.56 1 2 2.两点分布、二项分布的方差 (1)
4、若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p). (2)若XB(n,p),则D(X)=np(1-p). 【做一做 2】 已知随机变量 XB(3,p),D(X)=2 3,则 p= . 解析:由已知得,3p(1-p)=2 3,解得 p= 1 3或 p= 2 3. 答案:1 3 或 2 3 求离散型随机变量的方差的步骤是什么 剖析求离散型随机变量的方差常分为以下三步:列出随机变量 的分布列;求出随机变量的均值;求出随机变量的方差. 【示例】 编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个 座位,每位学生坐一个座位,设学生编号与其所坐座位编号相同的 学生的个数是X,求D(X). 解:先求 X 的
5、分布列. X 所有可能的取值为 0,1,2,3. X=0 表示三位学生全坐错了,情况有 2 种, 所以 P(X=0)= 2 3! = 1 3; X=1 表示只有一位同学坐对了,情况有 3 种, 所以 P(X=1)= 3 3! = 1 2; X=2 表示有两位学生坐对,一位学生坐错,这种情况不存在,所以 P(X=2)=0; X=3 表示三位学生全坐对了,情况有 1 种, 所以 P(X=3)= 1 3! = 1 6. 所以 X 的分布列如下: X 0 1 2 3 P 1 3 1 2 0 1 6 求随机变量 X 的均值. E(X)=0 1 3+1 1 2+20+3 1 6 = 1 2 + 1 2=1
6、. 求随机变量的方差. D(X)=(0-1)2 1 3+(1-1) 2 1 2+(2-1) 20+(3-1)2 1 6=1. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 求离散型随机变量的方差 【例1】 袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中标记0的 有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.表示所取球 的标号. (1)求的分布列、均值和方差; (2)若=a+b,E()=1,D()=11,试求a,b的值. 分析(1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列,再利用均值、 方差的公式求解. (2)运用E()=aE()+b,D()=a2D()求a,b. 题型一 题型二 题型三
7、 题型四 解:(1) 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 则 E()=0 1 2+1 1 20+2 1 10+3 3 20+4 1 5=1.5. D()=(0-1.5)2 1 2+(1-1.5) 2 1 20+(2-1.5) 2 1 10+(3-1.5) 2 3 20+(4-1.5) 2 1 5=2.75. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)由 D()=a2D(), 得 a22.75=11, 解得 a= 2. 因为 E()=aE()+b,所以, 当 a=2 时,由 1=21.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-21.5+b,得
8、b=4. 所以 = 2, = -2 或 = -2, = 4 即为所求. 反思反思求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列,而列分 布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果.同时还要 能正确求出每一个结果出现的概率. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 袋中有大小、形状、质地相同的3个球,编号分 别为1,2,3.从袋中不放回地每次取出1个球,若取到的球的编号为奇 数,则取球停止.用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差 为 . 解析:X 的分布列为 X 1 3 5 P 1 3 1 2 1 6 则 E()=1 1 3+3 1 2+5 1 6 = 8 3,D()= 17
9、9 . 答案:17 9 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 方差的实际应用 【例 2】 有 A,B 两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强 度,指标如下: A 种: XA 110 120 125 130 135 P 0.1 a 2a 0.1 0.2 B 种: XB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 b 其中XA,XB分别表示A,B两种钢筋的抗拉强度,在使用时要求钢 筋的抗拉强度不低于 120,试比较 A,B 两种钢筋哪一种质量好. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:由题意,得0.1+a+2a+0.1+0.2=1,0.1+0.2+0.4+0.1+
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