第二章 章末复习提升课.ppt

1、 专题一 条件概率 1.条件概率的求法 (1)利用定义，分别求出 P(A)和 P(AB)，解得PAB PA . (2)借助古典概型公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)， 再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)nAB nA . 2解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合” (1)求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质； 第二步，判断事件的运算； 第三步，运用公式 (2)概率问题常常与排列组合问题相结合 特别提醒：求事件概率的关键是将事件分解为若干个小事件， 然后利用概率的加法(互斥事件的求和)、乘法(独立事件同时发生) 或除法公式(条件概率)

2、来求解 例 1 一个盒子装有 4 个产品，其中有 3 个一等品、1 个二等 品，从中取产品两次，每次任取一个，作不放回抽样，设事件 A 为 “第一次取到的是一等品”，事件 B 为“第二次取到的是一等 品”，试求条件概率 P(B|A) 【解析】 将产品编号 1,2,3 号为一等品，4 号为二等品，以(i， j)表示第一次，第二次分别取到第 i 号、第 j 号产品，则试验的样本 空间为： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(4,1)，(4,2)， (4,3)， A(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(

3、3,4)， AB(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)， P(B|A)nAB nA 2 3. 能力挑战 1 口袋中有 2 个白球和 4 个红球，现从中随机地不 放回地连续抽取两次，每次抽取 1 个，则： (1)第一次取出的是红球的概率是多少？ (2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？ (3)在第一次取出红球的条件下， 第二次取出的是红球的概率是 多少？ 解析：记事件 A：第一次取出的是红球；事件 B：第二次取出 的是红球 (1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取 1 个，所有基本 事件共 65 个；第一次取出的是红球，第二次是其余 5 个球中的 任一

4、个，符合条件的有 45 个，所以 P(A)45 65 2 3. (2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取 1 个，所有基本 事件共有 65 个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两 个球，都是红球，符合条件的有 43 个，所以 P(AB)43 65 2 5. (3)利用条件概率的计算公式，可得 P(B|A)PAB PA 2 5 2 3 3 5. 专题二 相互独立事件的概率 求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考 查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本 事件之间的交、 并、 补运算表示出有关事件， 并运用相应公式求解 特别注意以下两公式的使用前提： (

5、1)若 A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)，反之不成立 (2)若 A，B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B)，反之成立 例 2 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的 概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立 (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 P(X1) 【解析】 记 Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使 用设备，i0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备， D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备 (1)DA1BCA2BA2B

6、C， P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)Ci 20.5 2，i0,1,2， 所以 P(D)P(A1BCA2BA2B C) P(A1BC)P(A2B)P(A2B C) P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2) P(B )P(C) 0.31. (2)X1 表示在同一工作日有一人需使用设备 P(X1)P(BA0C BA0CBA1 C ) P(B)P(A0)P(C )P(B)P(A0)P(C)P(B) P(A1)P(C) 0.60.52(1 0.4) (1 0.6)0.520.4 (1 0.6)20.52(10.4)0.25. 能力挑战 2 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零

7、件， 甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概 率为1 4，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等 品的概率为 1 12，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 2 9. (1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品 的概率； (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一 等品的概率 解析：设 A、B、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种 零件是一等品的事件，依题意得 PA B 1 4 PB C 1 12 PA C2 9 即 PA 1PB1 4 PB 1PC 1 12 PA PC2 9 得 27P(C)251P(C)220，解

8、得 P(C)2 3或 P(C) 11 9 (舍) P(A)1 3，P(B) 1 4，P(C) 2 3. 即甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为1 3， 1 4， 2 3. (2)记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有 一个一等品的事件 P(D)1P(D ) 1(1P(A) (1P(B) (1P(C) 12 3 3 4 1 3 5 6， 即从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等 品的概率为5 6. 专题三 二项分布 在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数为 X，在每次试验 中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件

9、A 恰 好发生 k 次的概率为 P(Xk)Ck np k(1p)nk，k0,1,2，n. 例 3 现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学 从中任取 3 道题解答 (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率； (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学 答对每道甲类题的概率都是3 5，答对每道乙类题的概率都是 4 5，且各 题答对与否相互独立用 X 表示张同学答对题的个数，求 X 为 1 和 3 的概率 【解析】 (1)设事件 A“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙 类题”，则有A “张同学所取的 3 道题都是甲类题” 因为 P(A )C 3 6

10、C3 10 1 6，所以 P(A)1P(A )5 6. (2)P(X1)C1 2 3 5 1 2 5 1 1 5C 0 2 3 5 0 2 5 2 4 5 28 125； P(X3)C2 2 3 5 2 2 5 0 4 5 36 125. 能力挑战 3 网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍 4 人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决 定自己去哪家购物，掷出点数为 5 或 6 的人去淘宝网购物，掷出点 数小于 5 的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城 选择一家购物 (1)求这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率； (2)用 ， 分别表示这 4 个人中去

11、淘宝网和京东商城购物的人 数，令 X，求随机变量 X 的分布列 解析：依题意，这 4 个人中，每个人去淘宝网购物的概率为1 3， 去京东商城购物的概率为2 3.设“这 4 个人中恰有 i 人去淘宝网购 物”为事件 Ai(i0,1,2,3,4)，则 P(Ai)Ci 4 1 3 i 2 3 4i(i0,1,2,3,4) (1)这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率 P(A1)C1 4 1 3 1 2 3 332 81. (2)易知 X 的所有可能取值为 0,3,4. P(X0)P(A0)P(A4)C0 4 1 3 0 2 3 4C4 4 1 3 4 2 3 016 81 1 81 17 81

12、， P(X3)P(A1)P(A3)C1 4 1 3 1 2 3 3C3 4 1 3 3 2 3 132 81 8 81 40 81. P(X4)P(A2)C2 4 1 3 2 2 3 224 81. 所以 X 的分布列是 X 0 3 4 P 17 81 40 81 24 81 专题四 离散型随机变量的分布列、期望与方差 求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤： (1)明确随机变量 X 取哪些值；(2)计算随机变量 X 取每一个值时的概率；(3)将结果 用表格形式列出计算概率时要注意结合排列、组合知识 例 4 为回馈顾客， 某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位 顾客进行奖励，规定：每位顾

13、客从一个装有 4 个标有面值的球的袋 中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖 励额 (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球 只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的 预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值 给出一个合适的设计，并说明理由 【解析】 (1

14、)设顾客所获的奖励额为 X. 依题意，得 P(X60)C 1 1C 1 3 C2 4 1 2， 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为1 2. 依题意，得 X 的所有可能取值为 20,60. P(X60)1 2，P(X20) C2 3 C2 4 1 2，即 X 的分布列为 X 20 60 P 1 2 1 2 所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)20 1 2 60 1 2 40(元) (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元所以， 先寻找期望为 60 元的可能方案对于面值由 10 元和 50 元组成的 情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为 60 元是面值之和的最大

15、 值，所以期望不可能为 60 元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为 60 元，因此可能 的方案是(10,10,50,50)，记为方案 1. 对于面值由20元和40元组成的情况， 同理， 可排除(20,20,20,40) 和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案 2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为 X1， 则 X1的分布列为 X1 20 60 100 P 1 6 2 3 1 6 X1的期望为 E(X1)201 660 2

16、3100 1 660， X1的方差为 D(X1)(2060)2 1 6 (6060)2 2 3 (100 60)21 6 1 600 3 . 对于方案 2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为 X2， 则 X2的分布列为 X2 40 60 80 P 1 6 2 3 1 6 X2的期望为 E(X2)401 660 2 380 1 660， X2的方差为 D(X2)(4060)2 1 6 (6060)2 2 3 (80 60)21 6 400 3 . 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励额的 方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2. 能力挑战 4 某单位为了

17、参加上级组织的普及消防知识竞赛， 需要从两名选手中选出一人参加为此，设计了一个挑选方案：选 手从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题通过考查得知：6 道备选 题中选手甲有 4 道题能够答对，2 道题答错；选手乙答对每题的概 率都是2 3，且各题答对与否互不影响设选手甲、选手乙答对的题 数分别为 ，. (1)写出 的概率分布列(不要求计算过程)，并求出 E()，E()； (2)求 D()，D()请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选 手参加竞赛？ 解析：(1) 的概率分布列为： 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 所以 E()11 52 3 53 1 52. 由题意，B 3，2 3 ，E(

18、)32 32， 或者，P(0)C0 3 1 3 3 1 27；P(1)C 1 3 2 3 1 1 3 22 9； P(2)C2 3 2 3 2 1 3 4 9；P(3)C 3 3 2 3 3 8 27， 所以，E()0 1 271 2 92 4 93 8 272. (2)D()(12)21 5(22) 23 5(32) 21 5 2 5； 则 B 3，2 3 ，D()32 3 1 3 2 3. 可见，E()E()，D()， 集合 Bx|x1 2，则 AB 的概率为( ) A.1 4 B. 1 3 C.1 2 D. 2 3 【解析】 由 AB 得 1 2，由正态分布知 1 2的概率为 1 2. 故选 C. 【答案】 C 能力挑战 5 已知 XN(1，2)，若 P(3X1)0.4， 则 P(3X1)_. 解析：由于 XN(1，2)，且区间3，1与区间1,1 关于 1 对称，P(3X1)2P(3X1)0.8. 答案：0.8