1.2.4组合（二）.ppt

1、 12.4 组组 合合 (二二) 题型题型1 简单的综合应用题简单的综合应用题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 1 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现有 100 件产品，其中有 98 件正品，2 件次品，从中任意抽出 3 件检查 (1)共有多少种不同的抽法？ (2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？ 分析：由于抽取的产品与次序无关，因此是一个组合问题，其中： (1)不同的抽法，即为 C3 100； (2)用直接分步法； (3)用直接分类法或间接法 解析：(1)所求的不同抽法数，即从

2、100 个不同元素中任取 3 个元素的组合数，共有 C3 100 1009998 321 161 700(种) (2)抽出的 3 件中恰好有一件是次品的这件事，可以分两步完成 第一步：从 2 件次品中任取 1 件，有 C1 2种方法； 第二步：从 98 件正品中任取 2 件，有 C2 98种方法 根据分步计数原理知，不同的抽取方法共有 C1 2C 2 9824 7539 506(种) 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 (3)法一(直接分类法) 抽出的 3 件中至少有一件是次品的这件事，分为两类 第一类：抽出的 3 件中有 1 件是次品的抽法，

3、有 C1 2C 2 98种； 第二类：抽出的 3 件中有 2 件是次品的抽法，有 C2 2C 1 98种 根据分类计数原理，不同的抽法共有 C1 2C 2 98C 2 2C 1 989 506989 604(种) 法二(间接法) 从 100 件产品中任取 3 件的抽法，有 C3 100种，其中抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽 法，共有 C3 100C 3 98161 700152 0969 604(种) 规律方法：(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排 列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关， 而组合问题与取出元素的顺序 无关(2)要注意两个基本

4、原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定 要注意有无重复或遗漏 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 1(1)5 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少 1 本，不同的分法有( ) A480 种 B240 种 C120 种 D96 种 (2)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法 有( ) A6 种 B12 种 C24 种 D30 种 解析：(1)选 B.先把 5 本书中两本“捆起来”看成一本，再分成 4 份即可，所以分法数 为 C2 5A 4 4240(种) (2)选

5、 C.两人各选修 2 门的种数是 C2 4C 2 4，两人所选两门都相同和都不同的种数均为 C 2 4， 故只恰好有 1 门相同的选法有 C2 4C 2 42C 2 424(种) 答案：(1)B (2)C 题型题型1 有限制条件的组合问题有限制条件的组合问题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 2 (2013 青岛高二检测)某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴灾区救灾，其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家问： (1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)抽调的 6 名专家中至少有 2 名外科

6、专家的抽调方法有多少种？ (3)抽调的 6 名专家中至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？ 解析：(1)分步：首先从 4 名外科专家中任选 2 名，有 C2 4种选法，再从除外科专家的 6 人中选取 4 人，有 C4 6种选法，所以共有 C 2 4C 4 690 种抽调方法 (2)“至少”的含义是“不低于”，有两种解答方法 法一(直接法) 按选取的外科专家的人数分类： 选 2 名外科专家，共有 C2 4C 4 6种选法； 选 3 名外科专家，共有 C3 4C 3 6种选法； 选 4 名外科专家，共有 C4 4C 2 6种选法 根据分类加法计数原理，共有 C2 4C 4 6C 3 4C 3

7、6C 4 4C 2 6185 种抽调方法 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 法二(间接法) 不考虑是否有外科专家， 共有 C6 10种选法， 考虑选取 1 名外科专家参加， 有 C1 4C 5 6种选法，没有外科专家参加，有 C 6 6种选法，所以共有 C 6 10C 1 4C 5 6C 6 6185 种抽 调方法 (3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况，分类解答 没有外科专家参加，有 C6 6种选法； 有 1 名外科专家参加，有 C1 4C 5 6种选法； 有 2 名外科专家参加，有 C2 4C 4 6种选法

8、 所以共有 C6 6C 1 4C 5 6C 2 4C 4 6115 种抽调方法 规律方法：解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除 法)”其中用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的 选取，再安排其他元素的选取而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分 类较多、 较复杂或计算量较大， 不妨从反面问题入手， 试一试看是否简捷些， 特别是涉及 “至 多” 、 “至少”等组合问题时更是如此此时正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、 “至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏

9、 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 2在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5 人去参加市级培 训，在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)甲、乙、丙三人必须参加； (2)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加； (3)甲、乙、丙三人至少 1 人参加 解析：(1)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中选 2 人，共有 C2 936(种)不 同的选法； (2)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选 1 人，有 C1 33 种 选法，再从另外的 9 人中选 4 人，有 C4 9种选法共有 C 1 3C 4 9378(种)不同的选法 (3)方法

10、一(直接法)：可分为三类： 第一类：甲、乙、丙中有 1 人参加，共有 C1 3C 4 9378(种)； 第二类：甲、乙、丙中有 2 人参加，共有 C2 3C 3 9252(种)； 第三类：甲、乙、丙中有 3 人参加，共有 C3 3C 2 936(种) 共有 C1 3C 4 9C 2 3C 3 9C 3 3C 2 9666(种)不同的选法 方法二(间接法)：12 人中任意选 5 人，共有 C5 12种，甲、乙、丙三人都不能参加的有 C 5 9 种，所以共有 C5 12C 5 9666(种)不同的选法 题型题型2 几何问题中的组合问题几何问题中的组合问题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精

11、析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 3 (1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？ (2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？ 解析：(1)正方体 8 个顶点可构成 C4 8个四点组，其中共面的四点组是正方体的 6 个表面 及正方体 6 组相对棱分别所在的 6 个平面的四个顶点，故可确定四面体 C4 81258(个) (2)由(1)知，正方体共面的四点组有 12 个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以 其余的四个点中任一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥 12C1 448(个) 规律方法： 解答几何组合应用问题的思考方法与一般的组合应用题一样， 只要

12、将图形中 隐含的条件准确理解，分析有哪些限制条件计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在 限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 3 如图， 在排成 44 方阵的 16 个点中， 中心 4 个点在某一圆内， 其余 12 个点在圆外， 在 16 个点中任取 3 个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有_个 解析：有一个顶点在圆内的有： C1 4(C 2 124)248(个)； 有两个顶点在圆内的有：C2 4(C 1 122)60(个)； 三个顶点均在圆内的有：C3 44(个) 所以共有 248604312(个) 答案：312