1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt

1、 【课标要求】 1.通过实例，能总结出分类加法计数原理，分步乘法计数原理. 2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特 征，选择“分类”或“分步”. 3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题 自主学习自主学习 基础认识基础认识 |新知预习新知预习| 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第 1 类方案中有 m 种不同的方 法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法那么完成这件事共有 N mn 种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方 法 3分类

2、加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 分类 分步 本质 每类方法都能独立地完成这 件事，它是独立的、一次性的 且每次得到的是最后结果， 只 需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结 果，任何一步都不能独立完 成这件事，缺少任何一步也 不能完成这件事，只有各个 步骤都完成了，才能完成这 件事 各类(步) 的关系 各类方法之间是互斥的、 并列 的、独立的，即“分类互斥” 各步之间是关联的、 独立的， “关联”确保连续性，“独 立”确保不重复，即“分步 互依” |自我尝试自我尝试| 1 判断下列命题是否正确 (正确的打“”， 错误的打“”)

3、(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相 同( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件 事( ) (3)在分步乘法计数原理中， 每个步骤中完成这个步骤的方法是 各不相同的( ) (4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中 任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后， 这件事情才算完成( ) 2从 A 地到 B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如 果一天内汽车发 3 次，火车发 4 次，轮船发 2 次，那么一天内乘坐 这三种交通工具的不同走法数为( ) A1113 B3429 C34224 D以上都不对 解析：分三类：第一类

4、，乘汽车，从 3 次中选 1 次有 3 种走法； 第二类，乘火车，从 4 次中选 1 次有 4 种走法；第三类，乘轮船， 从 2 次中选 1 次有 2 种走法所以，共有 3429 种不同的走 法 答案：B 3已知集合 M1，2,3，N4,5,6,7，从两个集合中 各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示 第一、二象限内不同的点的个数是( ) A18 个 B17 个 C16 个 D10 个 解析：分两类：第 1 类，M 中的元素作横坐标，N 中的元素作 纵坐标，则有 339 个在第一、二象限内的点；第 2 类，N 中的 元素作横坐标，M 中的元素作纵坐标，则有 428 个在第一

5、、二 象限内的点由分类加法计数原理，共有 9817 个点在第一、 二象限内 答案：B 4从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a，b 组成复 数 abi，其中虚数有_ 解析：第 1 步取 b 的数，有 6 种方法；第 2 步取 a 的数，也有 6 种方法根据分步乘法计数原理，共有 6636 种方法 答案：36 课堂探究 互动讲练 类型一 分类加法计数原理 例 1 新华中学高一有优秀班干部 5 人， 高二有优秀班干部 7 人，高三有优秀班干部 8 人，现在学校组织他们去参加旅游活动， 需要推选一人为总负责人，有多少种不同的选法？ 【解析】 方法一(定义法)：由于要从三个年级的优

6、秀班干部 中选出一人，故可分为三类：第一类从高一的 5 名优秀班干部中选 取一人， 有 5 种选法； 第二类从高二的 7 名优秀班干部中选取一人， 有 7 种选法；第三类从高三的 8 名优秀班干部中选取一人，有 8 种 选法又根据分类加法计数原理知，共有 57820 种不同的选 法 方法二(枚举法)：因为只取一人，这样设三个年级的优秀班干 部分别为 A1，A2，A3，A4，A5；B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7；C1， C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8，从以上 20 种情况中选一人有 20 种 选法 方法三(表格法)：因为推选 1 人，从三个年级中选取，列表如 下： 年级 所选

7、优秀干部的具体情况 高一 A1，A2，A3，A4，A5 高二 B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7 高三 C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8 所以共有 57820 种选法. 方法归纳 利用分类加法计数原理解题的步骤和原则 特别提醒：确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件 事. 跟踪训练 1 在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋， 有 2 名会下围棋但不会下象棋，有 2 名既会下象棋又会下围棋，现 从这 7 人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同 的选法？ 解析：第一类：从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比 赛，同时从 2 名只会下

8、围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，由分步 乘法计数原理得 N1326(种) 第二类：从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同 时从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，由 分步乘法计数原理得 N2326(种) 第三类：从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加象 棋比赛，同时从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，由 分步乘法计数原理得 N3224(种) 第四类：从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中各选 1 名参加 象棋比赛和围棋比赛，有 N42 种 综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有 NN1N2 N3N4664218(种)

9、. 类型二 分步乘法计数原理 例 2 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合， 再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓 可以选择的最短路径条数为( ) A24 B18 C12 D9 【解析】 由题意可知 EF 共有 6 种走法，FG 共有 3 种走 法，由乘法计数原理，共有 6318 种走法，故选 B. 【答案】 B 方法归纳 利用分步乘法计数原理的步骤： 特别提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件 事. 跟踪训练 2 要安排一份 5 天的值班表，每天有一个人值班， 共有 5 个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人 值班，此值

10、班表共有多少种不同的排法？ 解析：先排第一天，可排 5 人中任一人，有 5 种排法； 再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有 4 种排法； 再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有 4 种排法； 同理，第四、五天各有 4 种排法 由分步乘法计数原理可得值班表不同的排法共有： N544441 280 种 |素养提升素养提升| 1对分类加法计数原理的说明 (1)核心：原理的核心是“分类”，完成一件事的方法分为若干 类 (2)特点：相互独立；各类方案相互独立，各类方案中的各种方 法也相互独立，并且用任何一类方案中任何一种方法都可以单独完 成这件事 (3)应用：根据问题的特点确定一个分类的标准； 在

11、确定的标准下进行分类； 分类不能重复，不能遗漏 (4)目的：原理的目的是求解“完成一件事的不同方法数”，因 此在应用原理解题时要有问题意识，明确并努力思考两个问题，即 问题要求我们完成一件什么事，如何完成这件事 2使用分步乘法计数原理的三个关注点 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么， 确定完成这件事需要 几个步骤，且每步都是独立的 (2)将完成这件事划分成几个步骤，各步骤之间有一定的连续 性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基 础，也是关键从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的 方法总数 (3)推广 易错警示：应用两个计数原理时，一定要明确“分类”还是 “分步”

12、|巩固提升巩固提升| 1现有 4 种不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一 条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( ) A7 B12 C64 D81 解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第 1 步，选上衣， 从 4 件上衣中任选一件，有 4 种不同选法；第 2 步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同选法故共有 4312 种不同的 配法 答案：B 2某班小张等 4 位同学报名参加 A，B，C 三个课外活动小组， 每位同学限报其中一个小组，且小张不能报 A 小组，则不同的报名 方法有( ) A27 种 B36 种 C54 种 D81 种 解析：小张的报名方法有 2 种，其他 3 位同学各有 3 种，所以 由分步乘法计数原理知共有 233354(种)不同的报名方法， 故选 C. 答案：C 3设集合 A1,2,3,4，m，nA，则方程x 2 m y2 n 1 表示焦点 位于 x 轴上的椭圆有_个 解析：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以当 m4 时，n1，2,3； 当 m3 时，n1,2；当 m2 时，n1，即所求的椭圆共有 32 16(个) 答案：6