第二章 2.3 2.3.2　离散型随机变量的方差.ppt

1、2.3.2 离散型随机变量的方离散型随机变量的方差差 考考 纲纲 定定 位位 重重 难难 突突 破破 1.理解离散型随机变量方差及标理解离散型随机变量方差及标 准差的含义准差的含义 2.掌握方差的性质，以及两点分掌握方差的性质，以及两点分 布、二项分布的方差的求法布、二项分布的方差的求法 3.会计算离散型随机变量的方会计算离散型随机变量的方 差，并能解决一些实际问题差，并能解决一些实际问题. 重点：重点： 离散型随机变量方差及标离散型随机变量方差及标 准差的含义；方差的性质；两点准差的含义；方差的性质；两点 分布、二项分布的方差的求法分布、二项分布的方差的求法 难点：难点： 利用离散型随机变量

2、的方利用离散型随机变量的方 差解决实际问题差解决实际问题. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 自主梳理自主梳理 1离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 (1)定义：设离散型随机变量定义：设离散型随机变量 X 的分布列为：的分布列为： X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称则称 D(X) 为随机变量为随机变量 X 的方差，其算术平方根的方差，其算术平方根 D X 为随机变量为随机变量 X 的的 ，可记作，可记作 (X) (2)含义：随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的含义：随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值

3、偏离于均值的 ，方差或，方差或 标准差越小，则随机变量偏离于均值的标准差越小，则随机变量偏离于均值的 越小越小 (3)性质：性质：D(aXb) 1 n i (xiE(X)2pi 平均程度平均程度 标准差标准差 平均程度平均程度 a2D(X) 2两点分布、二项分布的方差两点分布、二项分布的方差 (1)若若 X 服从服从两点分布，则两点分布，则 D(X) (2)若若 XB(n，p)，则，则 D(X) np(1p) p(1p) 双基自测双基自测 1已知已知 的分布列为的分布列为 1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则则 D()等于等于( ) A0.7 B0.61 C0.3 D0 解析：解析：E(

4、)10.500.310.20.3， 则则 D()(10.3)20.5(00.3)20.3(10.3)20.20.61. 答案：答案：B 2若随机变量若随机变量 X 的方差的方差 D(X)1，则，则 D(2X1)的值为的值为( ) A2 B3 C4 D5 解析：解析：D(2X1)4D(X)4. 答案：答案：C 3已知随机变量已知随机变量 XB(3，p)，D(X)2 3，则 ，则 p_. 解析：解析：XB(3，p)， D(X)3p(1p)， 3p(1p)2 3， ， p1 3或 或2 3. 答案：答案：1 3或 或2 3 探究一探究一 求离散型随机变量的方差求离散型随机变量的方差 典例典例 1 袋

5、中有袋中有 20 个大小相同的球，其中标记个大小相同的球，其中标记 0 的有的有 10 个，标记个，标记 n 的有的有 n 个个(n 1,2,3,4)现从袋中任取一球，现从袋中任取一球， 表示所取球的标号表示所取球的标号 (1)求求 的分布列、期望和方差；的分布列、期望和方差； (2)若若 ab，E()1，D()11，试求，试求 a，b 的值的值 解析解析 (1) 的分布列为：的分布列为： 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 则则 E()01 2 1 1 20 2 1 10 3 3 20 41 5 1.5. D()(01.5)21 2 (11.5)2 1 20

6、 (21.5)2 1 10 (31.5)2 3 20 (41.5)21 5 2.75. (2)由由 D()a2D()，得，得 a22.7511，得，得 a 2. 又又 E()aE()b，所以，当，所以，当 a2 时，由时，由 121.5b，得，得 b2； 当当 a2 时，由时，由 121.5b，得，得 b4. 所以所以 a2， b2， 或或 a2， b4. 求随机变量求随机变量 的方差的步骤：的方差的步骤： (1)求随机变量求随机变量 的分布列的分布列 (2)求随机变量求随机变量 的数学期望的数学期望 (3)利用定义求利用定义求 D() 其关键是求离散型随机变量其关键是求离散型随机变量的分布列

7、的分布列 1已知已知 X 的分布列为的分布列为 X 1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 (1)求求 E(X)，D(X)，(X)； (2)设设 Y2X3，求，求 E(Y)，D(Y) 解析解析：(1)E(X)x1p1x2p2x3p3 11 2 01 3 11 6 1 3； ； D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(x3E(X)2p3 11 3 2 1 2 01 3 2 1 3 11 3 2 1 6 5 9； ； (X) D X 5 9 5 3 . (2)E(Y)2E(X)37 3， ，D(Y)4D(X)20 9 . 探究二探究二 求两点分布、二项分布的方差求两点分布、二项分布的方差

8、 典例典例 2 某人投篮命中的概率为某人投篮命中的概率为 p0.8. (1)求投篮一次命中次数求投篮一次命中次数 X 的均值和方差；的均值和方差； (2)求重复求重复 10 次投篮时命中次数次投篮时命中次数 Y 的均值和方差的均值和方差 解析解析 (1)X 的分布列如下：的分布列如下： X 0 1 P 0.2 0.8 E(X)00.210.80.8. D(X)(00.8)20.2(10.8)20.80.16. (2)由题意知，命中次数由题意知，命中次数 Y 服从二项分布，即服从二项分布，即 YB(10,0.8)， E(Y)np100.88， D(Y)100.80.21.6. 解决此类问题的第一

9、步是判断随机变量解决此类问题的第一步是判断随机变量 服从什么分布，第二步代入相应的公式求服从什么分布，第二步代入相应的公式求 解若解若 服从两点分布，则服从两点分布，则 D()p(1p)；若；若 服从二项分布，即服从二项分布，即 B(n，p)，则，则 D()np(1p) 2一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯 这一事件是相这一事件是相互独立的，并且概率是互独立的，并且概率是1 3. (1)求这位司机遇到红灯数求这位司机遇到红灯数 的期望与方差；的期望与方差； (2)若遇上红灯，则需等待若遇上

10、红灯，则需等待 30 秒，求司机总共等待时间秒，求司机总共等待时间 的期望与方差的期望与方差 解析：解析：(1)易知司机遇上红灯次数易知司机遇上红灯次数 服从二项分布，且服从二项分布，且 B 6，1 3 ， E()61 3 2，D()61 3 11 3 4 3. (2)由已知由已知 30， E()30E()60，D()900D()1 200. 探究三探究三 均值与方差的综合应用均值与方差的综合应用 典例典例 3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数 量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件

11、次数的分布列量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列 分别如下：分别如下： 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平试评定这两个保护区的管理水平 解析解析 甲保护区违规次数甲保护区违规次数 的数学期望和方差分别为的数学期望和方差分别为 E()00.310.3 20.230.21.3； D()(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21. 乙保护区的违规次数乙保护区的违规次数 的数学期望和方差分别为的数学期望和方差分别为 E()00.110.5

12、20.4 1.3； D()(01.3)20.1(11.3)20.5(21.3)20.40.41. 因为因为 E()E()，D()D()，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均 次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动性大，乙保护区的违规事次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动性大，乙保护区的违规事 件次数更集中和稳定，说明乙保护区的管理水平较好件次数更集中和稳定，说明乙保护区的管理水平较好 均值与方差的作用：均值与方差的作用： 数学期望体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小是不够的，比如：数学期望体现了随机变量取

13、值的平均大小，但有时仅知道均值大小是不够的，比如： 两个随机变量的均值相等两个随机变量的均值相等(即数学期望相等即数学期望相等)，这时还需要知道随机变量的取值如何在，这时还需要知道随机变量的取值如何在 均值附近变化，即计算其方差，方差大说明随机变量取值比较分散；方差小说明随机均值附近变化，即计算其方差，方差大说明随机变量取值比较分散；方差小说明随机 变量的取值比较集中、稳定变量的取值比较集中、稳定 3为了迎接运动会，某市对甲、乙两名射手进行一次选拔赛已知甲、乙两名射为了迎接运动会，某市对甲、乙两名射手进行一次选拔赛已知甲、乙两名射手手 在每次射击中击中的环数在每次射击中击中的环数 ， 均大于均

14、大于 6 环， 且甲射中环， 且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为环的概率分别为 0.5,3a， a,0.1，乙射中，乙射中 10,9,8 环的概率分别为环的概率分别为 0.3,0.3,0.2. (1)求求 ， 的分布列；的分布列； (2)求求 ， 的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术 解析：解析：(1)依据题意，得依据题意，得 0.53aa0.11，解得，解得 a0.1. 乙射中乙射中 10,9,8 环的概率分别为环的概率分别为 0.3,0.3,0.2， 乙射中乙射中 7 环的概率为环的概率为 1(0.30.30.2)0.2. ， 的分布列分

15、别为的分布列分别为 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)结合结合(1)中中 ， 的分布列可得：的分布列可得： E()100.590.380.170.19.2， E()100.390.380.270.28.7， D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96， D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21. E()E()，说明甲平均射中的环数比乙高；，说明甲平均射中的环数比乙高； 又又 D()D()，说明在平均射中环数

16、相差不大的情况下，甲射中的环数比乙集中，比，说明在平均射中环数相差不大的情况下，甲射中的环数比乙集中，比 较稳定较稳定 误用方差的性质而致误误用方差的性质而致误 典例典例 已知随机变量已知随机变量 X 的分布列如下表：的分布列如下表： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 试求试求 D(X)和和 D(2X1) 解析解析 E(X)00.210.220.330.240.11.8， 所以所以 D(X)(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.8)20.2(4 1.8)20.11.56. 所以所以 D(2X1)4D(X)41.566.24. 错因

17、与防范错因与防范 (1)解答本例易将方差的性质用错，即解答本例易将方差的性质用错，即 D(aZb)aD(Z)b. (2)解决此类问题方法，应利用公式解决此类问题方法，应利用公式 E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)，将求，将求 E(aXb)，D(aXb)的问题转化为求的问题转化为求 E(X)，D(X)的问题，从而可以避免求的问题，从而可以避免求 aXb 的的 分布列的烦琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计分布列的烦琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算算. 随堂训练随堂训练 1若随机变量若随机变量 X 服从两点分布，且成功概率服从两点分布，

18、且成功概率 P0.5，则，则 D(X)和和 E(X)分别为分别为( ) A0.25 和和 0.5 B0.75 和和 0.5 C0.25 和和 1 D0.75 和和 1 解析：解析：E(X)0.5，D(X)0.5(10.5)0.25. 答案：答案：A 2(2016 高考江苏卷高考江苏卷)已知一组数据已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4，5.5，则该组则该组 数据的方差是数据的方差是_ 解析：解析：x4.7 4.85.15.45.5 5 5.1， 则该组数据的方差则该组数据的方差 s2 4.75.1 2 4.85.1 2 5.15.1 2 5.45.1 2 5.55.1 2 5 0.1.

19、答案：答案：0.1 3从从 4 名男生和名男生和 2 名女生中任选名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量人参加演讲比赛，设随机变量 X 表示所选表示所选 3 人中人中 女生的人数女生的人数 (1)求求 X 的分布列；的分布列； (2)求求 X 的均值和方差的均值和方差 解析：解析：(1)X 的可能的取值为的可能的取值为 0,1,2， P(Xk)C k 2C 3k 4 C3 6 ，k0,1,2. X 的分布列为的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 (2)由由(1)得，得，X 的均值与方差为的均值与方差为 E(X)01 5 13 5 21 5 1. D(X)(01)21 5 (11)23 5 (12)21 5 2 5. 课时作业