北京市西城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析.doc

1、 北京市西城区北京市西城区 2018 2018 20192019 学年度第一学期期末试卷学年度第一学期期末试卷 高一数学高一数学 试卷满分：试卷满分：150150 分分 考试时间：考试时间：120120 分钟分钟 A A 卷卷 三角函数与平面向量三角函数与平面向量 本卷满分：本卷满分：100100 分分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的项中，只有一项是符合要求的. . 1.的值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题

2、意结合诱导公式求解三角函数值即可. 【详解】由题意可得： . 本题选择 D选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于基础题目. 2.函数的最小正周期为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合最小正周期公式求解函数的最小正周期即可. 【详解】由最小正周期公式可得函数的最小正周期为. 本题选择 C选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的周期公式，属于基础题. 3.如果向量， ，那么 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得的坐标表示，然后求解其模长即可. 【详解】由题意可得， 则. 本题选择 B选项. 【

3、点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 4.（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合诱导公式化简三角函数式即可. 【详解】由题意结合诱导公式可得： . 本题选择 C选项. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用， ，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 5.已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 逐一考查函数在所给区间的单调性确定满足题意的区间即可. 【详解】逐一考查所给的区间： A.，函数在区间上单调递增

4、，函数在区间上单调递减，不合题意； B.，函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，符合题意； C.，函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，不合题意； D.，函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，不合题意； 本题选择 B选项. 【点睛】 本题主要考查三角函数的单调性及其应用等知识， 意在考查学生的转化能力和计算 求解能力. 6.如图，在中，D是BC上一点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合向量的运算整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得： . 本题选择 D选项. 【点睛】本题主要考查平面向量的加法公式、减法公式等知识，意在考查学

5、生的转化能力和 计算求解能力. 7.已知为单位向量，且 ，那么向量的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合向量的夹角公式求解向量的夹角即可. 【详解】设向量的夹角是，由题意可得： ，则， 即向量的夹角是. 本题选择 D选项. 【点睛】本题主要考查平面向量夹角的计算，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力. 8.设，则使 成立的 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合三角函数的图像确定不等式的解集即可. 【详解】绘制函数在区间上的图像如图所示， 且易知， 观察可得，使成立的 的取值范围是

6、. 本题选择 B选项. 【点睛】本题主要考查三角不等式的 解法，三角函数图像的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9.已知函数， ，其图象如图所示为得到函数的图 象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍纵坐标不变，再 A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 首先确定函数的解析式，然后确定函数的变换即可. 【详解】由图 1 可知，函数的周期为，则， 当时，则， 令可得，则， 同理可得. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍纵坐标不变，据此可得函数的解析式为： ， 而， 则图象上各

7、点的横坐标缩短到原来的 倍纵坐标不变，再将函数图像向右平移 个单位即 可得到函数的图象. 【点睛】已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得 出，困难的是求待定系数 和 ，常用如下两种方法： (1)由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点” 横坐标 x0，则令 x00(或 x0)，即可求出 . (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形 解出 和 ，若对 A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 10.在中， ，是BC边上的动点，则的取值范围是 A. B

8、. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合平面向量的加减法和向量的数量积运算法则确定的取值范围即可. 【详解】设，则： ， 由于，故： ， 由于，故， 结合一次函数的性质可知. 本题选择 A选项. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的 几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. . 11.若，且为第三象限的角，则 _ 【答案】 【解析】 【分析

9、】 由题意结合同角三角函数基本关系求解的值即可. 【详解】由题意结合同角三角函数基本关系可得： ，则. 【点睛】 本题主要考查同角三角函数基本关系及其应用， 意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 12.已知向量与向量共线的一个非零向量的坐标可以是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意结合向量共线的充分必要条件确定一个非零向量的坐标即可. 【详解】由向量共线的充分必要条件可知满足题意的向量为：， 取可得：与向量共线的一个非零向量的坐标可以是. 【点睛】本题主要考查向量共线的定义及其应用，属于基础题. 13.如果，那么x的最小值是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意求解三角方程确定 x

10、的最小值即可. 【详解】解三角方程可得：，则， 由于，故取可得 的最小值为. 【点睛】本题主要考查三角方程的解法，正切函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力. 14.如图，已知正方形若，其中 ，则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意首先确定的值，然后求解其比值即可. 【详解】由题意可得：， 则，即. 【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进 行向量的加、减或数乘运算 (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论 表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 15.在直角坐标系中，已知点，是坐标平

11、面内的一点 若四边形是平行四边形，则点的坐标为_； 若，则点的坐标为_ 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由题意结合平面向量的坐标运算求解点的坐标即可. 【详解】.设点的坐标为，四边形是平行四边形，则： ，据此可得：，点的坐标为. .由题意可得：， 故，设，由题意可得：， 据此可得：，解得：，点的坐标为. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量在几何中的应用等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力. 16.设函数若的图象关于直线 对称，则 的取值集合是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意结合三角函数的性质确定 的取值集合即可. 【详解】由题意可知，函数的对称轴方

12、程为：， 即， 结合题意有：，整理可得 的取值集合是. 【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，三角函数的对称轴等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 3 3 小题，共小题，共 3636 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤算步骤. . 17.，且 求的值； 求的值 【答案】()；(). 【解析】 【分析】 ()首先求得的值，然后利用两角和差正切公式求解三角函数式的值即可； ()由题意结合降幂公式和两角和的正切公式求解三角函数式的值即可. 【详解】 （）因为， 所以 所以 （）因为， 所以 所

13、以 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，三角函数公式的应用等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力. 18.函数的部分图象如图所示，其中 ， 求的解析式； 求在区间上的最大值和最小值； 写出的单调递增区间 【答案】 （）； （）最大值 ；最小值 （）（） 【解析】 【分析】 ()结合函数图像分别确定的值即可确定函数的解析式； ()由函数的解析式结合正弦函数的性质确定函数的最值即可； ()结合函数的解析式写成函数的单调增区间即可. 【详解】 （）由图象可知 因为的最小正周期为， 所以 令，解得，适合 所以 （）因为，所以 所以，当，即时，取得最大值 ； 当，即时，取得最小值 （

14、）的单调递增区间满足：， 求解不等式组可得其在区间为：（） 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，函数最值的求解，函数单调区间的求解等知 识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.在直角坐标系xOy中，已知点，其中 求的最大值； 是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在， 说明理由 【答案】 （） （）答案见解析. 【解析】 【分析】 ()首先求得向量的坐标表示， 然后求解其数量积， 结合三角函数的性质确定其最大值即可； ()首先确定最大的角，然后结合()中的结论求解三角不等式确定的取值范围即可. 【详解】 （）， 所以 因为，所以 所以当，即时，取得最大值 （

15、）因为， 又，所以， 所以， 所以若为钝角三角形，则角 是钝角，从而 由（）得，解得 所以，即 反之，当时， 又三点不共线，所以为钝角三角形 综上，当且仅当时，为钝角三角形 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量在几何中的应用等知识，意在考查 学生的转化能力和计算求解能力. B B 卷卷 学期综合学期综合 本卷满分：本卷满分：5050 分分 四、填空题：本大题共四、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 20.若集合， ，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 结合题意由并集的定义求解即可. 【详

16、解】由题意结合并集的定义可得：. 【点睛】本题主要考查并集的定义，属于基础题. 21.函数的定义域是_ 【答案】，或 【解析】 【分析】 由题意结合函数的解析式求解函数的定义域即可. 【详解】函数有意义，则：， 求解不等式组可得函数的定义域为，或. 【点睛】 求函数的定义域， 其实质就是以函数解析式有意义为准则， 列出不等式或不等式组， 然后求出它们的解集即可 22.已知三个实数，将a，b，c按从小到大排列为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意结合函数的单调性和所给的数与 1 的大小关系比较其大小即可. 【详解】由题意可得：， 则 a，b，c 按从小到大排列为. 【点睛】对于指数幂的大小的

17、比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因 幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方 法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据 指数函数的单调性进行判断 对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较， 利用图象法求解， 既快捷， 又准确 当底数与指数都不相同时， 选取适当的“媒介”数 （通常以“0”或“1”为媒介） ， 分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小 23.里氏震级M的计算公式为：，其中 是标准地震的振幅，A是测震 仪记录的地震曲线的最大振幅在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是

18、500，则 此次地震的里氏震级为_级；8 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的_倍 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由题意结合定义的知识和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得，地震曲线的最大振幅是 500时， 地震的里氏震级为级， 设 8级地震的最大振幅为 ，则：，解得：， 据此可知：8级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的倍. 【点睛】本题主要考查新定义的应用，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 24.已知函数 若，则 的值域是_；若的值域是 ，则实数的取值范围是_ 【答案】 (1). (2). 【解析】 若

19、，由二次函数的性质，可得，的值域为，若 值域为，时，且时，要使的值域为，则 ，得，实数的取值范围是 ，故答案为. 五、解答题：本大题共五、解答题：本大题共 3 3 小题，共小题，共 3030 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤算步骤. . 25.已知函数 证明：是奇函数； 判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明 【答案】()证明见解析；()答案见解析. 【解析】 【分析】 ()首先确定函数的定义域，然后考查与的关系即可证得函数为奇函数； ()由题意结合函数的单调性的定义确定并证明函数的单调性即可. 【详解】 （）函数的定义域为.

20、对于任意，因为， 所以是奇函数 （）函数在区间上是减函数 证明：在上任取，且， 则 由，得， 所以，即. 所以函数在区间上是减函数. 【点睛】本题主要考查奇函数的判定，函数的单调性的判定等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 26.已知函数定义在区间上，其中 若，求的最小值； 求的最大值 【答案】()-2；()当时，的最大值为；当时，的 最大值为 【解析】 【分析】 ()由题意结合函数的解析式确定函数的单调性，然后确定函数的最值即可； ()由题意分类讨论，和三中情况确定函数的最大值即可. 【详解】 （）当时， 所以在区间上单调递增，在上单调递减 因为， 所以的最小值为 （）当时， 所

21、以在区间上单调递增， 所以的最大值为 当时，函数图像的对称轴方程是. 当，即时，的最大值为. 当时，在区间上单调递增， 所以的最大值为 综上，当时，的最大值为； 当时，的最大值为 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次 函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向； 对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析 27.已知函数的定义域为若对于任意， ，且，都有， 则称函数为“凸函数” 判断函数与是否为“凸函数”，并说明理由； 若函数b为常数是“凸函数”，求a的取值范围； 写出一个定义在上的“凸函数”，满足只需写出结论

22、【答案】()答案见解析；()；() 【解析】 【分析】 ()由题意结合“凸函数”的定义判断所给的函数是否是“凸函数”即可； ()由题意得到关于 a的不等式，讨论确定实数 a的取值范围即可； ()按照“凸函数”的定义给出一个满足题意的函数即可. 【详解】 （）对于函数，其定义域为 取，有， 所以，所以不是“凸函数” 对于函数，其定义域为 对于任意，且，由 ， 所以 因为， 所以，所以是“凸函数” （）函数的定义域为 对于任意，且， 依题意，有 因为，所以 （） 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后 根据此新定义去解决问题， 有时还需要用类比的方法去理解新的定义， 这样有助于对新定义 的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定 是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.