2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标Ⅰ） 文科数学试题（原卷版+全解全析）.doc

1、绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要

2、求的. 1.已知集合 2 |340, 4,1,3,5Ax xxB ，则AB （ ） A. 4,1 B. 1,5 C. 3,5 D. 1,3 2.若 3 1 2iiz ，则| |= z （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方 形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 （ ） A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 4.设 O为正方形 ABCD的中心，在 O，A，B，C，D中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为（

3、） A. 1 5 B. 2 5 C. 1 2 D. 4 5 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x（单位： C）的关系，在 20个不同的温度条 件下进行种子发芽实验，由实验数据( , )(1,2,20) ii x yi 得到下面的散点图： 由此散点图， 在 10 C至 40 C 之间， 下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归方程类型 的是（ ） A. yabx B. 2 yabx C. exyab D. lnyabx 6.已知圆 22 60xyx，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.

4、设函数( )cos () 6 f xx在 ,的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ） A 10 9 B. 7 6 C. 4 3 D. 3 2 8.设 3 log 42a，则4 a （ ） A. 1 16 B. 1 9 C. 1 8 D. 1 6 9.执行下面的程序框图，则输出的 n=（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 10.设 n a是等比数列，且 123 1aaa， 234 +2aaa ，则 678 aaa（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 11.设 12 ,F F是双曲线 2 2 :1 3 y C x 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且

5、| | 2OP ，则 12 PFF的 面积为（ ） A. 7 2 B. 3 C. 5 2 D. 2 12.已知 , ,A B C为球O的球面上的三个点， 1 O为ABC的外接圆，若 1 O的面积为4， 1 ABBCACOO，则球O的表面积为（ ） A. 64 B. 48 C. 36 D. 32 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.若 x，y满足约束条件 220, 10, 10, xy xy y 则 z=x+7y 的最大值为_. 14.设向量 (1, 1),(1,24)mmab ，若a b rr ，则m_. 15.曲线 ln1

6、yxx的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_. 16.数列 n a满足 2 ( 1)31 n nn aan ，前 16 项和为 540，则 1 a _. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D四个等级.加工业务约定：

7、对于 A级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90元，50元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔 偿原料损失费 50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25元/件，乙分厂加工成本 费为 20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100件这种产品，并统计了这 些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加

8、工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接 加工业务? 18.ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 B=150 . （1）若 a= 3c，b=27，求ABC的面积； （2）若 sinA+ 3sinC= 2 2 ，求 C. 19.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的 内接正三角形，P为DO上一点，APC=90 （1）证明：平面 PAB平面 PAC； （2）设 DO= 2，圆锥的侧面积为3，求三棱锥 PABC的体积. 20.已知函数( )(2) x f xea x. （1）当1a 时，讨论 ( )f x的单调性； （2）若 (

9、)f x有两个零点，求a的取值范围. 21.已知 A、B分别为椭圆 E： 2 2 2 1 x y a （a1）的左、右顶点，G为 E 的上顶点，8AG GB，P为直线 x=6 上的动点，PA 与 E的另一交点为 C，PB与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD过定点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分题计分. 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos,

10、sin k k xt yt (t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4 cos16 sin30 （1）当1k 时， 1 C是什么曲线？ （2）当4k 时，求 1 C与 2 C的公共点的直角坐标 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数 ( ) |31| 2|1|f xxx （1）画出( )yf x图像； （2）求不等式 ( )(1)f xf x 解集 绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全年普通高等学校招生全国统一考试国统一考试 文科数学文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2

11、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 2 |340, 4,1,3,5Ax xxB ，则AB （ ） A. 4,1 B. 1,5 C. 3,5 D. 1,3 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求得

12、集合 A，之后利用交集中元素的特征求得AB，得到结果. 【详解】由 2 340xx解得14x ， 所以| 14Axx ， 又因为4,1,3,5B ，所以1,3AB ， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交 运算，属于基础题目. 2.若 3 1 2iiz ，则| |= z （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】C 【分析】先根据 2 1i 将z化简，再根据向量模的计算公式即可求出 【详解】因为 3 1+21+21ziiiii ，所以 22 112z 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容

13、易题 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方 形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 （ ） A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 【答案】C 【分析】设,CDa PEb，利用 2 1 2 POCD PE得到关于, a b方程，解方程即可得到答案. 详解】如图，设,CDa PEb，则 2 222 4 a POPEOEb ， 由题意 2 1 2 POab，即 2 2 1 42 a bab，化简得 2 4( )210 bb aa ， 解得 15 4 b a （负值

14、舍去）. 故选：C. 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.设 O为正方形 ABCD的中心，在 O，A，B，C，D中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为（ ） A. 1 5 B. 2 5 C. 1 2 D. 4 5 【答案】A 【分析】 列出从 5个点选 3个点的所有情况， 再列出 3 点共线的情况， 用古典概型的概率计算公式运算即可. 【详解】如图，从O A B C D, , , ,5 个点中任取 3个有 , , , , , , , , , , O A BO A CO A DO B C , , , , , , , , ,O B DO

15、 C DA B CA B D , , , ,A C DB C D共10种不同取法， 3 点共线只有 , , A O C与 ,B O D共 2 种情况，由古典概型的概率计算公式知， 取到 3 点共线的概率为 21 105 .故选：A 【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x（单位： C）的关系，在 20个不同的温度条 件下进行种子发芽实验，由实验数据( , )(1,2,20) ii x yi 得到下面的散点图： 由此散点图， 在 10 C至 40 C 之间， 下面四个回归方程类型中

16、最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归方程类型 的是（ ） A. y abx B. 2 yabx C. exyab D. lnyabx 【答案】D 【分析】 根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 6.已知圆 22 60xyx，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】根据直线和圆心与点(1,2)连线垂直时，所求

17、的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆 22 60xyx化为 22 (3)9xy，所以圆心C坐标为 (3,0)C ，半径为3， 设(1,2)P，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短， 根据弦长公式最小值为 2 2 9 |2 982CP .故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 7.设函数( )cos () 6 f xx在 ,的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ） A. 10 9 B. 7 6 C. 4 3 D. 3 2 【答案】C 【分析】 由图可得：函数图象过点 4 ,0 9 ，即可得到 4 cos0

18、96 ，结合 4 ,0 9 是函数 f x图象 与x轴负半轴的第一个交点即可得到 4 962 ， 即可求得 3 2 ， 再利用三角函数周期公式即可 得解. 【详解】由图可得：函数图象过点 4 ,0 9 ， 将它代入函数 f x可得： 4 cos0 96 又 4 ,0 9 是函数 f x图象与x轴负半轴的第一个交点， 所以 4 962 ，解得： 3 2 所以函数 f x的最小正周期为 224 3 3 2 T 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 8.设 3 log 42a ，则4 a （ ） A. 1 16 B. 1 9 C. 1 8

19、D. 1 6 【答案】B 【分析】 首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到 3 log 42 a ，即4 9 a ，进而求得 1 4 9 a ，得到 结果. 【详解】由 3 log 42a 可得 3 log 42 a ，所以4 9 a ， 所以有 1 4 9 a ，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则， 属于基础题目. 9.执行下面的程序框图，则输出的 n=（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 【答案】C 【分析】 根据程序框图的算法功能可知，要计算满足1 3 5100n 的最小正奇数n，根据等差数列

20、求和公 式即可求出 【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足1 3 5100n 的最小正奇数， 因为 2 1 11 12 1 351100 24 n n nn ，解得19n， 所以输出的21n 故选：C. 【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n项和公式的应用，属于基础题 10.设 n a是等比数列，且 123 1aaa， 234 +2aaa ，则 678 aaa（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【分析】根据已知条件求得q的值，再由 5 678123 aaaqaaa可求得结果. 【详解】设等比数列 n a的公比为q，则 2 12

21、31 11aaaaqq， 232 2341111 12aaaa qa qa qa qqqq， 因此， 567525 6781111 132aaaa qa qa qa qqqq. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题 11.设 12 ,F F是双曲线 2 2 :1 3 y C x 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且| | 2OP ，则 12 PFF的 面积为（ ） A. 7 2 B. 3 C. 5 2 D. 2 【答案】B 【分析】 由 12 FF P是 以 P 为 直 角 直 角 三 角 形 得 到 22 12 |16PFPF， 再 利 用 双 曲 线 的 定

22、义 得 到 12 |2PFPF，联立即可得到 12 |PFPF，代入 1 2 F F P S 12 1 | 2 PFPF中计算即可. 【详解】由已知，不妨设 12 ( 2,0),(2,0)FF， 则1,2ac，因为 12 1 | 1| 2 OPFF， 所以点P在以 12 FF为直径的圆上， 即 12 FF P是以 P 为直角顶点的直角三角形， 故 222 1212 |PFPFFF， 即 22 12 |16PFPF，又 12 |22PFPFa， 所以 2 12 4|PFPF 22 12 |2PFPF 12 | 162PFPF 12 |PFPF， 解得 12 | 6PFPF ，所以 1 2 F F

23、 P S 12 1 | 3 2 PFPF 故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力， 是一道中档题. 12.已知 , ,A B C为球O的球面上的三个点， 1 O为ABC的外接圆，若 1 O的面积为4， 1 ABBCACOO，则球O的表面积为（ ） A. 64 B. 48 C. 36 D. 32 【答案】A 【分析】由已知可得等边ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出 1 OO的值，根据球截面性质，求出 球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆 1 O半径为r，球的半径为R，依题意， 得 2 4 ,2rr ， 由正弦定理可得2 sin

24、602 3ABr ， 1 2 3OOAB，根据圆截面性质 1 OO 平面ABC， 2222 11111 ,4OOO A ROAOOO AOOr， 球O的表面积 2 464SR . 故选：A 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.若 x，y满足约束条件 220, 10, 10, xy xy y 则 z=x+7y 的最大值为_. 【答案】1 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区

25、域如图所示， 目标函数7zxy即： 11 77 yxz ， 其中 z取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A处取得最大值， 联立直线方程： 220 10 xy xy ，可得点 A 的坐标为：()1,0A， 据此可知目标函数的最大值为： max 1 7 01z . 故答案为：1 【点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z值 最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z值最小，在 y轴 上截距最小时，z 值最大. 14.设向

26、量 (1, 1),(1,24)mmab ，若a b rr ，则m_. 【答案】5 【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b rr 可得 0a b ， 又因为(1, 1),(1,24)abmm， 所以1 (1)( 1) (24)0a bmm ， 即5m， 故答案为：5. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 15.曲线 ln1yxx的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_. 【答案】2yx 【分析】设切线的切点坐标为 00 (,)xy，对函数求导，利用 0 |2 x y ，求出 0 x

27、，代入曲线方程求出 0 y，得 到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为 00 1 (,),ln1,1xyyxxy x ， 0 00 0 1 |12,1,2 x x yxy x ，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)yx，即2yx. 故答案为：2yx. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 16.数列 n a满足 2 ( 1)31 n nn aan ，前 16 项和为 540，则 1 a _. 【答案】7 【分析】 对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用 1 a表示，由 偶数项递推公式得出偶数项的和，建立

28、1 a方程，求解即可得出结论. 【详解】 2 ( 1)31 n nn aan ， 当n为奇数时， 2 31 nn aan ；当n为偶数时， 2 31 nn aan . 设数列 n a前n项和为 n S， 16123416 Saaaaa 13515241416 ()()aaaaaaaa 111111 (2)(10)(24)(44)(70)aaaaaa 11 (102)(140)(5 172941)aa 11 8392928484540aa， 1 7a.故答案为：7. 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属 于较难题. 三、解答题：共三、解答题

29、：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D四个等级.加工业务约定： 对于 A级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90元，50元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔 偿原料损失费 50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工

30、成本费为 25元/件，乙分厂加工成本 费为 20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100件这种产品，并统计了这 些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接 加工业务? 【答案】 （1）甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28；

31、 （2）选甲 分厂，理由见解析. 【分析】 （1）根据两个频数分布表即可求出； （2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择 【详解】 （1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为 40 0.4 100 ，乙厂加工出来的一件产品 为A级品的概率为 28 0.28 100 ； （2）甲分厂加工100件产品的总利润为 4090252050252020252050251500元， 所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件； 乙分厂加工100件产品总利润为 2890201750203420202150201000元， 所以乙分厂加工100件产

32、品的平均利润为10元每件 故厂家选择甲分厂承接加工任务 【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基 础题 18.ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 B=150 . （1）若 a= 3c，b=27，求ABC的面积； （2）若 sinA+ 3sinC= 2 2 ，求 C. 【答案】 （1） 3； （2）15. 【解析】 【分析】 （1）已知角B和b边，结合 , a c关系，由余弦定理建立c的方程，求解得出, a c，利用面积公式，即可得 出结论； （2）将30AC代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三角函

33、数值，结 合C的范围，即可求解. 【详解】 （1）由余弦定理可得 2222 282cos1507bacacc ， 2,2 3,caABC 的面积 1 sin3 2 SacB； （2）30A C， sin3sinsin(30)3sinACCC 132 cossinsin(30 ) 222 CCC ， 030 ,303060CC， 3045 ,15CC . 【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于 基础题. 19.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点， APC=90 （1）证明：平面 PAB平面 P

34、AC； （2）设 DO= 2，圆锥的侧面积为3，求三棱锥 PABC的体积. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 6 8 . 【分析】 （1）根据已知可得PAPBPC，进而有PACPBC，可得 90APCBPC ，即PBPC，从而证得PC 平面PAB，即可证得结论； （2）将已知条件转化为母线l和底面半径r的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC中求出AP，在Rt APO中，求出PO，即可求出结论. 【详解】 （1）DQ为圆锥顶点，O为底面圆心，OD平面ABC， P在DO上，,OAOBOCPAPBPC， ABC是圆内接正三角形，ACBC，PACPB

35、C， 90APCBPC，即,PBPC PAPC， ,PAPBPPC平面,PAB PC 平面PAC，平面PAB 平面PAC； （2）设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为3 ,3rlrl， 222 2ODlr ，解得1,3rl，2 sin603ACr， 在等腰直角三角形APC中， 26 22 APAC ， 在Rt PAO中， 22 62 1 42 POAPOA， 三棱锥P ABC的体积为 11236 3 33248 P ABCABC VPO S . 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转 化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于

36、中档题. 20.已知函数( )(2) x f xea x. （1）当1a 时，讨论 ( )f x的单调性； （2）若 ( )f x有两个零点，求a的取值范围. 【答案】 （1）减区间为(,0)，增区间为(0,)； （2） 1 ( ,) e . 【分析】 （1） 将1a 代入函数解析式， 对函数求导， 分别令导数大于零和小于零， 求得函数的单调增区间和减区间； （2）若 ( )f x有两个零点，即 (2)0 x ea x有两个解，将其转化为 2 x e a x 有两个解，令 ( )(2) 2 x e h xx x ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果. 【详解】 （1）当1a 时，( )(2)

37、 x f xex， ( ) 1 x fxe， 令 ( ) 0fx ，解得0x，令 ( ) 0fx ，解得0x， 所以 ( )f x的减区间为(,0) ，增区间为(0,)； （2）若 ( )f x有两个零点，即 (2)0 x ea x有两个解， 从方程可知，2x不成立，即 2 x e a x 有两个解， 令( )(2) 2 x e h xx x ，则有 22 (2)(1) ( ) (2)(2) xxx exeex h x xx ， 令 ( ) 0h x ，解得1x ，令 ( ) 0h x ，解得2x或21x ， 所以函数( )h x在(, 2) 和( 2, 1)上单调递减，在( 1,) 上单调递

38、增， 且当2x时，( )0h x ， 而2x 时， ( )h x ，当x 时，( )h x ， 所以当 2 x e a x 有两个解时，有 1 ( 1)ah e ， 所以满足条件的a的取值范围是： 1 ( ,) e . 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根 据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 x ye和直线 (2)ya x有两个交点，利用过点( 2,0)的曲线 x ye的切线斜率，结合图形求得结果. 21.已知 A、B分别为椭圆 E： 2 2 2 1 x y a （a1）的左、右顶点，G为 E

39、 的上顶点，8AG GB，P为直线 x=6 上的动点，PA 与 E的另一交点为 C，PB与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD过定点. 【答案】 （1） 2 2 1 9 x y； （2）证明详见解析. 【分析】 （1） 由已知可得：,0Aa， ,0B a，0,1G， 即可求得 2 1AG GBa ， 结合已知即可求得： 2 9a ， 问题得解. （2） 设 0 6,Py， 可得直线AP的方程为： 0 3 9 y yx， 联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为 2 00 22 00 3276 , 99 yy yy ，同理可得点D的坐标为 2 00 2

40、2 00 332 , 11 yy yy ，即可表示出直线CD的方 程，整理直线CD的方程可得： 0 2 0 43 23 3 y yx y ，命题得证. 【详解】 （1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程 2 2 2 :1(1) x Eya a 可得： ,0Aa， ,0B a，0,1G ,1AGa，, 1GBa 2 18AG GBa ， 2 9a 椭圆方程为： 2 2 1 9 x y （2）证明：设 0 6,Py， 则直线AP的方程为： 0 0 3 63 y yx ，即： 0 3 9 y yx 联立直线AP的方程与椭圆方程可得： 2 2 0 1 9 3 9 x y y yx ，整理得： 2222

41、 000 969810yxy xy，解得： 3x或 2 0 2 0 327 9 y x y 将 2 0 2 0 327 9 y x y 代入直线 0 3 9 y yx可得： 0 2 0 6 9 y y y 所以点C的坐标为 2 00 22 00 3276 , 99 yy yy . 同理可得：点D的坐标为 2 00 22 00 332 , 11 yy yy 直线CD的方程为： 00 22 2 00 00 2222 0000 22 00 62 91233 3273311 91 yy yyyy yx yyyy yy ， 整理可得： 2 22 00 0000 222 42 000 00 83 2338

42、33 1116 96 3 yy yyyy yxx yyyyy 整理得： 000 2 22 0 00 4243 323 33 3 yyy yxx yyy 故直线CD过定点 3 ,0 2 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属 于难题. （二（二）选考题：共）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分题计分. 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos, sin k

43、k xt yt (t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4 cos16 sin30 （1）当1k 时， 1 C是什么曲线？ （2）当4k 时，求 1 C与 2 C的公共点的直角坐标 【答案】 （1）曲线 1 C表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆； （2） 1 1 ( , ) 4 4 . 【分析】 （1）利用 22 sincos1tt消去参数t，求出曲线 1 C的普通方程，即可得出结论； （2）当4k 时，0,0xy，曲线 1 C的参数方程化为 2 2 cos ( sin xt t yt 为参数） ，两式相加消去参数t， 得 1 C普通方程，由

44、cos,sinxy，将曲线 2 C化为直角坐标方程，联立 12 ,C C方程，即可求解. 【详解】 （1）当1k 时，曲线 1 C的参数方程为 cos ( sin xt t yt 为参数） ， 两式平方相加得 22 1xy， 所以曲线 1 C表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆； （2）当4k 时，曲线 1 C的参数方程为 4 4 cos ( sin xt t yt 为参数） ， 所以0,0xy，曲线 1 C的参数方程化为 2 2 cos ( sin xt t yt 为参数） ， 两式相加得曲线 1 C方程为1xy， 得1yx ，平方得21,01,01yxxxy， 曲线 2 C的极坐标方程为4 cos16 sin30，