台湾2020高考题-03-109指考數甲試卷定稿.pdf

1、 大學入學考試中心 109 學指定科目考試試題 學甲 作答注意事項 考試時間：80 分鐘 作答方式：選擇（填）題用 2B 鉛筆在答案卡上作答；正時，應以橡皮擦擦拭， 勿使用修正液（帶） 。 非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在答案卷上作答；正時，可以 使用修正液（帶） 。 未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨答案；或未使用黑色墨水的筆 書寫答案卷，致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者，其後果由考生自 承擔。 答案卷每人一張，得要求增補。 選填題作答明：選填題的題號是 A，B，C，而答案的格式每題可能同，考生 必須依各題的格式填答，且每一個號只能在一個格子畫記。請仔細 閱下面的子。 ：第 B 題的

2、答案格式是 ，而依題意計算出的答案是 8 3 ，則考生 必須分別在答案卡上的第 18 的 與第 19 的 畫記，如： ：第 C 題的答案格式是 ，而答案是 7 50 時，則考生必須分別在答案 卡的第 20 的 與第 21 的 畫記，如： 3 7 8 20 21 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 18 19 1 2 8 4 5 6 7 3 9 0 20 21 1 2 3 4 5 6 8 7 9 0 1 2 3 4 5 6 7 9 0 8 18 19 第 1 頁 109 年指考 共 7 頁 數 學 甲 - 1 - 第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占第壹部分：選擇題（單選題、多

3、選題及選填題共占 76 分）分） 一、單選題（占一、單選題（占 18 分）分） 明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項， 請畫記在答案卡之選擇（填）題答案區。各題答對者，得 6 分；答錯、 未作答或畫記多於一個選項者，該題以分計算。 1. 已知45 50，且設 2 1cosa 、 1 cos cos b 、 2 tan tan1 c 。關於, ,a b c三個數 值的大小，試選出正確的選項。 (1) abc (2) acb (3) bac (4) bca (5) cab 2. 有,A B兩個箱子，其中A箱有6顆白球與4顆紅球，B箱有8顆白球與2顆藍球。

4、現 有三種抽獎方式（各箱中每顆球被抽取的機率相同） ： （一） 先在A箱中抽取一球，若抽中紅球則停止，若抽到白球則再從B箱中抽取一球； （二） 先在B箱中抽取一球，若抽中藍球則停止，若抽到白球則再從A箱中抽取一球； （三）同時分別在,A B箱中各抽取一球。 給 獎 方 式 為：在 紅、藍 這 兩 種 色 球 當 中，若 只 抽 到 紅 球 得50元 獎 金；若 只 抽 到 藍 球 得100元 獎 金；若 兩 種 色 球 都 抽 到，則 仍 只 得100元 獎 金；若 都 沒 抽 到，則 無 獎 金。將 上 列（一） 、 （二） 、 （三）這 3 種 抽 獎 方 式 所 得 獎 金 的 期 望

5、值 分 別 記 為 1 E、 2 E、 3 E， 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 123 EEE (2) 123 EEE (3) 231 EEE (4) 132 EEE (5) 321 EEE 109 年指考 第 2 頁 數學甲 共 7 頁 - 2 - 3. 根據實驗統計，某種細菌繁殖，其數量平均每3.5小時會擴增為2.4倍。假設實驗 室的試管一開始有此種細菌 1000 隻，根據指數函數模型，試問大約在多少小時 後此種細菌的數量會到達 10 4 10隻左右？（註：log20.3010，log30.4771） (1) 63小時 (2) 70小時 (3) 77小時 (4) 84小時 (

6、5) 91小時 二、多選題（占二、多選題（占 40 分）分） 明：第 4 題至第 8 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之選擇（填）題答案區。各題之選項獨判定，所 有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者， 得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以分計算。 4. 在坐標平面上，設O為原點，且A、B為異於O的相異兩點。令 123 ,C C C為平面上 三個點，且滿足 OCn OA n OB， 1,2,3n，試選出正確的選項。 (1) OC1 0 (2) 123 OCOCOC (3) OC

7、1 OA OC2 OA OC3 OA (4) OC1 OB OC2 OB OC3 OB (5) 123 ,C C C在同一直線上 第 3 頁 109 年指考 共 7 頁 數 學 甲 - 3 - 5. 對一實數a，以 a表示不大於a的最大整數，例如：1.221 ，1.22。 考慮無理數10001，試選出正確的選項。 (1) 1aaa 對任意實數a均成立 (2) 數列 n n b n 發 散 ，n為 正 整 數 (3) 數列 n n c n 發散，n為正整數 (4) 數列 n dn n 發散，n為正整數 (5) 數列 n en n 發散，n為正整數 6. 設( )F x、( )f x皆為實係數多項

8、式函數。已知( )( )Fxf x ，試選出正確的選項。 (1) 若0a，則 0 ( )(0)( ) a F aFf t dt (2) 若( )F x除以x的商式為( )Q x，則(0)(0)Qf (3) 若( )f x可被1x整除，則( )(0)F xF可被 2 (1)x 整除 (4) 若對所有實數x， 2 ( ) 2 x F x 都成立，則對所有實數x，( )f xx也都成立 (5) 若對所有0x，( )f xx都成立，則對所有0x， 2 ( ) 2 x F x 也都成立 109 年指考 第 4 頁 數學甲 共 7 頁 - 4 - 7. 在 複 數 平 面 上，設O為 原 點，且A、B分

9、別 表 示 坐 標 為 複 數z、1z的 點。已 知 點A、點B都 在 以O為 圓 心 的 單 位 圓 上 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 直線AB與實數軸平行 (2) OAB為直角三角形 (3) 點A在第二象限 (4) 3 1z (5) 坐標為 1 1 z 的點也在同一單位圓上 8. 設 二階實係 數方陣A代表 坐標平 面的一個 鏡射變換 且滿足 3 01 10 A ；另 設二 階 實 係 數 方 陣B代 表 坐 標 平 面 的 一 個 （ 以 原 點 為 中 心 的 ） 旋 轉 變 換 且 滿 足 3 10 01 B ，試選出正確的選項。 (1) A恰有三種可能 (2) B

10、恰有三種可能 (3) ABBA (4) 二階方陣AB代表坐標平面的一個旋轉變換 (5) 10 01 BABA 第 5 頁 109年指考 共 7 頁 數 學 甲 - 5 - 三、選填題（占三、選填題（占 18 分）分） 明：1.第 A 至 C 題，將答案畫記在答案卡之選擇（填）題答案區所標示的 號 (919)。 2.每題完全答對給 6 分，答錯倒扣，未完全答對給分。 A. 在坐標空間中，設O為原點，且點P為三平面350xyz、320xyz、xyt 的交點，其中0t。若10OP ，則t 9 1011 。 （化成最簡根式） B. 考慮坐標平面上相異三點A、B、C，其中點A為(1,1)。分別以線段AB

11、、AC為 直徑作圓，此兩圓交於點A及點(4,2)P。已知3 10PB 且點B在第四象限，則點B 的坐標為 ( 12 , 1314 )。 C. 有一個三角形公園，其三頂點為O、A、B，在 頂 點O處 有 一 座150公尺高的觀 景台，某人站在觀景台上觀測地面上另兩個頂點A、B與AB的中點C，測得其俯 角分別為30、60、45。則此三角形公園的面積為 15161718 19 平方公尺。 （化成最簡根式） 以 下是第貳部分的非選 擇題，必須在答案卷面作答 109年指考 第 6 頁 數學甲 共 7 頁 - 6 - 第貳部分：非選擇題（占第貳部分：非選擇題（占 24 分）分） 明：本部分共有二大題，答案

12、必須寫在 答案卷 上，並於題號標明大題號 （一、 二）與子題號（(1)、(2)、） ，同時必須寫出演算過程或由，否則將予扣 分甚至分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且得使用鉛筆。 因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚辨，其 後果由考生自承擔。每一子題配分標於題末。 一. 坐 標 平 面 上，由A、B、C、D四 點 所 決 定 的 貝 茲 曲 線 （Bzier curve）指的 是 次 數 不 超 過3的 多 項 式 函 數，其 圖 形 通 過, A D兩 點，且 在 點A的 切 線 通 過 點B， 在 點D的 切 線 通 過 點C。令( )yf x是 由(0,0)A

13、、(1,4)B、(3,2)C、(4,0)D四 點 所決 定 的 貝 茲 曲 線 ， 試 回 答 下 列 問 題 。 (1) 設( )yf x的 圖 形 在 點D的 切 線 方 程 式 為yaxb，其 中, a b為 實 數。求, a b之 值 。 （2分 ） (2) 試證明多項式( )f x可以被 2 4xx所整除。（2分） (3) 試求( )f x。（4分） (4) 求定積分 6 2 8 ( )f xdx 之值。（4分） 背 面 還 有 試 題背 面 還 有 試 題 第 7 頁 109 年指考 共 7 頁 數 學 甲 - 7 - 二 . 一個邊長為 1 的正立方體-ABCD EFGH，點P為稜邊CG的中點，點Q、R分別在稜 邊BF、DH上，且,A Q P R為一平行四邊形的四個頂點，如下圖所示。 今設定坐標系，使得D、A、C、H的坐標分別為(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)， 且BQ t，試回答下列問題。 (1) 試求點P的坐標。（2 分） (2) 試求向量 AR（以t的式子來表示）。（2 分） (3) 試證明四角錐-G AQPR的體積是一個定值（與t無關），並求此定值。（4 分） (4) 當t 1 4 時，求點G到平行四邊形AQPR所在平面的距離。（4 分） A B C P G H F E R D Q