牛顿–莱布尼茨公式课件.ppt
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- 牛顿 莱布尼茨 公式 课件
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1、1第六章 定积分及其应用2一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义1 定积分的概念 3一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy,轴及x以及两直线bxax,所围成,求其面积 A.?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahyOxab41xix1ixxabyO解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底
2、,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2,1,nii53)近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4)取极限取极限.令,max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi62.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.,1iiitt任取将它分成,),2,1(,1nittii在每个小段上物体经2)常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,
3、1,21个分点中任意插入在nTT),2,1(nisi),2,1(ni已知速度n 个小段过的路程为73)近似和近似和.iniitvs1)(4)取极限取极限.iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限8Oab x二、定积分定义二、定积分定义,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1
4、xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f(x)在 a,b 上可积可积.记作9baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(10三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和AO11四、可积的充分条件四、可积的充分条
5、件:定理定理.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf12 作业作业 P136 1-8132 2 定积分的性质定积分的性质abbaxxfxxfd)(d)(0d)(aaxxfxxfkxxfkbabad)(d)(k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(合理规定合理规定性质一性质一性质二性质二性质三性质三14性质四性质四 若在 a,b 上则.0d)(xxfba,0)(xf性质五性质五.若在 a,b 上,)()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(15性质六性质六(估值定理)设,)(min,)(max,xfmxf
6、Mbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 性质七(定性质七(定积分中值定理)积分中值定理),)(baCxf若则至少存在一点,ba)(d)(abfxxfba使得16内容小结内容小结1.定积分的定义 乘积和式的极限2.定积分的性质17作业作业 p140 9.12 第二节 18一、积分上限的函数及其导数一、积分上限的函数及其导数 二、牛顿二、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 3 定积分的基本公式(牛顿-莱布尼兹公式)19)(xxhx一、变上限的定积分一、变上限的定积分,)(baCxf则变上限函数xattfxd)()(证证:,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(
7、d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理一定理一.若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf)(xfy xbayO20说明说明:1)定理 一 证明了连续函数的原函数是存在的.2)其他变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf所以也可以把定理一叫做原函数存在定理.)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx21例1 求)sin(|)sin()sin(2212xtdttxtxx解:xxdtt12)sin(xxdtt02)si
8、n(例2 求解:)sin(|)sin()sin()sin(220202xtdttdttxtxxxx22二、基本公式二、基本公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼茨公式)证证:根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令,)(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理二定理二.函数,则或23 例例3.计算.10dxex解解:例例4.计算正弦曲线轴所围成上与在xxy,0sin的面积.解解:0dsinxxAxcos0
9、1()12Oyxxysin1|011010eeeedxexx24内容小结内容小结,)()(,)(xfxFbaCxf且设则有1.微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼茨公式2.变限积分求导公式 25作业作业第三节 P144 14;17;18;20;21;24;27;26二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 4 4 定积分的换元法 和分部积分法 不定积分一、定积分的变量置换法一、定积分的变量置换法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法27一、定积分的变量置换法一、定积分的变量置换法 定理定理.设函数,)(baCxf单
10、值函数)(tx满足:1),)(1Ct 2)在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数,因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t则28说明说明:1)当 ,即区间换为,时,定理 1 仍成立.2)必需注意换元必换限换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即)(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t29
11、例例1.计算).0(d022axxaa解解:令,sintax 则,dcosdttax;0,0tx时当.,2tax时 原式=2attad)2cos1(2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos2O22xayxyaS且30例例2.计算.d12240 xxx解解:令,12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322;1t且 31例例3.,)(aaCxf设证证:(1)若,)()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2)若,)()(xfxf0d)(aaxxf则xxfa
12、d)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad)()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令32例例4.计算2210sinxdxx0sin2210 xdxx解:因为xxxfsin)(10是奇函数,积分区间对称原点,所以33二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法,)(,)(1baCxvxu设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()()()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(x
13、vxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba34例例5.计算.darcsin210 xx解解:原式=xx arcsin021210 xxxd1212)1(d)1(212022121xx1221)1(2x0211223135内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习思考与练习1.提示提示:令,txu_d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin362.设,0)1(,)(1fCtf,lnd)(31xttfx(e).f求解法解法1.31d)(lnxttfx)1()(3fxf)(3xf,3x
14、u 令3ln)(uuf得uln3131(e)f解法解法2.对已知等式两边求导,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得)1(d)(e)e1fuuffe1131duu31思考思考:若改题为xttfxlnd)(313?(e)f提示提示:两边求导,得331)(xxfe1d)(e)xxff得373.设,1,0)(连续在xf ,3)2(,1)0(ff且,5)2(f求.d)2(10 xxfx 解解:xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部积分分部积分)38 作业作业P149 33;34;38;40;44;50;51;52;习
15、题课 39三、旋转体的体积三、旋转体的体积5 5 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用 二、二、直角坐标系中的平面图形的面积直角坐标系中的平面图形的面积一、概述一、概述40一、概述iAniiAA1 用定积分解决面积问题时的方法和步骤用定积分解决面积问题时的方法和步骤。总的思路:1、将区间a,b分成n个子区间;所求之曲边梯形A的面积为每个子区间小曲边梯形的面积 之和,即 412、第i个子区间上取iA的近似值iiixfA)(3、得总和niiixfA1)(4、取极限得dxxfxfAbaniii)()(lim1042 实 际问题中有很多其他的几何量和物理量的类似问题,具体做法(微元法)如下:设
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