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类型专题11 图形运动中的有关函数关系问题 -2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(原卷版).doc

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    资源描述:

    1、 【类型综述】 图形运动的过程中,求面积随某个量变化的函数关系,是中考数学的热点问题来源:Z,xx,k.Com 计算面积常见的有四种方法,一是规则图形的面积用面积公式;二是不规则图形的面积通过割补进行计算; 三是同高(或同底)三角形的面积比等于对应边(或高)的比;四是相似三角形的面积比等于相似比的平 方 前两种方法容易想到,但是灵活使用第三种和第四种方法,可以使得运算简单 【方法揭秘】 一般情况下,在求出面积 S 关于自变量 x 的函数关系后,会提出在什么情况下(x 为何值时) ,S 取得最大值 或最小值 关于面积的最值问题,有许多经典的结论 例 1,周长一定的矩形,当正方形时,面积最大 例

    2、2,面积一定的矩形,当正方形时,周长最小 例 3,周长一定的正多边形,当边数越大时,面积越大,极限值是圆 例 4,如图 1,锐角ABC 的内接矩形 DEFG 的面积为 y,ADx,当点 D 是 AB 的中点时,面积 y 最大 例 5,如图 2,点 P 在直线 AB 上方的抛物线上一点,当点 P 位于 AB 的中点 E 的正上方时,PAB 的面积 最大 例 6,如图 3,ABC 中,A 和对边 BC 是确定的,当 ABAC 时,ABC 的面积最大 图 1 图 2 图 3 【典例分析】 例 1 如图 1,已知梯形 OABC,抛物线分别过点 O(0,0) 、A(2,0) 、B(6,3) (1)直接写

    3、出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标; (2)将图1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1,得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S,A1、 B1的坐标分别为 (x1, y1)、(x2,y2)用含 S 的代数式表示 x2x1,并求出当 S=36 时点 A1的坐标; (3)在图 1 中,设点 D 的坐标为(1,3),动点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运 动,动点 Q 从点 D 出发,以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时

    4、出发,当点 Q 到达点 M 时,P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t,是否存在某一时刻 t,使得直线 PQ、直线 AB、 x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出 t 的值;若不 存在,请说明理由 图 1 图 2 例 2 如图 1,抛物线 yax2bxc(a、b、c 是常数,a0)的对称轴为 y 轴,且经过(0,0)和 1 (,) 16 a两点, 点 P 在该抛物线上运动,以点 P 为圆心的P 总经过定点 A(0, 2) (1)求 a、b、c 的值; (2)求证:在点 P 运动的过程中,P 始终与 x 轴相交; (3)设P

    5、与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N(x2, 0)两点,当AMN 为等腰三角形时,求圆心 P 的纵坐标 图 1 例3 如图 1,已知一次函数 yx7 与正比例函数 4 3 yx 的图象交于点 A,且与 x 轴交于点 B (1)求点 A 和点 B 的坐标; (2)过点 A 作 ACy 轴于点 C,过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个单位长的速度, 沿 OCA 的路线向点 A 运动;同时直线 l 从点 B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线 l 交 x 轴于点 R,交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时,点 P 和直线 l 都停止运

    6、动在运动过 程中,设动点 P 运动的时间为 t 秒 当 t 为何值时,以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8? 是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求 t 的值;若不存在,请说明理由 例 4 如图 1,在 RtABC 中,ACB90 ,AB13,CD/AB,点 E 为射线 CD 上一动点(不与点 C 重合) , 联结 AE 交边 BC 于 F,BAE 的平分线交 BC 于点 G (1)当 CE3 时,求 S CEF S CAF 的值; (2)设 CEx,AEy,当 CG2GB 时,求 y 与 x 之间的函数关系式; (3)当 AC5 时,联结 EG,若AEG 为直角

    7、三角形,求 BG 的长 图 1 例 5 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 22 15 32 44 mm yxxmm 与 x 轴的交点分别为原点 O 和 点 A,点 B(2,n)在这条抛物线上 (1)求点 B 的坐标; (2)点 P 在线段 OA 上,从点 O 出发向点 A 运动,过点 P 作 x 轴的垂线,与直线 OB 交于点 E,延长 PE 到点 D,使得 EDPE,以 PD 为斜边,在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当点 P 运动时,点 C、D 也随 之运动) 来源:163文库 ZXXK 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时,求 OP 的长;来源:学_科_网 若

    8、点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向 点 O 作匀速运动,速度为每秒 2 个单位(当点 Q 到达点 O 时停止运动,点 P 也停止运动) 过 Q 作 x 轴的 垂线,与直线 AB 交于点 F,延长 QF 到点 M,使得 FMQF,以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角三 角形 QMN(当点 Q 运动时,点 M、N 也随之运动) 若点 P 运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一 条边恰好落在同一条直线上,求此刻 t 的值 来源:Z (2)写出时,y与 x 之间的关系式; (3)当 y=12 时,求 x的值

    9、; (4)当 P 在线段 BC上运动时,是否存在点 P 使得APD 的周长最小,若存在,求出此时APD的度数, 若不存在,请说明理由 11如图 1,在平面直角坐标系 xOy中,A(3,0),B(2,0),C为 y轴正半轴上一点,且 BC=4. (1)求OBC的度数; (2)如图 2,点 P 从点 A出发,沿射线 AB 方向运动,同时点 Q在边 BC上从点 B 向点 C运动,在运动过程 中: 若点 P 的速度为每秒 2个单位长度,点 Q 的速度为每秒 1个单位长度,运动时间为 t秒,已知PQB是直 角三角形,求 t的值; 若点 P,Q的运动路程分别是 a,b,已知PQB是等腰三角形时,求 a与

    10、b 满足的数量关系. 12如图,在 RtABC 中,C=90 ,A=30 ,AB=8,点 P 从点 A 出发,沿折线 ABBC 向终点 C 运动, 在 AB 上以每秒 8 个单位长度的速度运动,在 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度运动,点 Q 从点 C 出发, 沿 CA 方向以每秒个单位长度的速度运动,两点同时出发,当点 P 停止时,点 Q 也随之停止设点 P 运 动的时间为 t 秒 (1)求线段 AQ 的长; (用含 t 的代数式表示) (2)当点 P 在 AB 边上运动时,求 PQ 与ABC 的一边垂直时 t 的值; (3)设APQ 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式; (4)

    11、当APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时,直接写出 t 的值 13 (本题满分 10 分) 如图, 矩形 AOCB 的顶点 A、 C 分别位于 x 轴和 y 轴的正半轴上, 线段 OA、 OC 的长度满足方程|x-15|+=0(OB OC),直线 y=kx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点,连接 BN将BCN 沿直线 BN 折叠,点 C 恰好落 在直线 MN 上的点 D 处,且 tanCBD=. 求点 B 的坐标 求直线 BN 的解析式 将直线 BN 以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴向下平移,求直线 BN 扫过矩形 AOCB 的面积 S 关于运动 的时间 t(0t13)的函数

    12、关系式. 14.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于 A(1,0) ,B(4,0) ,C(0,4)三点, 点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 (1)求这个二次函数的解析式; (2)是否存在点 P,使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明 理由; (3)动点 P 运动到什么位置时,PBC 面积最大,求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 15.如图,M 的圆心 M(1,2) ,M 经过坐标原点 O,与 y 轴交于点 A,经过点 A 的一条直线 l 解析 式为:y=x+4 与 x 轴交于点 B,以 M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点

    13、 D(2,0)和点 C(4,0) (1)求抛物线的解析式; (2)求证:直线 l 是M 的切线; (3)点 P 为抛物线上一动点,且 PE 与直线 l 垂直,垂足为 E,PFy 轴,交直线 l 于点 F,是否存在这样 的点 P,使PEF 的面积最小?若存在,请求出此时点 P 的坐标及PEF 面积的最小值;若不存在,请说明 理由 16.如图在平面直角坐标系中,直线 3 3 4 yx 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,点 P、Q 同时从点 A 出 发,运动时间为 秒.其中点 P 沿射线 AB 运动,速度为每秒 4 个单位长度,点 Q 沿射线 AO 运动,速度为每 秒 5 个单位长度.以点

    14、Q 为圆心,PQ 长为半径 作Q. (1)求证:直线 AB 是Q 的切线; (2)过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C(m,0),作直线 AB 的垂线 CM,垂足为 M,若 CM 与Q 相切于点 D,求 m 与 t 的函数关系式(不需写出自变量的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,是否存在点 C,直线 AB、CM、y 轴与Q 同时相切,若存在,请直接写出 此时点 C 的坐标,若不存在,请说明理由. 17.如图,直线 y= 3 3 x+ 3分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点,点 A 在 x 轴上,ACB=90 ,抛物线 y=ax2+bx+ 3经过 A,B 两点 (1)求 A、B 两点

    15、的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3) 点 M 是直线BC上方抛物线上的一点, 过点 M作 MHBC 于点H, 作MDy轴交 BC 于点 D, 求DMH 周长的最大值 18.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 2 yaxbxc(a0)与 y 轴交与点 C(0,3) ,与 x 轴交于 A、B 两点,点 B 坐标为(4,0) ,抛物线的对称轴方程为 x=1来源:163文库 (1)求抛物线的解析式;来源:学#科#网 (2)点 M 从 A 点出发,在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动,同时点 N 从 B 点出发,在 线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动, 其

    16、中一个点到达终点时, 另一个点也停止运动, 设MBN 的面积为 S,点 M 运动时间为 t,试求 S 与 t 的函数关系,并求 S 的最大值; (3)在点 M 运动过程中,是否存在某一时刻 t,使MBN 为直角三角形?若存在,求出 t 值;若不存在, 请说明理由 19.已知:如图所示,在平面直角坐标系xoy中,四边形OABC是矩形,4,3OAOC.动点P从点C出 发,沿射线CB方向以每秒 2 个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每 秒 1 个单位长度的速度运动.设点P、点Q的运动时间为 t s. (1)当1ts时,求经过点, ,O P A 三点的抛物线的解析式; (

    17、2)当2ts时,求tanQPA的值; (3)当线段PQ与线段AB相交于点M,且2BMAM时,求 t s的值; (4)连接CQ,当点,P Q在运动过程中,记CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S与的函数关 系式 20.如图所示,在平面直角坐标系中,C 经过坐标原点 O,且与 x 轴,y 轴分别相交于 M(4,0) ,N(0, 3)两点已知抛物线开口向上,与C 交于 N,H,P 三点,P 为抛物线的顶点,抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D来源:学_科_网 (1)求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标; (2)求抛物线的函数表达式; (3)设抛物线交 x轴于 A,B 两点,在抛物线上是否存在点 Q, 使得 S四边形OPMN=8SQAB,且QABOBN 成立?若存在,请求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由

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