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类型专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题 -2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(解析版).doc

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    资源描述:

    1、 【类型综述】 图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题来源:163文库 ZXXK 产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系还有一种不常见的,就 是线段全长等于部分线段之和由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用 一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例 一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域关 键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错学科#网 【方法揭秘】 由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用 类型一,已知“边角边”,

    2、至少一边是动态的,求角的对边如图 1,已知点 A 的坐标为(3, 4),点 B 是 x 轴 正半轴上的一个动点,设 OBx,ABy,那么我们在直角三角形 ABH 中用勾股定理,就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 类型二,图形的翻折已知矩形 OABC 在坐标平面内如图 2 所示,AB5,点 O 沿直线 EF 翻折后,点 O 的对应点 D 落在 AB 边上,设 ADx,OEy,那么在直角三角形 AED 中用勾股定理就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 图 1 图 2 【典例分析】 例 1 如图 1,在 RtABC 中,BAC90 ,B60 ,BC16cm,AD 是斜边 BC 上的高,垂足为

    3、D,BE 1cm,点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动,点 N 从点 E 出发,与点 M 同时同方向以相同的 速度运动以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH点 M 到达点 D 时停止运动,点 N 到达点 C 时停止运 动设运动时间为 t(s) (1)当 t 为何值时,点 G 刚好落在线段 AD 上? (2)设正方形 MNGH 与 RtABC 重叠部分的图形的面积为 S当重叠部分的图形是正方形时,求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围; (3)设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 AC 交于点 P,连结 DP,当 t 为何值时,

    4、CPD 是等腰三角 形? 图 1 思路点拨 1用含 t 的式子把直线 BC 上的线段长都表示出来 2重叠部分的图形是正方形,临界时刻是点 H 落在 AB 上,和点 G 落在 AC 上 3等腰三角形 CPD 不存在 DPDC 的情况,因为以 DC 为半径的圆 D 与线段 AC 只有一个交点 满分解答 图 2 图 3 由 AD4 3,得 3 (3)(3)4 3 3 tt解得6 33t 所以 4t6 33 图 4 图 5 (3)等腰三角形 CPD 存在两种情况: 如图 6,当 PCPD 时,点 P 在 DC 的垂直平分线上,N 是 DC 的中点 此时 t369 如图 7,当 CPCD12 时,在 R

    5、tCPN 中,由 cos30 3 2 CN CP ,得6 3CN 此时 t156 3 图 6 图 7 考点伸展 (1)求 A、B、C 三点的坐标和曲线 y2的表达式; (2)过点 C 作 CD/x 轴交曲线 y1于点 D,连结 AD,在曲线 y2上有一点 M,使得四边形 ACDM 为筝形(如 果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分,这样的四边形为筝形) ,请求出点 M 的横坐标; (3) 设直线 CM 与x轴交于点 N, 试问在线段 MN 下方的曲线 y2上是否存在一点 P, 使PMN 的面积最大? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 图 1 思路点拨 1由 A、C、D

    6、的坐标可以得到ACD 是底角为 30 的等腰三角形,于是可知直线 MN(直线 CN)与 y 轴的 夹角为 30 学科#网 2过点 P 作 x 轴的垂线交 MN 于 E,那么PMN 分割为有公共底边 PE 的两个三角形,这两个三角形的高 的和为定值 满分解答 y2上因此只存在 MC 垂直平分 AD 的情况学%科网 图 2 图 3 如图 2,如图 3,过点 A、M 分别作 x 轴的垂线,与直线 CD 分别交于点 G、H,那么 ADGCMH 由于 tanADG AG DG 3 3 ,所以ADC30 因此3MHCH 设 M 2 310 3 ( ,+7 3) 33 xxx,那么 2 310 3 (+7

    7、3)(3)3 33 xxx 整理,得 x213x240解得 1373 2 x 所以点 M 的横坐标为 1373 2 x 设P 2 310 3 ( ,+7 3) 33 mmm,E( , 33)mm,那么 PE 2 310 3 ( 33)(+7 3) 33 mmm 2 313 3 8 3 33 mm 2 31373 3 3212 m 所以当 13 2 m 时,PE取得最大值,PMN面积最大此时P 137 3 (,) 212 图4 图5 考点伸展 第(3)题也可以这样思考: 如图5,由于MN是定值,因此点P到MN的距离最大时,PMN的面积也最大 过点P作MN的平行线,当这条直线与抛物线y2只有一个交

    8、点时,两条平行线间的距离最大,也就是说方程组 2 3 3 (1021) 3 yxb yxx , 只有一组解,即0解得 13 2 x 学&科网 例 3 如图 1,ABC 为等边三角形,边长为 a,点 F 在 BC 边上,DFAB,EFAC,垂足分别为 D、E (1)求证:BDFCEF; (2)若 a4,设 BFm,四边形 ADFE 面积为 S,求出 S 与 m 之间的函数关系,并探究当 m 为何值时 S 取得最大值; (3)已知 A、D、F、E 四点共圆,已知 tanEDF 3 2 ,求此圆的直径(用含 a 的式子表示) 思路点拨 1用割补法求四边形 ADFE 的面积比较简单 2当 A、D、F、

    9、E 四点共圆时,由于EDFEAF,那么在ACF 中,两角及夹边就是确定的,可以解 这个三角形 满分解答 在 RtCEF 中,C60 ,CF4m,所以 1 (4) 2 CEm, 3 (4) 2 FEm 所以 S CEF 1 2 CE FE 2 3 (4) 8 m 在 RtECF 中,C60 ,所以3 EF EC 因此 ECx来源:163文库 由 ACEAECa,得 2xxa所以 x 1 3 a学科#网 所以在 RtEAF 中,EF 3 3 a,EA 2 3 a,由勾股定理,得圆的直径 AF 7 3 a 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第(2)题也可以求ADF 与AEF 的面积和 由于 1 2

    10、BDm, 3 2 FDm,所以 AD 1 4 2 m,S ADF 3 (8) 8 mm 由于 1 (4) 2 CEm, 3 (4) 2 FEm,所以 AE 1 2 2 m,S AEF 2 3 (16) 8 m 因此 SS ADF S AEF 2 33 (8)(16) 88 mmm 2 3 32 3 4 mm 例 4 如图 1,图 2,已知四边形 ABCD 为正方形,在射线 AC 上有一动点 P,作 PEAD(或延长线)于 E, 作 PFDC(或延长线)于 F,作射线 BP 交 EF 于 G (1)在图 1 中,正方形 ABCD 的边长为 2,四边形 ABFE 的面积为 y,设 APx,求 y

    11、关于x的函数表达 式; (2)GBEF 对于图 1,图 2 都是成立的,请任选一图形给出证明; (3)请根据图 2 证明:FGCPFB 图 1 图 2 思路点拨 1四边形 ABFE 可以用大正方形减去两个直角三角形得到 2画直线 EP、FP,把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形 满分解答 4 22 (2) 42 xx 2 (2) 2 x 2 1 +2 4 x 图 3 图 4 (2)如图 4,因为 tanEFP PE PF ,tanPBN NP NB ,且 PENP,PFNB,所以 EFPPBN 又因为12,1PBN90 ,所以2EFP90 所以 GBEF (3)如图 5,由于 GBEF,B

    12、CF90 ,所以 B、C、G、F 四点共圆 所以FCGPBF,CGBCFB 又因为CGFCGB90 ,BFPCFB90 ,所以CGFBFP 所以FGCPFB 图 5 图 6 图 7 考点伸展 如图 6, 由于 tanEFPtanPBN, 所以EFPPBN 又因为PBN190 ,所以EFP190 因此这种情况下,依然有 BGEF 第(1)题还有更简便的割补办法:如图 7,连结 EN 由于 S四边形NBFES ENF S BNF 11 ()2 22 NF EPMPNF EM, S AEN 22 11 44 APx,所以 yS四边形ABFES四边形NBFES AEN 2 1 +2 4 x 例 5 已

    13、知抛物线 yx2(2m1)xm21 经过坐标原点,且当0 时,y 随 x 的增大而减小。 (1)求抛物线的解析式,并写出 y 0 时,对应 x 的取值范围; (2)设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点,过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D,再作 ABx 轴于点 B, DCx 轴于点 C. 当 BC1 时,直接写出矩形 ABCD 的周长;学&科网 设动点 A 的坐标为(a, b),将矩形 ABCD 的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范围,判断周长是 否存在最大值,如果存在,求出这个最大值,并求出此时点 A 的坐标;如果不存在,请说明理由 思路点拨 1先用含

    14、a 的式子表示线段 AB、AD 的长,再把 L 表示为 a 的函数关系式 2点 A 与点 D 关于抛物线的对称轴对称,根据对称性,点 A 的位置存在两个情况学科&网 满分解答 图 1 图 2 图 3 考点伸展 第(2)题的思路是:如图 2,抛物线的对称轴是直线 3 2 x ,当 BC1 时,点 B 的坐标为(1, 0),此时点 A 的横坐标为 1,可以求得 AB2。 第(2)题中,L 随 a 变化的图像如图 4 所示。 图 4 【变式训练】 1如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+2ax3a(a0)与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y 轴相交于点 C,顶点为 D,直线 DC 与 x

    15、轴相交于点 E (1)当 a=1 时,求抛物线顶点 D 的坐标,OE 等于多少; (2)OE 的长是否与 a 值有关,说明你的理由; (3)设DEO=,4560,求 a 的取值范围; (4)以 DE 为斜边,在直线 DE 的左下方作等腰直角三角形 PDE设 P(m,n) ,直接写出 n 关于 m 的函 数解析式及自变量 m 的取值范围 【答案】 (1) (1,4) ,3; (2)结论:OE 的长与 a 值无关理由见解析; (3)a1; (4)n=m 1(m1) 【解析】 【分析】 (1)求出直线 CD 的解析式即可解决问题; (2)利用参数 a,求出直线 CD 的解析式求出点 E 坐标即可判断

    16、; (3)求出落在特殊情形下的 a 的值即可判断; (4)如图,作 PM对称轴于 M,PNAB 于 N两条全等三角形的性质即可解决问题. 学.科网 【详解】 解:(1)当 a=1 时,抛物线的解析式为 y=x22x+3, 顶点 D(1,4),C(0,3), 直线 CD 的解析式为 y=x+3, E(3,0) , OE=3, (3)当 =45时,OC=OE=3, 3a=3, a=1, 当 =60时,在 RtOCE 中,OC=OE=3, 3a=3, a=, 45 60 ,a 的取值范围为a1 (4)如图,作 PM对称轴于 M,PNAB 于 N n=m1, 当顶点 D 在 x 轴上时,P(1,2),

    17、此时 m 的值 1, 抛物线的顶点在第二象限, m1学科#网 n=m1(m1) 故答案为:(1)(1,4),3;(2)OE的长与 a值无关;(3)a1;(4)n=m1(m1) 2如图,抛物线与 轴交于, 两点(点 在点 的左侧) ,与 轴交于点 ,且 ,的平分线交 轴于点 ,过点 且垂直于的直线 交 轴于点 ,点 是 轴下方 抛物线上的一个动点,过点 作轴,垂足为 ,交直线于点 (1)求抛物线的解析式; (2)设点 的横坐标为 ,当时,求 的值; (3)当直线为抛物线的对称轴时,以点 为圆心,为半径作,点 为上的一个动点,求 的最小值 【答案】 (1)yx2x3; (2); (3) 【解析】

    18、【分析】 对于(1) ,结合已知先求出点 B 和点 C 的坐标,再利用待定系数法求解即可; 对于(2) ,在 RtOAC 中,利用三角函数的知识求出OAC 的度数,再利用角平分线的定义求出OAD 的度数,进而得到点 D 的坐标;接下来求出直线 AD 的解析式,表示出点 P,H,F 的坐标,再利用两点间 的距离公式可完成解答;对于(3) ,首先求出H 的半径,在 HA 上取一点 K,使得 HK=14,此时 K(-, ) ;然后由 HQ2=HK HA,得到QHKAHQ,再利用相似三角形的性质求出 KQ= AQ,进而可得当 E、Q、K 共线时, AQ+EQ 的值最小,据此解答. 【详解】 (1)由题

    19、意 A(,0) ,B(3,0) ,C(0,3) ,设抛物线的解析式为 ya(x+3) (x) ,把 C(0,3)代入得到 a,抛物线的解析式为 yx2x3学科&网 (2)在 RtAOC中,tanOAC,OAC60 (3)如图,PF 是对称轴,F(,0) ,H(,2) AHAE,EAO60 ,EOOA3,E(0,3) C (0, 3) , HC2, AH2FH4, QHCH1, 在 HA上取一点 K, 使得 HK, 此时 K() HQ21,HKHA1,HQ2HKHA, QHKAHQ,QHKAHQ,KQAQ, AQ+QEKQ+EQ,当 E、Q、 K共线时, AQ+QE 的值最小,最小值 3如图 1

    20、,抛物线的顶点 A 的坐标为(1,4) ,抛物线与 x 轴相交于 B、C 两点,与 y 轴交于点 E(0,3) (1)求抛物线的表达式; (2)已知点 F(0,3) ,在抛物线的对称轴上是否存在一点 G,使得 EG+FG 最小,如果存在,求出点 G 的坐标;如果不存在,请说明理由 (3)如图 2,连接 AB,若点 P 是线段 OE 上的一动点,过点 P 作线段 AB的垂线,分别与线段 AB、抛物线 相交于点 M、N(点 M、N都在抛物线对称轴的右侧) ,当 MN最大时,求PON的面积 【答案】 (1)yx2+2x+3; (2)存在,G(1,0) ; (3)2 【解析】 【分析】 (1)根据顶点

    21、式可求得抛物线的表达式; (2)根据轴对称的最短路径问题,作 E 关于对称轴的对称点 E,连接 EF交对称轴于 G,此时 EG+FG 的值最 小,先求 EF的解析式,它与对称轴的交点就是所求的点 G; (3)如图 2,先利用待定系数法求 AB的解析式,过 N作 NHx 轴于 H,交 AB于 Q,设 N(m,m2+2m+3), 则 Q(m,2m+6)(1m3),表示 NQm2+4m3,证明QMNADB,列比例式可得 MN的表达式, 根据配方法可得当 m=2时,MN 有最大值,证明NGPADB,同理得 PG的长,从而得 OP 的长,根据 三角形的面积公式可得结论,并将 m=2代入计算即可 【详解】

    22、 (1)设抛物线的表达式为:ya(x1)2+4, 把(0,3)代入得:3a(01)2+4, a1, 抛物线的表达式为:y(x1)2+4x2+2x+3; (2)存在,如图 1,作 E 关于对称轴的对称点 E,连接 EF交对称轴于 G,此时 EG+FG 的值最小 E(0,3),E(2,3), 设 EF的解析式为 y=kx+b, 把 F(0,3),E(2,3)分别代入,得,解得, 所以 EF的解析式为:y3x3, 当 x1时,y3 130,G(1,0); MN(m2)2 0,学科*网 当 m2时,MN有最大值; 过 N 作 NGy轴于 G, GPNABD,NGPADB90 ,NGPADB, ,PGN

    23、Gm, OPOGPGm2+2m+3mm2m+3, S PON OPGN(m2m+3)m, 当 m2 时,S PON 2(4+3+3)2 4如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y= x2+ x2 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧) , 与 y 轴交于点 C,直线 l 经过 A,C 两点,连接 BC (1)求直线 l 的解析式; (2)若直线 x=m(m0)与该抛物线在第三象限内交于点 E,与直线 l 交于点 D,连接 OD当 ODAC 时,求线段 DE 的长; (3)取点 G(0,1) ,连接 AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点 P,使BAP=BCOBAG? 若存在

    24、,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y=; (2)DE=; (3)存在点 P(,) ,使BAP=BCOBAG,理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据题目中的函数解析式可以求得点 A 和点 C的坐标,从而可以求得直线 l的函数解析式; (2)根据题意作出合适的辅助线,利用三角形相似和勾股定理可以解答本题;学科#网 (3)根据题意画出相应的图形,然后根据锐角三角函数可以求得OAC=OCB,然后根据题目中的条件 和图形,利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题 【详解】 (1)抛物线 y= x2+ x-2, 当 y=0 时,得 x1=1,x2=-4,当 x=0 时,y=-

    25、2, 抛物线 y= x2+ x-2 与 x 轴交于 A,B两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y轴交于点 C, 点 A的坐标为(-4,0) ,点 B(1,0) ,点 C(0,-2) , 直线 l经过 A,C两点,设直线 l的函数解析式为 y=kx+b, ,得, 即直线 l的函数解析式为 y= x2; (2)直线 ED与 x轴交于点 F,如图 1所示, 由(1)可得, AO=4,OC=2,AOC=90 , AC=2, OD=, ODAC,OAOC,OAD=CAO, AODACO, EF=,学%科网 DE=EF-FD= ; (3)存在点 P,使BAP=BCO-BAG, 理由:作 GMAC于点

    26、M,作 PNx轴于点 N,如图 2所示, AM=, tanGAM=, tanPAN= , 设点 P 的坐标为(n, n2+ n-2) , AN=4+n,PN= n2+ n-2, , 解得,n1=,n2=-4(舍去) , 当 n=时, n2+ n-2=, 点 P 的坐标为(,) , 即存在点 P(,) ,使BAP=BCO-BAG 5如图,以 D 为顶点的抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,直线 BC 的表达式为 y= x+3 (1)求抛物线的表达式; (2)在直线 BC 上有一点 P,使 PO+PA 的值最小,求点 P 的坐标; (3)在 x 轴上是否存在

    27、一点 Q,使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与BCD 相似?若存在,请求出点 Q 的 坐标;若不 存在,请说明理由 【答案】 (1)y=x2+2x+3; (2)P ( ,); (3)当 Q 的坐标为(0,0)或(9,0)时,以 A、C、Q 为顶 点的三角形与BCD 相似学&科网 【解析】 【分析】 (1)先求得点 B 和点 C的坐标,然后将点 B和点 C的坐标代入抛物线的解析式得到关于 b、c的方程,从 而可求得 b、c 的值; (2)作点 O关于 BC的对称点 O,则 O(3,3) ,则 OP+AP 的最小值为 AO的长,然 后求得 AO的解析式,最后可求得点 P 的坐标; (3)先求得点

    28、D的坐标,然后求得 CD、BC、BD的长,依 据勾股定理的逆定理证明BCD 为直角三角形,然后分为AQCDCB 和ACQDCB 两种情况求解 即可 【详解】 (1)把 x=0代入 y=x+3,得:y=3, C(0,3) 把 y=0 代入 y=x+3得:x=3, B(3,0) ,A(1,0). 将 C(0,3) 、B(3,0)代入 y=x2+bx+c 得: ,解得 b=2,c=3 抛物线的解析式为 y=x2+2x+3 (2)如图所示:作点 O关于 BC的对称点 O,则 O(3,3) O与 O关于 BC 对称, PO=PO OP+AP=OP+APAO OP+AP 的最小 值=OA=5 OA 的方程

    29、为 y= P 点满足解得: 所以 P ( ,) 又AOC=DCB=90 , AOCDCB 当 Q的坐标为(0,0)时,AQCDCB 如图所示:连接 AC,过点 C 作 CQAC,交 x 轴与点 Q ACQ为直角三角形,COAQ, ACQAOC 又AOCDCB, ACQDCB ,即,解得:AQ=10 Q(9,0) 综上所述,当 Q的坐标为(0,0)或(9,0)时,以 A、C、Q为顶点的三角形与BCD 相似学科#网 6如图,已知抛物线( 0)与 轴交于 A,B 两点(A 点在 B 点的左边) ,与 轴交于点 C。 (1)如图 1,若ABC 为直角三角形,求 的值; (2)如图 1,在(1)的条件下

    30、,点 P 在抛物线上,点 Q 在抛物线的对称轴上,若以 BC 为边,以点 B,C, P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求 P 点的坐标; (3)如图 2,过点 A 作直线 BC 的平行线交抛物线于另一点 D,交 轴交于点 E,若 AE:ED1:4,求 的值. 【答案】 (1); (2)点 P 的坐标为 ; (3). 【解析】 【分析】 (1)利用三角形相似可求 AOOB,再由一元二次方程根与系数关系求 AOOB 构造方程求 n; (2)求出 B、C坐标,设出点 Q坐标,利用平行四边形对角线互相平分性质,分类讨论点 P 坐标,分别代 入抛物线解析式,求出 Q点坐标; (3)设出点 D坐标(a,

    31、b) ,利用相似表示 OA,再由一元二次方程根与系数关系表示 OB,得到点 B 坐标, 进而找到 b 与 a关系,代入抛物线求 a、n 即可 【详解】 (2)由(1)当=0 时 解得 x1=-1,x2=4 OA=1,OB=4 B(4,0) ,C(0,-2) 抛物线对称轴为直线 x=- 设点 Q 坐标为( ,b) 由平行四边形性质可知 当 BQ、CP 为平行四边形对角线时,点 P 坐标为(,b+2) 代入 y= x2- x-2 解得 b=,则 P 点坐标为(,) 当 CQ、PB 为为平行四边形对角线时,点 P 坐标为(- ,b-2) 代入 y= x2- x-2 解得 b=,则 P 坐标为(- ,

    32、) 综上点 P 坐标为(,) , (- ,) ; 将点 A(- a,0) ,D(a,a2)代入 y= x2- x-n 解得 a=6 或 a=0(舍去) 则 n= . 学科$网 7 (题文)如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,直线 l 与抛物线相交于 A(1,) , B(4,0)两点 (1)求出抛物线的解析式; (2) 在坐标轴上是否存在点 D, 使得ABD 是以线段 AB 为斜边的直角三角形?若存在, 求出点 D 的坐标; 若不存在,说明理由; (3)点 P 是线段 AB 上一动点, (点 P 不与点 A、B 重合) ,过点 P 作 PMOA,交第一象限内的抛物线于 点 M, 过点

    33、M 作 MCx 轴于点 C, 交 AB 于点 N, 若BCN、 PMN 的面积 SBCN、 SPMN满足 SBCN=2SPMN, 求出的值,并求出此时点 M 的坐标 【答案】 (1); (2)D(1,0)或(0,)或(0,) ; (3),M(, ) 【解析】 【分析】 (1)由 A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式; (2)分 D在 x轴上和 y轴上,当 D在 x轴上时,过 A作 ADx 轴,垂足 D 即为所求;当 D点在 y轴上时, 设出 D点坐标为(0,d) ,可分别表示出 AD、BD,再利用勾股定理可得到关于 d的方程,可求得 d 的值, 从而可求得满足条件的 D点坐标;

    34、(3)过 P 作 PFCM于点 F,利用 RtADORtMFP 以及三角函数,可用 PF分别表示出 MF和 NF,从 而可表示出 MN,设 BC=a,则可用 a表示出 CN,再利用 SBCN=2SPMN,可用 PF表示出 a的值,从而可用 PF表示出 CN,可求得的值;借助 a可表示出 M 点的坐标,代入抛物线解析式可求得 a 的值,从而可求 出 M点的坐标 【详解】 (1)A(1,) ,B(4,0)在抛物线的图象上,解得,抛 物线解析式为;学&科网 (3)如图 2,过 P 作 PFCM于点 F, PMOA,RtADORtMFP, =,MF=PF, 在 RtABD中,BD=3,AD=, tan

    35、ABD=,ABD=60 , 设 BC=a,则 CN=a, 在 RtPFN 中,PNF=BNC=30 , tanPNF=, FN=PF,MN=MF+FN=PF, SBCN=2SPMN, , a=PF,学科#网 NC=a=PF, =, MN=NC=a, MC=MN+NC=()a, M点坐标为(4a, ()a) , 又 M点在抛物线上,代入可得=()a,解得 a=或 a=0(舍去) ,OC=4 a=,MC=, 点 M 的坐标为(,) 8如图,在平面角坐标系中,抛物线 C1:y=ax2+bx1 经过点 A(2,1)和点 B(1,1) ,抛物线 C2:y=2x2+x+1,动直线 x=t 与抛物线 C1交

    36、于点 N,与抛物线 C2交于点 M (1)求抛物线 C1的表达式; (2)直接用含 t的代数式表示线段 MN的长; (3)当AMN是以 MN为直角边的等腰直角三角形时,求 t的值; (4)在(3)的条件下,设抛物线 C1与 y轴交于点 P,点 M 在 y轴右侧的抛物线 C2上,连接 AM交 y轴于 点 k,连接 KN,在平面内有一点 Q,连接 KQ 和 QN,当 KQ=1且KNQ=BNP 时,请直接写出点 Q的 坐标 【答案】 (1)抛物线 C1:解析式为 y=x2+x1; (2)MN=t2+2; (3)t的值为 1 或 0; (4)满足条件的 Q 点 坐标为: (0,2) 、 (1,3) 、

    37、 ( ,) 、 ( ,) 【解析】 【分析】 (1)利用待定系数法进行求解即可; (2)把 x=t代入函数关系式相减即可得; (3)根据图形分别讨论ANM=90 、AMN=90 时的情况即可得; (4)根据题意画出满足条件图形,可以找到 AN 为KNP 对称轴,由对称性找到第一个满足条件 Q,再通 过延长和圆的对称性找到剩余三个点,利用勾股定理进行计算 【详解】 (1)抛物线 C1:y=ax2+bx1 经过点 A(2,1)和点 B(1,1) , ,解得:, 抛物线 C1:解析式为 y=x2+x1; (2)动直线 x=t与抛物线 C1交于点 N,与抛物线 C2交于点 M, 点 N的纵坐标为 t2

    38、+t1,点 M 的纵坐标为 2t2+t+1, MN=(2t2+t+1)(t2+t1)=t2+2; (4)由(3)可知 t=1时 M 位于 y轴右侧,根据题意画出示意图如图: 易得 K(0,3) ,B、O、N三点共线, A(2,1) ,N(1,1) ,P(0,1) , 点 K、P 关于直线 AN对称, 设K与 y轴下方交点为 Q2,则其坐标为(0,2) , Q2与点 O 关于直线 AN对称, Q2是满足条件KNQ=BNP, 则 NQ2延长线与K交点 Q1,Q1、Q2关于 KN的对称点 Q3、Q4也满足KNQ=BNP, 由图形易得 Q1(1,3) , 设点 Q3坐标为(a,b) ,由对称性可知 Q

    39、3N=NQ1=BN=2, 由K半径为 1,学科网 ,解得:, 同理,设点 Q4坐标为(a,b) ,由对称性可知 Q4N=NQ2=NO=, ,解得:, 满足条件的 Q点坐标为: (0,2) 、 (1,3) 、 ( ,) 、 ( ,). 9如图,抛物线 y= x2+bx+c与直线 y= x+3交于 A,B两点,交 x 轴于 C、D两点,连接 AC、BC,已知 A(0,3) ,C(3,0) (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线对称轴 l上找一点 M,使|MBMD|的值最大,并求出这个最大值; (3)点 P 为 y轴右侧抛物线上一动点,连接 PA,过点 P 作 PQPA交 y轴于点 Q,问:是否存

    40、在点 P使得 以 A,P,Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说 明理由 【答案】 (1)抛物线的解析式是 y= x2+ x+3; (2)|MBMD|取最大值为; (3)存在点 P(1,6) 【解析】分析: (1)根据待定系数法,可得函数解析式; (2)根据对称性,可得 MC=MD,根据解方程组,可得 B 点坐标,根据两边之差小于第三边,可得 B,C, M 共线,根据勾股定理,可得答案; (3)根据等腰直角三角形的判定,可得BCE,ACO,根据相似三角形的判定与性质,可得关于 x 的方 程,根据解方程,可得 x,根据自变量与函数值的对应关系,可

    41、得答案 B(4,1) , 当点 B,C,M 共线时,|MBMD|取最大值,即为 BC 的长, 过点 B 作 BEx 轴于点 E, , 在 RtBEC 中,由勾股定理,得 BC=, |MBMD|取最大值为; (3)存在点 P 使得以 A,P,Q 为顶点的三角形与ABC 相似, 在 RtBEC 中,BE=CE=1, BCE=45 , 在 RtACO 中, AO=CO=3,学#科网 ACO=45 , ACB=180 45 45 =90 , 过点 P 作 PQy 轴于 Q 点,PQA=90 , 设 P 点坐标为(x, x2+ x+3) (x0) 当PAQ=ABC 时,PAQCBA, PGA=ACB=9

    42、0 ,PAQ=ABC, PGAACB, , 即=3, , 解得 x1=(舍去),x2=0(舍去) 此时无符合条件的点 P, 综上所述,存在点 P(1,6) 10如图,抛物线 y=ax2+bx5与坐标轴交于 A(1,0) ,B(5,0) ,C(0,5)三点,顶点为 D (1)请直接写出抛物线的解析式及顶点 D的坐标; (2)连接 BC与抛物线的对称轴交于点 E,点 P 为线段 BC上的一个动点(点 P 不与 B、C两点重合) ,过 点 P 作 PFDE 交抛物线于点 F,设点 P 的横坐标为 m 是否存在点 P,使四边形 PEDF为平行四边形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由 过点

    43、 F作 FHBC于点 H,求PFH周长的最大值 【答案】 (1)y=x24x5,顶点坐标为 D(2,9) ; (2)存在点 P(3,2)使四边形 PEDF为平行四 边形;PFH周长的最大值为. 【解析】 【分析】 (1)利用待定系数法进行求解即可得; (2)求出直线 BC解析式,表示 PF,当 PF=DE时,平行四边形存在 利用PFHBCO,应用相似三角形性质表示PFH 周长,应用函数性质讨论最值即可 【详解】 (1)把 A(1,0) ,B(5,0)代入抛物线 y=ax2+bx5,得 ,解得:, y=x24x5=(x-2)2-9, 顶点坐标为 D(2,9) ; 如图,连接 DF, PFDE,

    44、当 PF=DE时,四边形 PEDF为平行四边形, 即m2+5m=6, 解得 m1=3,m2=2(舍去) , 当 m=3 时,y=35=2, 此时 P(3,2) , 存在点 P(3,2)使四边形 PEDF为平行四边形; 由题意,在 RtBOC 中,OB=OC=5, BC=5, CBOC =10+5, PFDEy轴, FPE=DEC=OCB, FHBC,学&科网 FHP=BOC=90 , PFHBCO, , 即 C PFH =, 0m5, 当 m=时,PFH 周长的最大值为. 11如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A(1,0) ,B(3,0)两点,与 y轴相交于点

    45、C(0,3) (1)求这个二次函数的表达式; (2)若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PHx 轴于点 H,与 BC交于点 M,连接 PC 求线段 PM的最大值; 当PCM是以 PM为一腰的等腰三角形时,求点 P 的坐标 【答案】 (1)二次函数的表达式 y=x22x3; (2)PM最大= ;P(1,4)或(,21) 【解析】 【分析】 (1)根据待定系数法,可得答案;学科#网 (2)根据平行于 y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得二次函数,根据二次函 数的性质,可得答案; 根据等腰三角形的定义,可得方程,根据解方程,可得答案 PM=(n3)(n22n3)=n2+3n=(n )2+ , 当 n= 时,PM最大= ; 当 PM=PC时, (n 2+3n)2=n2+(n22n3+3)2, 解得 n1=0(不符合题意,舍) ,n2=2, n22n3=-3, P(2,-3) ; 当 PM=MC时, (n2+3n)2=n2+(n3+3)2, 解得 n1=0(不符合题意,舍) ,n2=

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