专题04 因动点产生的相似、全等问题-2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(解析版).doc
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1、 【类型综述】 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为 特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导 边的大小。 若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后 利用相似来列方程求解。 【方法揭秘】 相似三角形的判定定理有 3 个,其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件,因此探求两个 三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对
2、应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检 验 如果已知AD,探求ABC 与DEF 相似,只要把夹A 和D 的两边表示出来,按照对应边成 比例,分 ABDE ACDF 和 ABDF ACDE 两种情况列方程 应用判定定理 1 解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理 3 解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组) 还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是 确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这
3、个公式容易记错理解记忆比较好 如图 1,如果已知 A、B 两点的坐标,怎样求 A、B 两点间的距离呢? 我们以 AB 为斜边构造直角三角形, 直角边与坐标轴平行, 这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了 水 平距离 BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离,等于 A、B 两点的横坐标相减;竖直距离 AC 就是 A、B 两点 间的竖直距离,等于 A、B 两点的纵坐标相减 图 1 【典例分析】 例 1 如图 1,已知直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,抛物线 yx2bxc 经过 A、 B 两点,点 P 在线段 OA 上,从点 O 出发,向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运
4、动;同时,点 Q 在线段 AB 上,从点 A 出发,向点 B 以每秒2个单位的速度匀速运动,连结 PQ,设运动时间为 t 秒 (1)求抛物线的解析式;学科#网 (2)问:当 t 为何值时,APQ 为直角三角形; (3)过点 P 作 PE/y 轴,交 AB 于点 E,过点 Q 作 QF/y 轴,交抛物 线于点 F,连结 EF,当 EF/PQ 时,求点 F 的坐标; (4)设抛物线顶点为 M,连结 BP、BM、MQ,问:是否存在 t 的值,使以 B、Q、M 为顶点的三角形 与以 O、B、P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由 思路点拨思路点拨 1 在APQ 中, A
5、45 , 夹A 的两条边 AP、 AQ 都可以用 t 表示, 分两种情况讨论直角三角形 APQ 2先用含 t 的式子表示点 P、Q 的坐标,进而表示点 E、F 的坐标,根据 PEQF 列方程就好了 3MBQ 与BOP 都是直角三角形,根据直角边对应成比例分两种情况讨论 满分解答满分解答 图 2 图 3 (3)如图 4,因为 PE/QF,当 EF/PQ 时,四边形 EPQF 是平行四边形 所以 EPFQ所以 yEyPyFyQ学.科网 因为 xPt,xQ3t,所以 yE3t,yQt,yF(3t)22(3t)3t24t 因为 yEyPyFyQ,解方程 3t(t24t)t,得 t1,或 t3(舍去)
6、所以点 F 的坐标为(2, 3) 图 4 图 5 (4)由 yx22x3(x1)24,得 M(1, 4) 考点伸展考点伸展 第(3)题也可以用坐标平移的方法:由 P(t, 0),E(t, 3t),Q(3t, t),按照 PE 方向,将点 Q 向上平移,得 F(3t, 3)再将 F(3t, 3)代入 yx22x3,得 t1,或 t3 例例 2 二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、B(1, 0)两点,与 y 轴交于点 C(0, 3m)(m0) ,顶点为 D (1)求该二次函数的解析式(系数用含 m 的代数式表示) ; (2)如图 1,当 m2 时,点 P 为第三象
7、限内抛物线上的一个动点,设APC 的面积为 S,试求出 S 与 点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值; (3)如图 2,当 m 取何值时,以 A、D、C 三点为顶点的三角形与OBC 相似? 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结 OP,APC 可以割补为:AOP 与COP 的和,再减去AOC 3讨论ACD 与OBC 相似,先确定ACD 是直角三角形,再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形 ACD 存在两种情况 满分解答满分解答 图 3 图 4 图 5 (3)如图 4,过点 D 作 y 轴的垂线,垂足为 E过点 A 作 x 轴的垂线交
8、DE 于 F 由 ym(x3)(x1)m(x1)24m,得 D(1,4m) 在 RtOBC 中,OBOC13m学*科网 如果ADC 与OBC 相似,那么ADC 是直角三角形,而且两条直角边的比为 13m 如图 4,当ACD90 时, OAOC ECED 所以 33 1 m m 解得 m1 此时3 CAOC CDED ,3 OC OB 所以 CAOC CDOB 所以CDAOBC 考点伸展考点伸展 第(2)题还可以这样割补:如图 6,过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H 由直线 AC:y2x6,可得 H(x,2x6) 又因为 P(x, 2x24x6),所以 HP2x26x 因为PAH 与
9、PCH 有公共底边 HP,高的和为 A、C 两点间的水平距离 3,所以 SS APC S APH SCPH 3 2 (2x26x) 2 327 3() 24 x 例 3 如图 1,在平面直角坐标系中,双曲线(k0)与直线 yx2 都经过点 A(2, m) (1)求 k 与 m 的值; (2)此双曲线又经过点 B(n, 2),过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C,联结 AB、AC, 求ABC 的面积; (3)在(2)的条件下,设直线 yx2 与 y 轴交于点 D,在射线 CB 上有一点 E,如果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相似,且相似比不为 1,求点 E
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