专题02 因动点产生的等腰三角形问题-2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(原卷版).doc
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1、 【类型综述】 数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈,动态几何问题是近年来中考的热点问题,以运动的 观点来探究几何图形的变化规律问题,动态问题的解答,一般要将动态问题转化为静态问题,抓住运动过 程中的不变量,利用不变的关系和几何性质建立关于方程(组)、函数关系问题,将几何问题转化为代数 问题。 在动态问题中,动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型,可以与旋转、平移、对称等几何变化 相结合,也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合,从而产生数与形的完美结合.解决动点 产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类. 【方法揭秘】 我们先回顾两个
2、画图问题: 1已知线段 AB5 厘米,以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个?顶点 C 的轨迹是什么? 2已知线段 AB6 厘米,以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个?顶点 C 的轨迹是什么? 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点 C 已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外 在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类 如果ABC 是等腰三角形,那么存在ABAC,BABC,CACB 三种情况 解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快 几何法一般分三步:分类、画图、计算哪些
3、题目适合用几何法呢? 如果ABC 的A(的余弦值)是确定的,夹A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来,那么就 用几何法 如图 1,如果 ABAC,直接列方程;如图 2,如果 BABC,那么 1 cos 2 ACABA;如图 3, 如果 CACB,那么 1 cos 2 ABACA 代数法一般也分三步:罗列三边长,分类列方程,解方程并检验 如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来,那么根据两点间 的距离公式,三边长(的平方)就可以罗列出来 图 1 图 2 图 3 【典例分析】 例 1如图,抛物线 y=ax2-2ax+b 经过点 C(0,- )
4、,且与 x 轴交于点 A、点 B,若 tanACO= (1)求此抛物线的解析式; (2)若抛物线的顶点为 M,点 P 是线段 OB 上一动点(不与点 B 重合) ,MPQ=45,射线 PQ 与线段 BM 交于点 Q,当MPQ 为等腰三角形时,求点 P 的坐标 例 2 如图 1,抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线 l 是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点,当PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标; (3)在直线 l 上是否存在点 M,使MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点 M
5、的坐 标;若不存在,请说明理由 图 1 例 3 如图 1,点 A 在 x 轴上,OA4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 至 OB 的位置 (1)求点 B 的坐标; (2)求经过 A、O、B 的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形?若存 在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 图 1来源:Z|xx|k.Com 例 4 如图 1,已知一次函数 yx7 与正比例函数 4 3 yx 的图象交于点 A,且与 x 轴交于点 B来源:163文库 ZXXK (1)求点 A 和点 B 的坐标; (2)过点 A 作 ACy
6、轴于点 C,过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个单位长的速 度,沿 OCA 的路线向点 A 运动;同时直线 l 从点 B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直 线 l 交 x 轴于点 R,交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时,点 P 和直线 l 都停止运动在运 动过程中,设动点 P 运动的时间为 t 秒 当 t 为何值时,以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8? 是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求 t 的值;若不存在,请说明理由 例 5 如图 1,在ABC 中,ACB90 ,BAC60 ,点 E 是B
7、AC 的平分线上一点,过点 E 作 AE 的垂线,过点 A 作 AB 的垂线,两垂线交于点 D,连接 DB,点 F 是 BD 的中点,DHAC,垂足为 H,连 接 EF,HF (1)如图 1,若点 H 是 AC 的中点,AC2 3,求 AB、BD 的长; (2)如图 1,求证:HFEF 来源:163文库 (3)如图 2,连接 CF、CE,猜想:CEF 是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由 图 1 图 2 例 6 如图 1,已知 RtABC 中,C90 ,AC8,BC6,点 P 以每秒 1 个单位的速度从 A 向 C 运动, 同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 ABC 方向运动
8、,它们到 C 点后都停止运动,设点 P、Q 运动的时间 为 t 秒 (1)在运动过程中,求 P、Q 两点间距离的最大值; (2)经过 t 秒的运动,求ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式; (3)P,Q 两点在运动过程中,是否存在时间 t,使得PQC 为等腰三角形若存在,求出此时的 t 值, 若不存在,请说明理由 (24. 25 ,结果保留一位小数) 图 1 【变式训练】 1如图,坐标平面内一点 A(2,1),O 为原点,P 是 x 轴上的一个动点,如果以点 P、O、A 为顶点的三 角形是等腰三角形,那么符合条件的动点 P 的个数为( ) (A)2 (B)3 (C)4
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