2020年沈阳市三模理数答案.doc

1、 20202020 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）年沈阳市高中三年级教学质量监测（三） 数学数学（理理科）科） 【答案与评分标准】 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C D B C 题号 7 8 9 10 11 12 答案 C A A C D B 第卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本题共 4 小题，每小

2、题 5 分，共 20 分 133 14 5 2 15 3 5 5 16 7 2 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） （1）当1n 时， 11 1aSp ， 当2n时， 1 21 nnn aSSnp ， 2 分 当1n 时， 1 1ap 也满足上式，故21 n anp ， 3 分 4712 ,a a a成等比数列， 2 4127 a aa， 4 分 2 (7)(23)(13)ppp，2p 21 n an； 6 分

3、 由（1）可得 22 2 1 44848311 1() (21)(23)4832 2123 n n nn Snnnn b a annnnnn ， 9 分 2 3 1111111322 () 2 3557212324623 n nn Tnn nnnn 12 分 18 （本小题满分 12 分） （1）估计每名外卖用户的平均送餐距离为： 0.5 0.15 1.5 0.25 2.5 0.25 3.5 0.2 4.5 0.152.45千米 3 分 所以送餐距离为 100 千米时，送餐份数为： 100 41 2.45 份； 5 分 （2）由题意知X的可能取值为：3，7，12 6 分 40 3 100 2

4、5 P X ， 7 分 7 10 9 0 45 02 P X ， 8 分 15 12 1002 3 0 P X 9 分 所以X的分布列为： X 3 7 12 P 2 5 9 20 3 20 10 分 ()37126.15 2 293 0205 E X 12 分 19 （本小题满分 12 分） （1）在棱BC上存在点E，使得CF平面PAE，点E为棱BC的中点 证明：取PA的中点Q，连结EQ、FQ， 由题意，FQAD且 1 2 FQAD， CEAD且 1 2 CEAD， 故CEFQ且CEFQ 四边形CEQF为平行四边形 2 分 CFEQ，又CF 平面PAE， CF平面PAE 4 分 A B C D

5、 P E Q F M x y z （2）菱形ABCD中，ACBD，又ACPB，PBBDB AC 平面PBD，又PD 面PBD，ACPD， ADPD，ACADA，PD 平面ABCD 6 分 取AB中点为M，则DMAB 以D为原点，DM，DC，DP为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系， 设FDa， 则由题意知0,0,0D，0,0,Fa，0,2,0C， 3,1,0B， 3, 1,0A 0,2,FCa，3, 1,0CB ， 7 分 设平面FBC的法向量为, ,mx y z，则由 0 0 m FC m CB 得 20 30 yaz xy ， 令1x ，则3y ， 2 3 z a ，所以取 2 3 1,

6、3,m a ， 9 分 显然可取平面DFC的法向量1,0,0n ， 由题意： 2 61 cos, 612 1 3 m n a ，所以6a 10 分 3, 1,6FA ， 设直线AF与平面BCF所成的角为， 则 2 35 sincos, 56 10 m FA 12 分 20 （本小题满分 12 分） 解： （1）易知 3 6 ( 2,) 3 P， 4 6 (2,) 3 P关于y轴对称，一定都在椭圆上 所以 1(2, 3) P一定不在椭圆上根据题意 2(0, 2) P也在椭圆上 2 分 将 2(0, 2) P， 4 6 (2,) 3 P带入椭圆方程，解得椭圆方程为 22 1 62 xy 4 分 （

7、2）设直线l方程为(2)yk x（0k ） ， 11 ,P x y， 22 ,Q x y， 联立 22 1 62 (2) xy yk x ，可得 2222 31121260kxk xk 5 分 则 2 24(1)0k ，且 2 12 2 12 31 k xx k ， 2 12 2 126 31 k x x k ， 6 分 设PQ的中点 00 (,)N xy， 则 2 12 2 6 231 0 xxk x k ， 2 22 62 (2) 3131 0 kk yk kk ， N坐标为 2 22 62 , 31 31 kk kk ， 2 2 2 2 61 |1 31 k PQk k 2 2 2 6(

8、1) 31 k k 8 分 因此直线ON的方程为 1 3 yx k ，从而点M为 1 ( 3,) k ，又 1( 2,0) F ， 1 2 1 |1MF k 9 分 222 222 1 (|241) |(31) PQkk MFk ，令 2 31 1u= k ， 则 2 22 (1)(2)1611116119 ( )8()() 33223416 uu h u uuuu ， 因此当4u=，即1k=时h(u)最大值为 3 所以 1 | | PQ MF 取得最大值3 12 分 21 （本小题满分 12 分） （1）由已知定义域为|0xR x， 2 () ( ) () bx abxa e fx ax ，

9、 由 2 2 (2) (2)0 (2 ) b aba e f a ，又0a ，得 1 2 b ， 2 (2) 222 b eee f aa ，所以1a ， 2 分 从而 2 2 (1) 2 ( ) x x e fx x 又0x。 由( )0fx 得：2x；由( )0fx 得：0x或02x。 故( )f x的单调递减区间是：(,0)和(0,2)；单调递增区间是：(2,)。 4 分 （2）等价于 2 ln1 x x ek x 在(0,)x上恒成立， 令 2 ln1 ( )(0) x x g xex x ，则只需 min ( )kg x即可 5 分 0 2 2 2 1 ln 2 ( ) x x ex

10、 g x x ，令 0 2 2 1 ( )ln (0) 2 x h xx ex x， 则 0 2 2 11 ( )()0 4 x h xxx e x 。 所以( )h x在(0,)x上单调递增， 又 4 1 ( )ln20 28 e h，(1)0 2 e h， 7 分 所以有唯一的零点 0 1 ( ,1) 2 x ，( )h x在 0 1 ( ,) 2 xx上单调递减， 在 0 (,1)xx上单调递 增 8 分 因为 0 2 0 2 0 ln0 2 x x ex，两边同时取自然对数，则有 00 00 lnlnln( ln) 22 xx xx， 即 00 00 lnlnln( ln) 22 xx

11、 xx 。 10 分 构造函数( )ln (0)m xxx x，则 1 ( )10m x x ， 所以函数 ( )m x 在 (0,)x 上单调递增， 又 0 0 ()( ln) 2 x mmx，所以 0 0 ln 2 x x ，即 0 2 0 1 x e x 11 分 所以 0 0 0 2 0 000 1 ln111 2 ( )() 2 x x x g xg xe xxx ，即 min 1 ( ) 2 g x， 于是实数k的取值范围是 1 (, 2 12 分 （二） 选考题： 共10 分， 请考生在22、 23 题中任选一题作答， 如果多做则按所做的第一题计分 22 【选修 4-4 坐标系与

12、参数方程】 （本小题满分 10 分） 解： （1）设P的极坐标为( , ) （0） ，M的极坐标为 0 (, ) （ 0 0） 1 分 由题设知|PO， 0 2 | sin OM 由PO OM|cosPO OM|PO OM 4 ， 3 分 得 2 4 sin ， 所以 2 C的极坐标方程2sin（0） ， 因此 2 C的直角坐标方程为 22 (1)1xy（0y ） 5 分 （2）依题意： 1 |2sin3 3 OA ， 2 |2sinOB 6 分 于是OAB面积：S 1 |sin 2 OA OBAOB3sin|sin()| 3 31 |sin(2)| 262 分 当 2 3 时，S取得最大值

13、3 3 4 9 分 所以OAB面积的最大值为 3 3 4 10 分 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 解： （1）当222abc时，不等式 3f x 化为111xx ，1 分 当1x时，原不等式化为1+1+1xx，解集为； 当11x 时，原不等式化为11 1xx ，解得 1 1 2 x； 当1x时，原不等式化为11 1xx ，解得1x 4 分 不等式 3f x 的解集为 1 ,+ 2 5 分 （2）因为 f xxbxca xcxbabca， 又因为, ,0a b c ，所以 max2f xabc 6 分 方法一： 149 ()abc abc 4949 14()()() bacacb abacbc 4949 14222 bacacb abacbc 36， 9 分 当且仅当 4949 2 bacacb abacbc abc 且且 ，即 2323 2 bacacb abc 且且 即 12 ,1 33 abc等号成立 10 分 方法二： 149 ()abc abc 222 123 abc 222 abc 2 123 abc abc 36， 9 分 当且仅当 123 2 abc abc ，即 12 ,1 33 abc等号成立 10 分