第1.3节 等可能概型 .ppt

1、2 3479108615 例如例如,一个袋子中装有一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球个大小、形状完全相同的球.将球编号为将球编号为110.把球搅匀把球搅匀,蒙上眼睛蒙上眼睛,从中任取一球从中任取一球.因为抽取时这些球是完全平等的因为抽取时这些球是完全平等的,我们没有理由认为我们没有理由认为1010个球中的某一个会比另一个更容易取得个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说也就是说,10,10个球中的任一个被取出的机会是相等的个球中的任一个被取出的机会是相等的,均为均为1/10.1/10.1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都

2、是1/10 概率论所讨论的问题中,有一类问题最简单直观,这类问题所涉及到的试验具有下面两个特征：1)1)(有限性有限性)试验的样本空间的元素只有有限个试验的样本空间的元素只有有限个;2)2)(等可能性等可能性)试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同.把具有上述两个特征的试验称为等可能概型等可能概型或古典概型古典概型.例如,抛一枚质地均匀的硬币,或者出现正面或者出现反面,只有两种结果,且每种结果出现的可能性相同.又如抛一颗骰子,观察出现的点数,则共有6种结果,且每一种结果出现的可能性相同.,neeeSE21 的的样样本本空空间间为为设设古古典典概概率率 ,即即事事件

3、件发发生生的的可可能能性性相相同同由由于于在在试试验验中中每每个个基基本本 nePePeP 21 .于是于是互不相容的互不相容的又由于基本事件是两两又由于基本事件是两两 SP1 12 nPeee 12 nPePePe inPe 所以所以 1,1,2,.iPeinn 设试验结果共有设试验结果共有n n个基本事件个基本事件1 1，2 2，.，n n，而且这些事件的发生具有相同的可能性，而且这些事件的发生具有相同的可能性.古典概型的概率计算古典概型的概率计算u 确定试验的基本事件总数确定试验的基本事件总数事件由其中的事件由其中的m m个基本事件组成个基本事件组成u 确定事件确定事件A A包含的基本事

4、件数包含的基本事件数nmAAP 试验的基本事件总数试验的基本事件总数包含的基本事件数包含的基本事件数事件事件)(例例 一个家庭中一个家庭中,若有两个孩子若有两个孩子,问恰都是男孩的概率多问恰都是男孩的概率多大大?假定男女出生率相同假定男女出生率相同.解解以下解法是错误的以下解法是错误的:样本空间取为样本空间取为 两男两男,两女两女,一男一女一男一女,所以所以 p p=1/3.=1/3.注意注意:在古典概型中在古典概型中,样本空间中的基本事件必须是样本空间中的基本事件必须是等等可能的可能的.错误在于样本点不是等可能的错误在于样本点不是等可能的.正确的解法是正确的解法是:样本空间取为样本空间取为(

5、男男,男男),(),(男男,女女),(),(女女,男男),(),(女女,女女).).所以所以 p p=1/4.=1/4.解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 则则.,1 TTHTHTHTTA 而而.83)(11 nmAPA得得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA ).(,)2().(,)1(.2211APAAPA求求”“至至少少有有一一次次出出现现正正面面为为设设事事件件求求”“恰恰有有一一次次出出现现正正面面为为设设事事件件将将一一枚枚硬硬币币抛抛掷掷三三次次.,)1(为出现反面为出现反面为出现正面为出现正面设设TH例1例1.87)(22 nmAP

6、A因此因此解解()()有放回抽样有放回抽样.(1)(1)(AP所求的概率为所求的概率为66 44;94 解解()()有放回抽样有放回抽样.(2)(2),916622)(BP,AB且且故由加法原理故由加法原理,所求的概率为所求的概率为)(BAP.95)()(BPAP解解()()有放回抽样有放回抽样.(3)(3)(BP所求的概率为所求的概率为.98)(1 BP解解()()无放回抽样无放回抽样.(1)(1)(AP所求的概率为所求的概率为56 34;52 解解(2)(2),1515612)(BP,AB且且故由加法原理故由加法原理,所求的概率为所求的概率为)(BAP.157)()(BPAP()()无放回

7、抽样无放回抽样.解解(3)(3)(BP所求的概率为所求的概率为.158)(1 BP()()无放回抽样无放回抽样.例例3 3 设在设在100 100 件产品中件产品中,有有4 4件次品件次品,其余均为正品其余均为正品.求求:u这批产品的次品率这批产品的次品率u任取任取3 3件件,全是正品的概率全是正品的概率u任取任取3 3件件,刚好两件正品的概率刚好两件正品的概率)(AP1004;04.0 )(BP3100C396C;8836.0 )(CP3100C14296CC.2256.0 解解 )(AP所求的概率为所求的概率为nNnNP 生日问题生日问题:某班有某班有n个学生个学生,求他们的生日各不相同的

8、概率求他们的生日各不相同的概率(设一年设一年365365天天).).n个学生个学生365天天n个小球个小球365个盒子个盒子.365)(365nnPAP 其概率为其概率为至少有两人生日相同的概率为至少有两人生日相同的概率为 n102023304050630.117 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997()P A 可能吗？可能吗？没问题！没问题！生日问题模型生日问题模型:某班有某班有n个学生个学生,求他们的生日各不相同的求他们的生日各不相同的概率概率(设一年设一年365365天天).).365)(365nnPAP 其概率为其概率为.3651)(365nnPAP

9、例例5 5 设有设有 N 件产品件产品,其中有其中有 M 件次品件次品,现从这现从这 N 件中任取件中任取 n 件件,求其中恰有求其中恰有 k 件次品的概率件次品的概率.这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样,称称超几何分布超几何分布.)(AP次品次品正品正品M件次品件次品N-M件正品件正品解解思考思考:若是有放回抽样呢若是有放回抽样呢?knMNkMCC nNC例例6 6(抽签问题抽签问题)10)10个学生个学生,以抽签的方式分配以抽签的方式分配3 3张音乐会张音乐会入场券入场券,抽取抽取1010张外观相同的纸签张外观相同的纸签,其中其中3 3张代表入场券张代表入场券.求求 A=第五个抽签的学生

10、抽到入场券第五个抽签的学生抽到入场券 的概率的概率.u基本事件总数基本事件总数u A 中的基本事件数中的基本事件数第五个学生抽第五个学生抽到入场券到入场券另外另外9个学生抽个学生抽取剩下取剩下9张张!10 n!913Cm .103)(nmAP抽签的公平性抽签的公平性!几何概型几何概型 Geometric Probabilityu 将古典概型中的有限性推广到无限性将古典概型中的有限性推广到无限性,而保留而保留等可能性等可能性,就得到几何概型就得到几何概型.n 事件事件A就是所投掷的点落在就是所投掷的点落在S中的可度量图形中的可度量图形A中中 u 几何度量几何度量-指长度、面积或体积指长度、面积或

11、体积 u 特点特点n 有一个可度量的几何图形有一个可度量的几何图形S Sn 试验试验E看成在看成在S中随机地投掷一点中随机地投掷一点)()()(SLALSAAP 的几何度量的几何度量的几何度量的几何度量例例7 7(会面问题会面问题)甲乙二人相约定甲乙二人相约定6:00-6:306:00-6:30在预定地点在预定地点会面会面,先到的人要等候另一人先到的人要等候另一人1010分钟后分钟后,方可离开方可离开.求甲乙求甲乙二人能会面的概率二人能会面的概率,假定他们在假定他们在6:00-6:306:00-6:30内的任意时刻内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的到达预定地点的机会是等可能的.解解 设甲

12、乙二人到达预定地点的时刻设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为分别为 x 及及 y(分钟分钟),),则则030 x030y10 xy二人会面二人会面22230(30 10)5930p30301010yx布丰投针问题布丰投针问题 设平面上画着一些有相等距离设平面上画着一些有相等距离2 2a（a00）的平行线）的平行线,向此平面上投一枚质地匀称的长为向此平面上投一枚质地匀称的长为2 2l（l a）的针）的针,求求针与直线相交的概率针与直线相交的概率.d2al解解 设针的中点离较近直线的距离设针的中点离较近直线的距离为为d,针与较近直线的交角为针与较近直线的交角为.则则d与与的可取值为的可取值为 00d

13、 a,0,0 所求概率为所求概率为 针与直线相交针与直线相交 00d lsinsin da0sin2()ldlP Aaa 袋中有袋中有20个球，其中个球，其中15个白球，个白球，5 个黑球，从中任取个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率个，求至少取到一个白球的概率 设表示至少取到一个白球，设表示至少取到一个白球，i 表示刚好取表示刚好取 到到i个白球，个白球，i0，1，2，3，则则 u 方法方法 （用互不相容事件和的概率等于概率之和）（用互不相容事件和的概率等于概率之和）(A)(A123)(1)(2)(3)12155320CCC解解21155320CCC315320CCu 方法方法 （

14、利用对立事件的概率关系）（利用对立事件的概率关系）35032 0()1()1()1CPAPAPAC 甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为为 0.85，乙击中的概率为，乙击中的概率为 0.8 两人都击中的概率为两人都击中的概率为 0.68 求目标被击中的概率求目标被击中的概率 解解 设表示甲击中目标，表示乙击中目标，设表示甲击中目标，表示乙击中目标，则所求概率为则所求概率为 0.85 0.8 0.68 0.97)(BAP)()()(ABPBPAP 排列组合排列组合是计算古典概率的重要工具是计算古典概率的重要工具.基本计数原理基本计数原理1.加

15、法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m类方式，类方式，第一类方式有第一类方式有n1种方法，种方法，第二类方式有第二类方式有n2种方法种方法,；第第m类方式有类方式有nm种方法种方法,则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法种方法.一步完成一步完成例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船.火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+2 种方法种方法回答是回答是基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不

16、同的方法种不同的方法.mnnn212.乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,；第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,多步完成多步完成 例如例如,A地到地到B地有两种走法地有两种走法,B地到地到C地有三种地有三种走法走法,C地到地到D地有四种走法地有四种走法,则则A地到地到D 地共有地共有24432 种走法种走法.特别特别,k=n时称时称全排列全排列!12)2)(1(nnnnPnn 排列、组合的定义及计算公式排列、组合的定义及计算公式)!(!)1()2)(1(knnknnnnPkn 1、排列、排列:)1(nk 从从n个元素中取个元素中取 k个个不同不同元素的排列数为：元素的排列数为：阶乘阶乘 若允许重复若允许重复,则从则从n个元素中取个元素中取 k个元素的个元素的排列数为：排列数为：注意注意knnnn 2、组合、组合:)1(nk 从从n个元素中取个元素中取 k个元素的组合数为：个元素的组合数为：!)!(!kknnkPCknkn 推广推广:n个元素分为个元素分为s组，各组元素数目分别为组，各组元素数目分别为r1,r2,rs的分法总数为的分法总数为nrrrrrrnss 2121,!