石大线代--21.ppt

1、抽象的线性空间与线性变换抽象的线性空间与线性变换 其基本内容如下其基本内容如下一、线性空间的判定一、线性空间的判定二、子空间的判定二、子空间的判定三、求向量在给定基下的坐标三、求向量在给定基下的坐标四、由基和过渡矩阵求另一组基四、由基和过渡矩阵求另一组基五、过渡矩阵的求法五、过渡矩阵的求法六、线性变换的判定六、线性变换的判定七、有关线性变换的证明七、有关线性变换的证明八、线性变换在给定基下的矩阵八、线性变换在给定基下的矩阵九、线性变换在不同基下的矩阵九、线性变换在不同基下的矩阵:),;,(;,;,.,RVVVRVVRV 设设运算规律运算规律两种运算满足以下八条两种运算满足以下八条并且这并且这记

2、作记作的积的积与与称为称为与之对应与之对应总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素与任一元素与任一元素数数又对于任一又对于任一记作记作的和的和与与称为称为之对应之对应与与总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素意两个元素意两个元素如果对于任如果对于任为实数域为实数域是一个非空集合是一个非空集合设设;0 ,)4(;0 ,;0)3();()(2(;)1(使使的负元素的负元素都有都有对任何对任何都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VVVV,)()8(;)(7(;)()()6(;1)5(那么，那么，就称为（实数域就称为（实数域 上的）上的）向量空间向量空间（或或线性空间线性空间），），中的元素不论

3、其本来的性质如中的元素不论其本来的性质如何，统称为（何，统称为（实实）向量向量简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，就称为就称为线性运算线性运算；凡定义了线性运算的集合，就；凡定义了线性运算的集合，就称为称为向量空间向量空间VRV.00,0)4(;00;)1(;00)3(;,)2(;)1(或或则则如果如果作作的负元素记的负元素记一的一的任一元素的负元素是唯任一元素的负元素是唯零元素是唯一的零元素是唯一的定义定义设设 是一个线性空间，是一个线性空间，是是 的一个非空子的一个非空子集，如果集，如果 对于对于 中所定义的加法和乘数两种运算中所定义的加法和乘数

4、两种运算也构成一个线性空间，则称也构成一个线性空间，则称 为为 的子空间的子空间VLVVVLL定理定理线性空间线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是：对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭VLVL.,)2(;,)1(:,21212121的维数的维数称为线性空间称为线性空间个基个基的一的一就称为线性空间就称为线性空间那么那么性表示性表示线线总可由总可由中任一元素中任一元素线性无关线性无关满足满足个元素个元素如果存在如果存在中中在线性空间在线性空间VnVVnVnnnn 定义定义.,Vnnn记作记作维线性空间维线性空间的线性空间称为的线性空间称为维

5、数为维数为定义定义.),(,21212122112121TnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxVV 并记作并记作这个基下的坐标这个基下的坐标在在这组有序数就称为元素这组有序数就称为元素使使总有且仅有一组有序数总有且仅有一组有序数任一元素任一元素对于对于的一个基的一个基是线性空间是线性空间设设式可表示为式可表示为量和矩阵的形式量和矩阵的形式利用向利用向个有序元素记作个有序元素记作这这把把个基个基中的两中的两是线性空间是线性空间及及设设)1(,),(,)1(,112211222211221221111111 nnnnnnnnnnnnnnnnpppppppppV .,.,)2()1()2(.)

6、,(),(2121212121212121222121211121故过渡矩阵可逆故过渡矩阵可逆线性无关线性无关由于由于的过渡矩阵的过渡矩阵到基到基称为由基称为由基矩阵矩阵称为基变换公式称为基变换公式或或或或 nnnnnnTnnnnnnnnPPPppppppppp 则有坐标变换公式则有坐标变换公式若两个基满足关系式若两个基满足关系式下的坐标为下的坐标为在基在基下的坐标为下的坐标为在基在基中的元素中的元素设设PxxxxxxVnnnTnnTnn),(),(,),(,),(,212121212121 .,211212121 xxxPxxxxxxPxxxnnnn或或.),(),(,2121Pnn 式式则

7、两个基满足基变换公则两个基满足基变换公换公式换公式满足上述坐标变满足上述坐标变若任一元素的两种坐标若任一元素的两种坐标反之反之).(,)(),(,ATTBABABA 或或记作记作或映射或映射的变换的变换到集合到集合合合这个对应规则称为从集这个对应规则称为从集那么那么和它对应和它对应中一个确定的元素中一个确定的元素总有总有按照一定规则按照一定规则元素元素中的任一中的任一如果对于如果对于设有两个非空集合设有两个非空集合 .)(,)()(),(,.,)(,BATATATATTATTTTA 显显然然即即记记作作象象集集称称为为象象的的全全体体所所构构成成的的集集合合的的源源集集称称为为变变换换下下的的

8、源源在在变变换换称称为为下下的的象象在在变变换换称称为为变变为为把把元元素素就就说说变变换换设设 变换的概念是函数概念的推广变换的概念是函数概念的推广.,.,),()(),(,)2();()()(),(,)1(,21212121的对应的变换的对应的变换变换就是保持线性组合变换就是保持线性组合线性线性简言之简言之的线性变换的线性变换到到就称为从就称为从那么那么有有从而从而任给任给有有从而从而任给任给满足满足如果变换如果变换的变换的变换到到是一个从是一个从间间维线性空维线性空维和维和分别是实数域上的分别是实数域上的设设UVTkTkTVkRkVTTTVVTUVTmnUVmnnnnnmnmn .,线性

9、变换线性变换中的中的称为线性空间称为线性空间到其自身的线性变换到其自身的线性变换间间是一个从线性空是一个从线性空那么那么如果如果特别地特别地VVTVUnnnm.,3 ;)(,2 ;)(,001 212122112211反之不然反之不然亦线性相关亦线性相关则则线性相关线性相关若若则则若若 mmmmmmTTTTkTkTkTkkkTTT .,)(,),(),(,)()(,2121222211121121为单位坐标向量为单位坐标向量其中其中表示表示都可用关系式都可用关系式中任何线性变换中任何线性变换eeeaaaaaaaaaeTeTeTARxAxxTTRnnnnnnnnnn ,)(,)(,)()(,22

10、11222211221221111121 nnnnnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaTTVVT为为用这个基线性表示用这个基线性表示下的象下的象如果这个基在变换如果这个基在变换一个基一个基中取定中取定在在中的线性变换中的线性变换是线性空间是线性空间设设.,),(),(),(,),(),(),(2121222211121121212121的矩阵的矩阵下下在给定基在给定基就称为线性变换就称为线性变换那么那么其中其中式可表示为式可表示为上上记记 nnnnnnnnnnnTAaaaaaaaaaAATTTTT .,.,一对应的一对应的线性变换与矩阵是一线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下在给定一个基

11、的条件下个线性变换个线性变换也可唯一地确定一也可唯一地确定一由一个矩阵由一个矩阵确定一个矩阵确定一个矩阵可唯一地可唯一地由线性变换由线性变换中取定一个基后中取定一个基后在在TAATVn.,121212121APPBBATVPVnnnnnn 那么那么和和的矩阵依次为的矩阵依次为在这两个基下在这两个基下中的线性变换中的线性变换的过渡矩阵为的过渡矩阵为到基到基由基由基与与中取定两个基中取定两个基在线性空间在线性空间 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下的矩阵同基下的矩阵复 习 要 点第一章 逆序数的计算、行列式的性质及计算第二章 解矩阵方程、伴随矩阵的性质第三章 向量的线性相关性讨论、用矩阵的初等变 换解题、矩阵及向量组的秩的讨论第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、齐次或非齐次解的结构的讨论第五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交 矩阵化实对称阵为对角阵（或用正交变换 化二次型为标准形）、正定性判别第六章 子空间，基，维数与坐标，基变换与坐标 变换，线性变换及其矩阵表示