石大线代-18 .ppt

1、 线性空间是线性代数基本的概念之一线性空间是线性代数基本的概念之一,也是一个抽象的概念，它是向量空间概也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广念的推广线性空间是为了解决实际问题而引入的，是从线性空间是为了解决实际问题而引入的，是从众多具体问题高度概括抽象而来，通过研究线性空众多具体问题高度概括抽象而来，通过研究线性空间的基本性质，来解决更为广泛的实际问题间的基本性质，来解决更为广泛的实际问题 类似于向量的加法与数乘运算及向量空间的相类似于向量的加法与数乘运算及向量空间的相关概念，首先定义非空抽象集合中元素的加法与数关概念，首先定义非空抽象集合中元素的加法与数乘运算，由此引进线性空间的定义，并

2、讨论之。乘运算，由此引进线性空间的定义，并讨论之。若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，有，有 唯一的元素唯一的元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的的数积，记作数积，记作R V V 定义定义 设设 是一个非空集合，是一个非空集合，为实数域如果为实数域如果对于任意两个元素对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元，总有唯一的一个元素素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作V ,V VRRV ,;,设设;0,0)3(都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VV;)1(;)2(若上述的两种运算满足以下八条运算规律，那若上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么

3、么 就称为数域就称为数域 上的向量空间（或线性空间）上的向量空间（或线性空间）VR;1)5(;)6(.)8(;)7(;0 ,)4(使使的的负负元元素素都都有有对对任任何何VV2 线性空间中的向量不一定是有序数组线性空间中的向量不一定是有序数组3 判别线性空间的方法：非空集合，对于定判别线性空间的方法：非空集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 注意注意1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为称为线性运算线性运算线性

4、空间的元素亦称为线性空间的元素亦称为“向量向量”，但它可以是，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.（）非空集合，如果定义的加法和乘数运（）非空集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性算的封闭性例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm nmR,nmnmnmCBA ,nmnmDA .是是一一个个线线性性空空间间nmR 线性空间的判定方法线性空间的判定

5、方法.,0101量空间量空间向向数乘多项式的乘法构成数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法即即记作记作的多项式的全体的多项式的全体次数不超过次数不超过RaaaaxaxapxPxPnnnnnn 例2例2通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律算满足线性运算规律)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xPn)(01axaxann )()()(01axaxann xPn.对运算封闭对运算封闭xPn.0,0101间间空空和乘数运算不构成向量和乘数运算不构成向量对于通常的多项

6、式加法对于通常的多项式加法且且次多项式的全体次多项式的全体 aRaaaaxaxapxQnnnnnn例3例3p0000 xxnxQn.对运算不封闭对运算不封闭xQn例例4 4 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为 R .,RbaRaaabba 验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间 R（）非空集合，如果定义的加法和乘数运（）非空集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律否满足八条线性运算规律证明证明;,Rabba

7、Rba.,RaaRaR 所以对定义的加法与乘数运算封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律：;)1(abbaabba );()()()(2(cbacabcabcba 有有对任何对任何中存在零元素中存在零元素,1)3(RaR;11aaa 使使有负元素有负元素,)4(1 RaRa;111 aaaa;1)5(1aaa ;)6(aaaaa ;)7(aaaaaaaa baababba )()()8(所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间 R.baba 0,0),(1 nTxx 不构成线性空间不构成线性空间对于通常的有序数组的加法

8、及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例例5 5 个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体n RxxxxxxxSnnTn ,),(2121.对运算封闭对运算封闭Sn,1ox 但但.不满足第五条运算规律不满足第五条运算规律.,线性空间线性空间不是不是所以所以线性运算线性运算由于所定义的运算不是由于所定义的运算不是Sn1 1零元素是唯一的零元素是唯一的证明证明假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零元中的两个零元素，素，210,0.0,021 由于由于,0,021V 所以所以.000,000121212 则对任何则对任何 ，V 有有.000000212211 2 2

9、负元素是唯一的负元素是唯一的证明证明 假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ，那么那么.0,0 则有则有0 0.向量向量 的负元素记为的负元素记为.3.,00;1;00.VR 有证明证明 ,101010 .00 ,0011111 .1 10 0 .0 4如果如果 ，则则 或或 .0 0 0 证明证明假设假设,0 那么那么 011 .0 .11 又又.0 同理可证：若同理可证：若 则有则有0 .0 定义定义2 2设设 是一个线性空间，是一个线性空间，是是 的一个非空子的一个非空子集，如果集，如果 对于对于 中所定义的加法和乘数两种运算中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称也构成

10、一个线性空间，则称 为为 的子空间的子空间VLVVVLL定理定理线性空间线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是：对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭VLVL解解(1)不构成子空间不构成子空间.因为对因为对1000001WBA?32为为什什么么空空间间的的下下列列子子集集是是否否构构成成子子 R;,001)1(1 RdcbdcbW.,0000)2(2 RcbacbacbaW例例8 8有有,0000021WBA 即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.1W,000000)2(2W 因因.2非空非空即即W对任意对任意2

11、222111000,000WcbaBcbaA 有有,0111 cba,0222 cba于是于是 212121000ccbbaaBA满足满足 ,0212121 ccbbaa,2WBA 即即有有对任意对任意Rk 111000kckbkakA且且,0111 kckbka,2WkA 即即.322的子空间的子空间是是故故 RW线性空间线性空间 是一个非空集合是一个非空集合对所定义的加法及数乘运算封闭对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算要求所定义的加法及数乘符合线性运算要求线性空间是二维、三维几何空间及线性空间是二维、三维几何空间及 维向量维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性

12、空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.n子空间的判断子空间的判断已知已知：在中，线性无关的向量组最多由：在中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的个向量都是线性相关的Rnn1 n问题问题：线性空间的一个重要特征：线性空间的一个重要特征在线性空在线性空间间 中，最多能有多少线性无关的向量？中，最多能有多少线性无关的向量？V;,)1(21线线性性无无关关n .,21维数维数的的称为线性空间称为线性空间基基的一个的一个就称为线性空间就称为线性空间那末那末VnVn ,2)(21表表示示线线性性总总可可由由中中任任一一元元素素nV 定义定义 在线性空间在线

13、性空间 中，如果存在中，如果存在 个元素个元素nn ,21满足：满足：V.,nVnn记记作作维维线线性性空空间间的的线线性性空空间间称称为为维维数数为为可表示为可表示为则则的一个基的一个基为为若若nnnVV,21 RxxxxxxVnnnn ,212211 当一个线性空间当一个线性空间 中存在任意多个线性无关中存在任意多个线性无关的向量时，就称的向量时，就称 是无限维的是无限维的VV,2211nnxxx .,212121nTnnxxxxxx 并记作并记作基下的坐标基下的坐标这个这个在在称为元素称为元素有序数组有序数组使使数数总总有有且且仅仅有有一一组组有有序序于于任任一一元元素素对对的的一一个个

14、基基是是线线性性空空间间设设,2121nnnnxxxVV 定义定义.,1,453423214就是它的一个基就是它的一个基中中在线性空间在线性空间xpxpxpxppxP 例1例1axaxaxaxap01223344 4 次的多项式次的多项式任一不超过任一不超过papapapapap5443322110 可表示为可表示为),(43210aaaaapT在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为因此因此注意注意则则若取另一基若取另一基,2,1,1 45342321xqxqxqxqq qaqaqaqaqaap5443322111021)(),21,(432110aaaaaapT 在这个基下的坐标为在这个基下的

15、坐标为因此因此线性空间线性空间 的任一元素在不同的基下所对的的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的唯一的V 1000,0100,0010,000122211211EEEE,4321224213122111 kkkkEkEkEkEk有有例例所有二阶实矩阵组成的集合所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性上的一个线性空间对于空间对于 中的矩阵中的矩阵VVR,0000 224213122111 OEkEkEkEk因此因此,22211211VaaaaA 对于任意二阶实矩阵对于任意二阶实矩阵,0 4321kkkk.,22211211线性无关线性无关即即EEEE.,22211211的一组基的一组基为为因此因此VEEEEEaEaEaEaA2222212112121111 有有.),(22211211aaaaAT在这组基下的坐标是在这组基下的坐标是而矩阵而矩阵