第5章 常微分方程初值问题初步.ppt
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- 第5章 常微分方程初值问题初步 微分方程 初值问题 初步
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1、112马尔萨斯人口模型:假设某特定区域在马尔萨斯人口模型:假设某特定区域在 t0 时刻的人口时刻的人口p(t0)=p0为已知的,该区域人口的自然增长率为为已知的,该区域人口的自然增长率为。人口的增长与人口的总数成正比,所以人口的增长与人口的总数成正比,所以 t 时刻的人口时刻的人口总数总数 p(t)满足如下的微分方程:满足如下的微分方程:00,ptp tp tp生活中常常有这样一类问题:生活中常常有这样一类问题:问问 题题 的的 提提 出出这些常微分方程有各种各样的解析方法,但解析方法只能用来这些常微分方程有各种各样的解析方法,但解析方法只能用来求解一些特殊类型的问题,实际问题中归结出来的微分
2、方程主求解一些特殊类型的问题,实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。要靠数值解法。3解析法:给出精确解析解。只适合少数简单情况。解析法:给出精确解析解。只适合少数简单情况。近似解法:给出解的近似表达式。如级数法近似解法:给出解的近似表达式。如级数法,逐步逼近法。逐步逼近法。数值方法:给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机数值方法:给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机求解求解,应用广泛应用广泛,具有理论应用价值。具有理论应用价值。常微分方程的解法:常微分方程的解法:内容分类:内容分类:定解问题定解问题初值问题初值问题边值问题边值问题单步法单步法Euler方法方法Taylor方法和方法
3、和Runge-Kutta方法方法多步法多步法Adams方法和一般线性多部法方法和一般线性多部法线性多部法的收敛性与稳定性线性多部法的收敛性与稳定性4一阶常微分方程初值问题的一般形式:一阶常微分方程初值问题的一般形式:问题问题:求函数求函数(),y xaxb满足满足(,),()dyf x yaxbdxy a其中其中:f(x,y)为已知函数为已知函数,是已知值是已知值.(可能是观察值或实验值可能是观察值或实验值)基本条件:基本条件:f(x,y)在在D上连续;上连续;f(x,y)在在D上关于变量上关于变量y满足满足Lipschitz连续条件:连续条件:设设(,),Dx y axb y 121212.
4、(,)(,),f x yf x yL yyaxby y满足解的满足解的存在唯一存在唯一5对求解区域对求解区域a,b做剖分做剖分 构造数值解法的基本思想构造数值解法的基本思想在区间在区间xk,xk+1上对微分方程做积分上对微分方程做积分,则有则有0012,nkknxaxxxxb 常用等步长常用等步长:()hb a n,则有则有(0,).kxakh kn将微分方程的准确解记为将微分方程的准确解记为y(x),(,).kkkf x yf称为步长。称为步长。(1,2,)kn()ky x的近似解记为的近似解记为,ky11()()(,()kkxkkxy xy xf x y xdx1kkkhxx能不能将微分转
5、化为积分?能不能将微分转化为积分?6因此,建立节点处近似值因此,建立节点处近似值yn满足的差分公式满足的差分公式称之为称之为Euler公式公式.10(,),0,1,2,1kkkkyyhfxyykn对对右边的积分应用左矩形公式,则有右边的积分应用左矩形公式,则有1()()(,()kkkky xy xhfxy x11()()(,()kkxkkxy xy xf x y xdx7Euler公式的几何意义公式的几何意义y10(,),0,1,2,1kkkkyyhfxyykn特点:特点:简单,精度低简单,精度低.8例例 求解初值问题求解初值问题 2 0101 xyyxyy解:解:Euler公式的具体形式为公
6、式的具体形式为12nnnnnxyyh yy取步长取步长 h=0.1,那么即可计算该微分方程。,那么即可计算该微分方程。具体结果见下页。具体结果见下页。912yx解析解:解析解:10(2)前向差分近似微分法前向差分近似微分法前向差分前向差分1()()kkky xy xh近似近似 ,得得1()()(,()kkkkky xy xf xy xh将近似号改为等号,结合初始条件即得:将近似号改为等号,结合初始条件即得:(,),()dyf x yaxbdxy a10(,),0,1,2,1kkkkyyhfxyyknkdy xdx前面前面Euler方法是通过左矩形积分方法推导出来的,实际上方法是通过左矩形积分方
7、法推导出来的,实际上 Euler方法还可以通过其他几种方法推导出来。方法还可以通过其他几种方法推导出来。11(3)Taylor展开法展开法()211()()()(,(),2!kkkkkykxkkkkyy xy xh f xy xhxx忽略高阶项忽略高阶项 ,2kh结合初值条件结合初值条件y(x0)=即得即得()(,),()(,()kkkdyy xf x ydxy xf xy x将将 y(xk+1)在在x=xk点进行点进行Taylor展开展开1110(,),0,1,2,1kkkkyyhfxyyknEuler公式的局部截断误差:公式的局部截断误差:22111()()()=,2!2kkkkkkkkk
8、yyxy xyhhxx12后退的后退的Euler公式公式如果采用后向差分如果采用后向差分1()()kkky xy xh近似近似 ,得得111()()(,()kkkkky xy xf xy xh将近似号改为等号,结合初始条件即得:将近似号改为等号,结合初始条件即得:(,),()dyf x yaxbdxy a1110(,),0,1,2,1kkkkyyhfxyykn1ndy xdx未知未知这一类公式称为隐式的,相对应的前面介绍的这一类公式称为隐式的,相对应的前面介绍的Euler公式称为公式称为显式的显式的13显式:更加方便计算显式:更加方便计算隐式:数值稳定性更好隐式:数值稳定性更好显式与隐式的特点
9、显式与隐式的特点:隐式方程的计算方法隐式方程的计算方法:隐式方程常用迭代法计算,而迭代的过程实质是逐步显式化。隐式方程常用迭代法计算,而迭代的过程实质是逐步显式化。设用设用Euler公式公式 给出迭代的初值给出迭代的初值 ,用它代入后退,用它代入后退Euler公式,使之转化为显式,得公式,使之转化为显式,得1(,)kkkkyyhfxy 01ny 10111(,)kkkkyyhfxy然后再代入后退然后再代入后退Euler公式公式 21111(,)kkkkyyhfxy14如此反复进行得:如此反复进行得:1111(,)0,1,2nnkkkkyyhfxyn如果迭代过程收敛,则极限值如果迭代过程收敛,则
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