3.3 二阶系统性能分析.ppt

1、第三章第三章 时域分析法时域分析法第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析一、二阶系统的数学模型一、二阶系统的数学模型二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应五、改善二阶系统性能的措施五、改善二阶系统性能的措施三、二阶系统的性能指标三、二阶系统的性能指标四、带零点二阶系统的单位阶跃响应四、带零点二阶系统的单位阶跃响应二阶微分方程描述的二阶微分方程描述的系统称为系统称为二阶系统。二阶系统。系统的典型结构系统的典型结构:阻尼比阻尼比无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率n 一、二阶系统的数学模型一、二阶系统的数学模型 求出标准形式的性能指标表达式，便求出标准形式的性能指标表达式，便

2、可求得任何二阶系统的动态性能指标。可求得任何二阶系统的动态性能指标。(s)=C(s)R(s)nn s2+2 s+n=22n n -R(sR(s)C(s)C(s)s(s+22 2 n n)=s2+Rs/L+1/LC1/LCLCs2+RCs+11=G(s)=Uc(s)Ur(s)例如：例如：RLC电路的传递函数为电路的传递函数为得：得：n 2=R/L=R C2 L+-uruc+-CLRi 二阶系统的参数与二阶系统的参数与标准式的参数之间有着标准式的参数之间有着对应的关系。对应的关系。n2 =1/LCn=1/LCnn s2+2 s+n=22 值不同，两个根的性质不同，有可能为值不同，两个根的性质不同，

3、有可能为实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。响应的形式也不相同。下面分别讨论。C(s)=(s)R(s)n s2+2 s+n2=0二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应n2n(s2+2 s+n2)=s1n =-n2-1 n s1.2=-22(2)2-4n n 210，闭环极点为共扼复根，位于左半闭环极点为共扼复根，位于左半S S平面，平面，欠阻尼欠阻尼系统系统1，为两个相等的根为两个相等的根,临界阻尼临界阻尼系统系统0，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，无阻尼无阻尼系统系统1，两个不相等

4、的根，两个不相等的根，过阻尼过阻尼系统系统二 阶 系 统 极 点 分 布左 半 平 面 001 =1两 个 相 等 根=0jn=0 j右 半 平 面 1两 个 不 等 根0nnnjd=n211.1 过阻尼过阻尼 两不相等两不相等负实数根负实数根c(t)=A1+A2es1t+A3es2t 系统输出无振荡系统输出无振荡和超调，输出响应和超调，输出响应最终趋于稳态值最终趋于稳态值1。A1=ss-s1+A2A3s-s2+单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线c(t)t011 s1.2 n =-n2-1 nn(s2+2 s+n2)s1C(s)=2s(s-s1)(s-s2)n2=2.=1 临界阻尼临界阻尼两相等

5、负实数根两相等负实数根=-n 1=s1-nn(s+)2 n s+-n c(t)=1-en-t(1+t)输出输出响应无振响应无振荡和超调。荡和超调。=1时时系统的响应速度比系统的响应速度比1 时快。时快。单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线1=1 c(t)t0s1.2 n =-n2-1 nn(s2+2 s+n2)s1C(s)=2=nn(s+)2 1s2n(s+n2)2=(1-2)3.01 欠阻尼欠阻尼令：令：阻尼振荡频率阻尼振荡频率则：则：单位阶跃响应：单位阶跃响应：s1.2 n =-n2-1 2=n1-ds1.2 n j=-dn2n(s+s+d2)2C(s)=1n s2+2 s+n2C(s)=n2

6、n(s2+2 s+n)s12=n s2+2 s+n 2()n 2-()+n2n(s+d2)2=另：另：得：得：n(s+s+d2)2=+1n-(s+)2n(s+s+d2)2=-1n s+n(s+d2)2-n dd拉氏反变换：拉氏反变换：=1-t+sind tent-21-21-cosdc(t)=1-ecosent-t-dn dnt-sind t21-nn-1=tg=21-nnsin=21-=nncos=-1=tg 21-S1S20 系统参数间的关系系统参数间的关系:1-2n-n1-2n-njc(t)=1-t+sind tent-21-21-cosd 根据根据:=1-t+sind tent-21-

7、cosdcos sin=1-t+)ent-21-dsin(得得:单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线c(t)t011 =1 1C(s)=s(s+1)(s+2)2拉氏反变换拉氏反变换c(t)=1-2e-t+e-2tA1=ss+1+A2A3s+2+1=ss+1-21s+2+C(s)s2+s+44R(s)=例例 已知二阶系统的闭环传递函数已知二阶系统的闭环传递函数,求系统求系统 的单位阶跃响应的单位阶跃响应.解：解：=0.25得：得：=2n 2=4n 2n=1=1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o)将参数代入公式将参数代入公式:c(t)=1-t+)ent-21-dsin(=0.5n=75o-

8、1=tg 21-=1.9d=n2 1-主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论和计算。其单位阶跃响应曲线：行讨论和计算。其单位阶跃响应曲线：tc(t)01trtp%tsess性能指标有：性能指标有：性能指标求取如下性能指标求取如下三、二阶系统的性能指标三、二阶系统的性能指标1.上升时间上升时间tr2.峰值时间峰值时间tp3.超调量超调量%4.调节时间调节时间ts5.稳态误差稳态误差ess=11.上升时间上升时间tr即即根据定义有根据定义有则则c(tr)=1-tr+)entr-21-dsin(=0tr+)entr-21-dsin(=0tr+)dsin(tc(t)01

9、trd tr+=0,2得得:-1=tg 21-tr=d -21-n=其中其中:d tr+=2.峰值时间峰值时间tp根据定义有根据定义有dc(tp)dt=0即即c(t)=1-t+)ent-21-dsin(-1tp+)entp-21-dsin(dc(tp)dt=-n=0+tp+)entp-dcos(dtc(t)01tp-tp+)entp-21-dsin(=n=0tp+)dcos(-21-tp+)dsin(=0tp+)dcos(-21-tp+)dsin(=tp+)dcos(21-则则=tg tp+)dtg(d tp=0,2tp=d21-n=d tp=3.超调量超调量%代入公式：代入公式：tp=d%=

10、c(tp)-100%c()c()c(tp)=1-tp+)entp-21-dsin()=1-+21-sin(e-1-2)=-+21-sin(=1+e-1-2100%c(tp)-11%=e-1-2100%tc(t)01tp%另另则则4.调节时间调节时间ts可用近似公式：可用近似公式：5%误差带误差带2%误差带误差带当当大于上述值时，大于上述值时，可用近似公式计算：可用近似公式计算：ts=3T0.680.76c(t)=1-t+)ent-21-dsin(tc(t)01ts3n=ts=4T4n=ts=1n 6.45-1.7误差带误差带5.稳态误差稳态误差ess根据稳态误差的定义根据稳态误差的定义t es

11、s=lim e(t)欠阻尼二阶系统的稳态误差欠阻尼二阶系统的稳态误差:tc(t)01c(t)=1-t+)ent-21-dsin(r(t)=I(t)ess=1-1=0t lim c(t)=1ess=0e(t)=r(t)-c(t)以上为欠阻尼二阶系统在单位阶跃输以上为欠阻尼二阶系统在单位阶跃输入作用下性能指标的求取。过阻尼二阶系入作用下性能指标的求取。过阻尼二阶系统其性能指标只有调节时间和稳态误差。统其性能指标只有调节时间和稳态误差。c(t)=A1+A2es1t+A3es2tt ess=lim r(t)-c(t)稳态误差的计算：稳态误差的计算：调节时间是调节时间是根据特征根中绝根据特征根中绝对值小

12、的来近似对值小的来近似计算：计算：设设|s1|0.707之后又有之后又有 ts。综合考虑系统的平稳性和快速性，一综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取般取=0.707为最佳。为最佳。3）准确性：）准确性：由由和和 n决定。决定。的增加和的增加和n的减小虽然对系统的平稳的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态斜坡信号的稳态误差增加。误差增加。例例 已知系统的闭环传递函数已知系统的闭环传递函数，当，当K=2,K=4 时，求系统的单位阶跃响应和时，求系统的单位阶跃响应和 性能指标性能指标%,ts。(s)=s2+3s+KK解：解：(1)K=2=1.061C(s)

13、=2s(s+1)(s+2)(s)=s2+3s+222=2n 2n=3c(t)=1-2e-t+e-2t1=ss+1-21s+2+tc(t)01系统性能指标系统性能指标 ts=3T1=3(2)K=4(s)=s2+3s+44=0.7512=4n 2n=3c(t)=1-t+)ent-21-dsin(=1-1.5e-1.5t sin(1.32t+41.4o)%=100%e-1-2=2.8%ts=4n=2.6732.67例例 已知随动系统的结构如图已知随动系统的结构如图,试计算在试计算在不同参数下不同参数下,系统的动态性能指标。系统的动态性能指标。r(s)1/iCes(Tms+1)-c(s)KsKa=1+

14、r(s)KsKa/iCes(Tms+1)c(s)KsKa/iCes(Tms+1)Tms2+s+KsKa/iCe=KsKa/iCe=s2+Fs+KKF=Tm1KsKaTmiCeK=设设 F=34.5则则(s)=s2+34.5s+KK下面求取不同下面求取不同K时系统的性能指标。时系统的性能指标。解：解：闭环传递函数闭环传递函数(1)K=1000(s)=s2+34.5s+KK(s)=s2+34.5s+100010002=1000n 2n=34.5=0.545=31.6n=0.12=0.17=13%tp=21-n ts=3n%=100%e-1-2c(t)t0随动系统响应曲线随动系统响应曲线1(2)K=

15、7500(s)=s2+34.5s+750075002=7500n 2n=34.5=0.2=86.2n=0.037=0.17tp=21-n ts=3n=52.7%=100%e-1-2(3)K=150(s)=s2+34.5s+1501502=150n 2n=34.5=1.41=12.25n(s)=(s+5.1)(s+29.4)150=0.196T1=5.11T2=29.41=0.03ts=3T1=0.590.170.59(s)=C(s)R(s)nn s2+2 s+n=22 s+1)n n(s2+2 s+n(s+z)z)=22s+1-R(sR(s)n n C(s)C(s)s(s+22 2 n n)四

16、、带零点二阶系统单位阶跃响应四、带零点二阶系统单位阶跃响应系统结构为系统结构为时间常数时间常数闭环零点闭环零点n n(s2+2 s+nsz)+2nn s2+2 s+n=222n n(s2+2 s+n(s+1)1)=22 设设R(s)C1(s)nn s2+2 s+n=22则则sC(s)=C1(s)+zC1(s)c(t)=c1(t)+dc1(t)dt1z设设R(s)=s101 c1(t)=L-1 n n(s2+2 s+ns)22=1-t+)ent-21-dsin(dc1(t)dt=-dent-21-n t+)dsin(t+)dcos(c(t)=1-de21-n t+)+d)sin(t+)dcos(

17、1z(z-nt-=1-dent-21-n t+)+dsin(t+)dcos(lzz-ll 系统参数间的关系系统参数间的关系:S1S20d-nd-nj-zc(t)=1-dent-21-n t+)+dsin(t+)dcos(lzz-llll=|z-s1|)2+2n =d(z-|n=cos|z-ld=sin l根据计算结果根据计算结果:sincos=1-ent-21-t+)+dsin(t+)dcos(lz=1-+ent-21-t+)dsin(lz可求得系统的性能指标可求得系统的性能指标:e100%=lz(-1-2)(+-)tr=21-n 1)(3+lnlzn ts=(5%)1)(4+lnlzn ts

18、=(2%)增加零点后增加零点后,上升时间缩短上升时间缩短,系系统的初始响应加统的初始响应加快快,系统的振荡性系统的振荡性也增加。也增加。c(t)t01二阶系统二阶系统带零点系统带零点系统 系统的平稳性和快速性对系统结构系统的平稳性和快速性对系统结构和参数的要求往往是矛盾的和参数的要求往往是矛盾的,工程中通过工程中通过在系统中增加一些合适的附加装置来改在系统中增加一些合适的附加装置来改善二阶系统的性能。善二阶系统的性能。常用附加装置有比例微分环节和微常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈环节，通过附加的装置改变系分负反馈环节，通过附加的装置改变系统的结构统的结构,从而达到改善系统性能的目的从而达

19、到改善系统性能的目的.五、改善二阶系统性能的措施五、改善二阶系统性能的措施1比例微分控制比例微分控制 比例微分控制二比例微分控制二 阶系统结构图阶系统结构图开环传递函数开环传递函数:闭环传递函数闭环传递函数:得得(s)=n s2+(2+n2n)(s+1)s+22ns+=n s2+2 n2n)(s+12-R(sR(s)s+1n n C(s)C(s)s(s+22 2 n n)n n=2+2n 2=2+nG(s)=n)(s(s+2)s+1n2对二阶系统性能的改善对二阶系统性能的改善 c(t)t01二阶系统二阶系统加比例微分加比例微分 比例微分控制比例微分控制使系统阻尼比增大使系统阻尼比增大,超调量将

20、减少超调量将减少.若传若传递函数中增加的零递函数中增加的零点合适，将使得系点合适，将使得系统响应加快。统响应加快。2微分负反馈控制微分负反馈控制开环传递函数开环传递函数 加微分负反馈系统加微分负反馈系统:(s)=n s2+(2+n2n)s+22nG(s)=n s2+2+nss22ns+=n s2+2 n2n2n n=2+2n 2=2+n闭环传递函数闭环传递函数对二阶系统性能的改善对二阶系统性能的改善 c(t)t01二阶系统二阶系统加微分负反馈加微分负反馈 加 入 微 分 负加 入 微 分 负反馈，系统的阻反馈，系统的阻尼比增大，超调尼比增大，超调量减少。量减少。s-R(sR(s)n n C(s)C(s)s(s+22 2 n n)-作业习题：作业习题：3-33-43-73-8返回返回