方程的根与函数的零点 .ppt

1、数数 学学 是是 科科 学学 的的 大大 门门 和和 钥钥 匙匙问题情境问题情境:(1)y=x(1)y=x2 2+2x-3+2x-3与与x x2 2+2x-3=0+2x-3=0(2)y=x(2)y=x2 2+2x+1+2x+1与与x x2 2+2x+1=0+2x+1=0(3)y=x(3)y=x2 2+2x+3+2x+3与与x x2 2+2x+3=0+2x+3=0问题问题1 1：下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与x x轴交点和相应方轴交点和相应方程的根有何关系？程的根有何关系？引申引申:二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象与的图象与x x轴轴交点

2、和相应一元二次方程交点和相应一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的的根有何关系根有何关系?方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式=b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2问题问题2:2:二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象与的图象与

3、x x轴交点轴交点和相应一元二次方程和相应一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根有何关系的根有何关系?结论结论:二次函数图象与二次函数图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。就是相应方程的实数根。方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3 y=x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112

4、y=x22x+3 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的的实数实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点由此可见由此可见,求方程求方程f(x)=0的实数根的实数根,就是确定函数就是确定函数y=f(x)的零点的零点.思考：零点是不是点？思考：零点是不是点？注意：注意：零点指的是一个实数；零点指的是一个实数；练习练习1 1、求函数、求函数f(xf(x)=x)=x2 2-5x+-5x+的零点。的零点。练一练练一练:解：41:45)(41:0450)(

5、2122xxxxxfxxxxf和的零点为函数或解得得令探探究究(2)(1)(2)(4)?ffff与有何共同特点观察二次函数观察二次函数 f(x)=x2-2x-3图象，可以发现图象，可以发现函数函数f（x）=x2-2x-3在区间在区间(-2，1)上有零点，上有零点，计算计算f(-2)与与f(1)的乘积的乘积,你能发现这个乘积有你能发现这个乘积有什么特点？在区间什么特点？在区间(2，4)上呢？上呢？你得到的这个结论能推广吗？举几个例子你得到的这个结论能推广吗？举几个例子来说明你的结论。来说明你的结论。.xy0132112123424注意：注意：1、图像是连续不断的曲线、图像是连续不断的曲线0)()

6、(2bfaf结论结论a例例abbabab由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内内有零点。有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表的对应值表（表（表3-1）和图象（图）和图象（图3.13）4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例例1 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。

7、123456789x0246105y241086121487643219判断方法：判断方法：证明：证明：2 2、函数、函数 的零点所在的大致区间是（的零点所在的大致区间是（）2()lnf xxxA A、(1,2)B(1,2)B、(2,3)C(2,3)C、(3,4)D(3,4)D、(e,+)(e,+)练习应用练习应用1 1、课本、课本P P8888练习练习 1,21,2的零点。求函数)22(log.322xxy利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=x33x+5；（2）f(x)=2x ln(x2)3；（3）f(x)=ex1+

8、4x4;（4）f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x.课本课本P P8888练习练习 2 21 1、函数、函数y=f(x)y=f(x)的零点的定义。的零点的定义。2 2、三个等价关系。三个等价关系。3 3、函数、函数y=f(x)y=f(x)的零点存在性的判定。的零点存在性的判定。使使f(xf(x)=0)=0的实数的实数x x叫做函数叫做函数y=f(xy=f(x)的的零点零点4 4、学会、学会数形结合数形结合和和函数与方程函数与方程的思想。的思想。方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图的图象与象与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)y=f

9、(x)有零点有零点函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上图象是连续不断的一条曲线上图象是连续不断的一条曲线,并且有并且有f(a)f(a)f(b)0,f(b)0,f(1.5)=2.8750,所以所以f(x)=x33x+5在区间在区间(1,1.5)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x)是是(,）上的减函数，所以在区间上的减函数，所以在区间(1,1.5)上有上有且只有一个零点。且只有一个零点。xy0132112543f(x)=x33x+5作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下：因为因为f(3)30,所以所以f(x)=2x ln(x2)3在区间在区间(3,4)上有零点。又因为

10、上有零点。又因为f(x)=2x ln(x2)3是是(2，）上的增函数，）上的增函数，所以在区间所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。上有且只有一个零点。xy01321125-3-24f(x)=2x ln(x2)3作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下：因为因为f(0)3.630,所以所以f(x)=ex1+4x4在区间在区间(0,1)上有零点。又因上有零点。又因为为f(x)=ex1+4x4是是(，）上的增函数，所以在）上的增函数，所以在区间区间(0,1)上有且只有一个零上有且只有一个零点。点。f(x)=ex1+4x4xy0132112123424作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下：x080155y24012043604020432 因为因为f(4)40,f(2)20,f(2)700,所以所以f(x)=3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间在区间(4,3)、(3，2,)、(2,3)上各有上各有一个零点。一个零点。f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x