定积分在几何和物理中的简单应用 .ppt

1、解解:两曲线的交点两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6)xAxx dx2xy xxy63 1A2A于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：说明：注意各积分区间上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式例例3 求由抛物线求由抛物线y2=8x(y0)与直线与直线x+y-6=0及及y=0所围成的图形的面积所围成的图形的面积.xyO6622602408(6)3Sxdxx dx求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:(1)画草图

2、画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下求曲线的交点定出积分上、下线线;(3)确定被积函数确定被积函数,但要保证求出的面积但要保证求出的面积是非负的是非负的;(4)写出定积分并计算写出定积分并计算.例例4 已知抛物线已知抛物线y=x2-2x及直线及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为围成的平面图形的面积为4/3,求求a的值的值.若若”面积为面积为4/3”,改为改为”面积不超过面积不超过4/3”呢呢?思路思路:根据根据a的取值的不同分类讨论的取值的不同分类讨论.当a0时,解得a=-1024(2)3axx dx222024(2)(2)3axxdxxx dx当a2时,无解当0a2时,解得

3、a=2204(2)3axxdx|()|()baSf x dx ab注意注意故a=-1或a=2-1,2 .dttvs,b,a0tvtvv.s,ba即上的定积分间在时间区等于其速度函数程所经过的路作变速直线运动的物体我们知道.min1.37.13行驶的路程行驶的路程这这求汽车在求汽车在所示所示如图如图线线时间曲时间曲度度速速一辆汽车的一辆汽车的例例o102030405060102030CBAs/ts/m/v37.1图图变变速速直直线线运运动动的的路路程程.1o102030405060102030CBAs/ts/m/v37.1图图:时间曲线可知由速度解.60t40,90t5.1;40t10,30;1

4、0t0,t3 tv:min1程是行驶的路因此汽车在这dt90t5.1dt30tdt3S60404010100.m1350t90t43t30t236040240101002.m1350min1行驶的路程是汽车在这答变力作功变力作功.2.FsWF),m:(sF,N:F所作的功为则力单位相同的方向移动了果物体沿着与力如的作用下做直线运动单位一物体在恒力?xF,babxaxxF,xF所作的功呢所作的功呢那么如何计算变力那么如何计算变力移动到移动到相同方向从相同方向从并且物体沿着与并且物体沿着与动动的作用下做直线运的作用下做直线运如果物体在变力如果物体在变力探究探究.dxxFW.,ba到可以得解决变力作

5、功问题四步曲可以用一样求变速直线运动的路程与求曲边梯形的面积和lQF47.1图图.,ml,47.14力所作的功力所作的功求弹求弹处处拉到离平衡位置拉到离平衡位置将一弹簧从平衡位置将一弹簧从平衡位置度内度内在弹性限在弹性限如图如图例例 .k,kxxF,xxF)(,是比例系数数其中常即成正比的长度或压缩弹簧拉伸与弹簧所需的力压缩或拉伸在弹性限度内解.Jkl21kx21kxdxW,2l02l0得由变力作功公式.Jkl212克服弹力所作的功为答思考hb 如图,一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线拱的高为常数h,宽为常数b.bhS32求证:抛物线拱的面积定积分的简单应用建立平面直角坐标系 确定抛物线方程求

6、由曲线围成的平面图形面积的解题步骤课本P60 习题B组2xhby0),2(hb证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为)0(2aaxy2)2(bah则有24bha 得224xbhy所以抛物线方程为于是，抛物线拱的面积为dxxbhhbsb)4(22222202032)34(22bxbhhbbh32代抛物线上一点入方程S2S定积分的简单应用的最大值。求、已知练习)(,)2()(11022afdxxaaxaf练习练习2 2 计算下列定积分计算下列定积分 dxxxxdxxx21222032)2)4()24()1_(1)xe1 12 20 02 22 21 12 22 2-1-12 21 1(1)(-3t+2)dt(1)(-3t+2)dt1 1(2)(x+)dx=_(2)(x+)dx=_x x(3)(3x+2x-1)dx=_(3)(3x+2x-1)dx=_(4)dx=_(4)dx=_123/69e2-e+1【练习练习3】