计算机图形学 CG06-3曲面 .ppt

1、本节讨论常用曲面的表示、性质及本节讨论常用曲面的表示、性质及其有关构造算法。其有关构造算法。常见的曲面有：常见的曲面有：平面、二次曲面、直纹面、双线性平面、二次曲面、直纹面、双线性曲面、曲面、Coons曲面、曲面、Bezier曲面、曲面、B样条曲面、样条曲面、NURBS曲面等曲面等曲面也有显式、隐式和参数式表示，曲面也有显式、隐式和参数式表示，从计算机图形学的角度看，参数曲从计算机图形学的角度看，参数曲面更便于计算机表示和构造。面更便于计算机表示和构造。一张矩形域上的参数曲面片一张矩形域上的参数曲面片 由曲线边界包围具有一定连续性的由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片，用双参数的单值函数表点

2、集面片，用双参数的单值函数表示为：示为：x=x(u,w)y=y(u,w)z=z(u,w)u,w0,1可记为可记为p(u,w)=x(u,w),y(u,w),z(u,w)参数曲面片常用几何元素有以下几种：参数曲面片常用几何元素有以下几种：角点角点 p(0,0),p(1,0),p(0,1)和 p(1,1),可简记为p00,p10,p01和 p11。边界线边界线 矩形域曲面片的四条边界线是p(u,0),p(u,1),p(0,w)和 p(1,w),可简记为pu0,pu1,p0w和 p1w曲面上的一点曲面上的一点 p(ui,wj),可简记为pijPij点的切矢点的切矢 Piju Pijw点的法矢点的法矢n

3、(ui,wj),简记为nij常用面片的参数表示：常用面片的参数表示：二维矩形平面二维矩形平面 球面球面简单回转体简单回转体双三次参数曲面双三次参数曲面代数形式代数形式 P=UAWT几何形式几何形式几何系数矩阵几何系数矩阵BP=F(u)BFT(w)=UMBMTWT切矢和扭矢切矢和扭矢参数方向变反参数方向变反 重新参数化的一般形式重新参数化的一般形式参数曲面片的分割参数曲面片的分割 给定一张参数曲面片，其几何系数矩阵B1，求其子曲面片的几何系数矩阵B2平面平面P(u,w)=p00+ur+ws u,w0,1二次曲面二次曲面Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Jz+k=0矩阵形

4、式：矩阵形式：XSXT=0直纹面直纹面 绕面上的任一点的面法矢旋转含该法矢的平面，如果该 平面至少在某一方向上有一条边和该面重叠。p1(u,w)=(1-u)p0w+up1w u,w0,1双线性曲面双线性曲面 P342 1964年年S.A.Coons提出一种提出一种采用参采用参数方法的数方法的曲面分片、拼合造型的曲面分片、拼合造型的思想，用四条边界构造曲面平面。思想，用四条边界构造曲面平面。线性线性Coons曲面曲面是通过四条边界曲线是通过四条边界曲线pu0,pu1,p0w,p1w来构造曲面。来构造曲面。p1(u,w)=(1-u)p0w+up1w u,w0,1p2(u,w)=(1-w)pu0+w

5、pu1 u,w0,1p3(u,w)=(1-w)(1-u)p00+up10+w(1-u)p01+up11P(u,w)=p1(u,w)+p2(u,w)-p3(u,w)u,w0,1 0,1wu,w-1w1-pppppPpp0u-1u1w)p(u,11101w01000wu1u0第二类第二类Coons曲面曲面 不仅插值于曲面的四条边界，而且插不仅插值于曲面的四条边界，而且插值于给定的斜率。值于给定的斜率。已知四条边界曲线pu0,pu1,p0w,p1w及导数矢量pu0w,pu1w,p0wu,p1wu，则p1(u,w)=F0(u)p0w+F1(u)p1w+G0(u)p1wu+G1(u)p1wup2(u,w

6、)=F0(w)pu0+F1(w)pu1+G0(w)pu0w+G1(w)pu1wp3(u,w)=0,1wu,w)(w)(w)(w)(1-pppppppppppppppppppPpppp0(u)(u)(u)(u)1w)p(u,1010uw11uw10u11u10u1wuw01uw00u01u00u0ww11w1011101ww01w0001000wwu1wu0u1u01010GGFFGGFF第二类第二类Coons曲面曲面 P(u,w)=p1(u,w)+p2(u,w)-p3(u,w)u,w0,1张量积曲面张量积曲面 在上述曲面构造中，若取边界及跨边界在上述曲面构造中，若取边界及跨边界的切矢都按同一调

7、和函数规律地变化，的切矢都按同一调和函数规律地变化，则可简化则可简化(略略 详见详见P345)Coons曲面片的拼接曲面片的拼接 两张两张Coons曲面曲面S1(u,w)和和S2(u,w)拼接，拼接，要求在公共边界处达到要求在公共边界处达到C0G1连续：连续：C0连续要求公共边重叠，即连续要求公共边重叠，即S1(1,w)=S2(0,w)G1连续要求连续要求S1(1,w)的的S2(0,w)切平面共切平面共面，且法矢的方向保持一致。充要条面，且法矢的方向保持一致。充要条件是：件是：0),1(),1(),0(112wSwSwSwuu6.3.5 Bezier曲面基于Bezier曲线的讨论，我们可以方便

8、地可以给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。1定义设Pij(i=0,1,n;j=0,1,m)为(m+1)(n+1)个空间点列，则 mn次Bezier曲面定义为：1,0,)()(),(00,vuvBuBPvuPminjnjmiij6.3.5 Bezier曲面其中 ，是Bernstein基函数。依次用线段连接点列Pij(i=0,1,n;j=0,1,m)中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。imiimmiuuCuB)1()(,jnjjnnivvCvB)1()(,Bezier曲面的矩阵表示式是：在一般实际应用中，m,n不大于4。)(

9、)()()(,),(),(),(,1,0101111000100,1,0vBvBvBPPPPPPPPPuBuBuBvuSmnmmnmnnmmnmnn性质除变差减小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier曲面：（1）Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即mnnmPPPPPPPP)1,1()1,0()0,1()0,0(000010P20P01P11P21P31P02P22P12P32P13P23P双三次Bezier曲面及边界信息 00)0,0(PP30)0,1(PP03)1,0(PP33)1,1(PP)0,(uP)1,(uP),0(vP),1(vP性质

10、（2）Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且 、和 （图打上斜线的三角形）,其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点有关；（3）几何不变性。（4）对称性。（5）凸包性。101000PPP1,01nnonPPPnmnmmnPPP,11,10,10mmmPPP1.双线性Bezier曲面当m=n=1时，1110010010101,1,)1()1()1)(1(1,0,)()(),(uvpPvuvPuPvuvuvBuBPvuSijjiij2.双二次Bezier曲面当m=n=2时，1,0,)()(),

11、(20202,2,vuvBuBPvuSijjiij其边界曲线及参数坐标曲线均为抛物线。3.双三次Bezier曲面当m=n=3时，其矩阵表示为S(u,w)=UMzBzMzTWT其中U=u3 u2 u 1,W=w3 w2 w 1,Mz同前Bezier曲线中，而 1,0,)()(),(30303,3,vuvBuBPvuSijjiij33323130232221201312111003020100PPPPPPPPPPPPPPPPBz两张两张Bezier曲面曲面S1(u,w)和和S2(u,w)分别由控分别由控制顶点制顶点Pij和和Qij定义。进行拼接定义。进行拼接C0连续要求公共边重叠，即连续要求公共边重叠，即S1(1,w)=S2(0,w)C1连续要求连续要求S1在在u=1和和S2在在u=0处的切矢处的切矢必须相同，即为两曲面在公共边界处的法必须相同，即为两曲面在公共边界处的法矢必须连续，表达式为矢必须连续，表达式为),1(),1()(),0(),0(1122wSwSwwSwSwuwu4.Bezier曲面片的拼接曲面片的拼接