直接证明 .ppt

1、直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.:.,证明与间接证明直接证明方法我们将学习两类基本的本节加以证明辑推理的方式须通过逻数学结论的正确性必科学的显著特点这正是数学区别于其他是需要证明的确性合情推理所得结论的正我们知道综合法和分析法综合法和分析法1.2.2.,用用的的思思维维方方式式也也是是解解决决数数学学问问题题时时常常法法两两种种方方是是直直接接证证明明中中最最基基本本的的综综合合法法和和分分析析法法综合法综合法1.abc4acbcba,0b,a:,2222求求证证已已知知例例如如结结论论通通过过推推理理推推导导出出所所要要的的义义、公公理理、定定理理等等出出发发某某些些数数学学定定

2、我我们们经经常常从从已已知知条条件件和和在在数数证证明明中中.abc2cba,0a,bc2cb2222所以因为证明 .abc2acb,0b,ac2ac2222 所以又.abc4acbcba2222因此.methodlsynthetica,这这种种证证明明方方法法叫叫做做要要证证明明的的结结论论成成立立最最后后推推导导出出所所经经过过一一系系列列的的推推理理论论证证定定理理等等学学定定义义、公公理理、利利用用已已知知条条件件和和某某些些数数一一般般地地综综合合法法.,果法果法又叫顺推证法或由因导又叫顺推证法或由因导综合法综合法:,Q,P表表示示为为则则综综合合法法可可用用框框图图表表示示所所要要

3、证证明明的的结结论论等等定定义义、公公理理、定定理理表表示示已已知知条条件件、已已有有的的用用1QP 21QQ 32QQ QQn .ABC,c,b,a,C,B,A,c,b,aC,B,A,ABC1为等边三角形为等边三角形求证求证成等比数列成等比数列成等差数列成等差数列且且对应的边分别为对应的边分别为三个内角三个内角中中在在例例;CAB2,C,B,A转化为符号语言就是转化为符号语言就是成等差数列成等差数列将将分析分析这是个隐含条这是个隐含条的内角的内角为为,ABCC,B,A;CBA,明确表示出来是明确表示出来是件件.acb,c,b,a2转化为符号语言就是转化为符号语言就是成等比数列成等比数列.,.

4、,为工具进行证明为工具进行证明可以用余弦定理可以用余弦定理于是于是余弦定理正好满足要求余弦定理正好满足要求状状进而判断三角形的形进而判断三角形的形系系步寻找角和边之间的关步寻找角和边之间的关那么就可以进一那么就可以进一来来如果能把角和边统一起如果能把角和边统一起此时此时.CAB2,C,B,A有成等差数列由证明.CBA,ABCC,B,A所以的内角为因为.3B,得由.acb,c,b,a2有成等比数列由.accaBcosac2cab,22222 可得由余弦定理及,0ca,acacca,222即得再由.CA.ca从而有因此.ABC.3CBA,是等边三角形所以得由.,.,出来出来表示表示把其中的隐含条件

5、明显把其中的隐含条件明显还要通过细致的分析还要通过细致的分析形语言等形语言等或把符号语言转换成图或把符号语言转换成图转换成符号语言转换成符号语言如把文字语言如把文字语言往往先作语言转换往往先作语言转换解决数学问题时解决数学问题时分析法分析法.2.PP,P;PP,P,PQ,Q,Q,3222111为为止止、公公理理等等已已知知条条件件、定定理理、定定义义的的条条件件直直到到找找到到一一个个明明显显成成立立充充分分条条件件成成立立的的再再去去寻寻求求成成立立为为了了证证明明充充分分条条件件成成立立的的再再去去寻寻求求成成立立为为了了证证明明充充分分条条件件成成立立的的即即使使成成立立的的条条件件寻寻

6、求求保保证证反反推推回回去去出出发发还还经经常常从从要要证证明明的的结结论论证证明明数数学学命命题题时时 .0b,0aab2ba,就用了上述方法就用了上述方法的证明的证明基本不等式基本不等式例如例如,ab2ba,ab2ba只需证要证,ab2ba0 0只需证.0ba只需证.,0ba因此原不等式成立显然成立由于).methodanalytical(.)(,这这种种证证方方法法叫叫做做为为止止公公理理等等、已已知知条条件件、定定理理、定定义义定定一一个个明明显显成成立立的的条条件件判判把把要要证证明明的的结结论论归归结结为为直直到到最最后后的的充充分分条条件件逐逐步步寻寻求求使使它它成成立立从从要要

7、证证明明的的结结论论出出发发一一般般地地分析法分析法.,因法因法又叫逆推证法或执果索又叫逆推证法或执果索分析法分析法:,Q为为则分析法可用框图表示则分析法可用框图表示表示要证明的结论表示要证明的结论用用1PQ 21PP 32PP 成立的条件成立的条件得到一个明显得到一个明显 例2 求证5273 .tan12tan1tan1tan1:,sincossin,sin2cossin,Zk2k,322222 求证求证且且已知已知例例 .1sin2sin42,1cossin2cossin,.,2222 得得由由于是于是系系发现其中蕴含数量关发现其中蕴含数量关点点观察已知条件的结论特观察已知条件的结论特已知

8、条件中消去已知条件中消去因此第一步工作可以从因此第一步工作可以从现角现角发现结论中没有出发现结论中没有出比较已知条件和结论比较已知条件和结论分析分析 .,)sin(cos21sincos,1sinsin4,sincos21sincos.,:,1sin2sin4222222222222到到目目的的就就能能达达弦弦中中的的角角的的余余弦弦转转化化为为正正发发现现只只要要把把比比较较再再与与把把结结论论转转化化为为弦弦函函数数余余把把正正切切函函数数化化为为正正即即名名称称数数函函一一统统论论于于是是尝尝试试转转化化结结但但函函数数名名称称不不同同角角相相同同发发现现与与结结论论相相比比较较把把 .

9、1sin2sin4,1cossin2cossin222 可得代入上式把所以因为证明 .tan12tan1tan1tan1,2222 要证另一方面.cossin12cossin1cossin1cossin122222222 即证 ,sincos21sincos2222 即证 ,sin2121sin2122 即证.1sin2sin422 即证.,于是问题得证相同由于上式与:,Q,P程程可可用用框框图图表表示示为为则则上上述述过过表表示示要要证证明明的的结结论论用用等等理理、公公理理表表示示已已知知条条件件定定义义、定定用用m1mn1nQQPP 1PP 21PP 1QQ 21QQ .,12.2SCA

10、FFSCEESBABCABABCSA求证垂足为垂线的作过垂足为的垂线作过平面所示如图补充题ABCSEF12.2图图.,.,件当前命题成立的充分条寻求使逐步反推可以从结论出发这时较困难因而用综合法比它们确定如何在证明中使用我们不容易垂直条件较多中本例所给的已知条件分析.,垂垂直直的的问问题题转转化化为为证证明明直直线线与与平平面面的的问问题题线线互互相相垂垂直直通通常常可可以以把把证证明明两两条条直直在在立立体体几几何何中中ABCSEF12.2图图.EFSC,AESC,AEFSC;BCAF,SBAF,SBCAF.AEFSCSBCAF,成立成立需要证需要证面面平平要证要证成立成立要证要证需需平面平

11、面证证要要平面平面证证或或平面平面证证可以考虑可以考虑在本例中在本例中 .AEFSC,AEFSC)SCEF(F,SCE这个方向努力这个方向努力平面平面可以朝证明可以朝证明因此因此一个一个所需要的两个条件中的所需要的两个条件中的平面平面已经满足了已经满足了为符号语言就是为符号语言就是转化转化垂足为垂足为的垂线的垂线作作过过而已知条件而已知条件 ABCSEF12.2图图,AEFSCSCAF平面只需证要证证明 ,SBCAE平面只需证,SABBC平面只需证.SCAF,.,ABCSA 所以上式成立可知平面由),(SCAE因为只需证),(BCAE因为只需证),(SABC因为只需证.,.,新认识新认识你对这两种证明方法的你对这两种证明方法的说说说说回顾以往的数学学习回顾以往的数学学习它们各自的特点它们各自的特点说出说出行比较行比较请对综合法与分析法进请对综合法与分析法进思考思考.,QP.P,;Q,:,下下面面来来看看一一个个例例子子成成立立就就可可以以证证明明结结论论成成立立可可以以推推出出若若由由得得到到中中间间结结论论的的结结构构特特点点去去转转化化条条件件根根据据结结论论得得到到中中间间结结论论点点去去转转化化结结论论根根据据条条件件结结构构特特和和分分析析法法结结合合起起来来使使用用我我们们经经常常把把综综合合法法在在解解决决问问题题时时事事实实上上