直接证明与间接证明1.ppt

1、内容内容要要 求求分析法和综合法分析法和综合法A反证法反证法A1.直接证明直接证明(1)综合法综合法 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的，最后推导出所要证明的 结论结论 ，这种证明方法叫做综合法，这种证明方法叫做综合法.框图表示框图表示 (其中其中P表示条件，表示条件，Q 表示要证结论表示要证结论).推理论证推理论证成立成立(2)分析法分析法 定义：从定义：从 出发，逐步寻求使它成立的出发，逐步寻求使它成立的 直直 至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的至最后，把要证明的结论归结为判定一

2、个明显成立的 条件条件(已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明为止，这种证明 方法叫做分析法方法叫做分析法.框图表示：框图表示：结论结论充分条件充分条件2.间接证明间接证明 反证法：假设原命题反证法：假设原命题 ，经过正确的推理，最，经过正确的推理，最 后得出后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法题成立，这样的证明方法叫做反证法.不成立不成立矛盾矛盾提示：提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件充分条件，

3、仅是充分条件，而不需要充要条件.综合法综合法是由因导果是由因导果.因此分析法的证明过程，恰好是综合法的因此分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考的逆过程分析、思考的逆过程.思考探究思考探究综合法和分析法有什么区别和联系？综合法和分析法有什么区别和联系？1.设设alg2lg5，bex(x0)，则，则a与与b大小关系为大小关系为 .解析：解析：alg2lg51，x0，bexb.答案：答案：ab2.用反证法证明命题：用反证法证明命题：“a，bN，ab可被可被5整除，那么整除，那么a、b中至少有一个能被中至少有一个能被5整除整除”时，假设的内容应为时，假设的内容应为 .解析：解析：用反证法证明命题

4、应先否定结论用反证法证明命题应先否定结论.答案：答案：a、b都不能被都不能被5除除3.设设a，bR，已知，已知p：ab；q：()2 ，则，则p是是 q成立的成立的 条件条件解析：解析：p：ab是是q：()2 等号成立的充分条件等号成立的充分条件.由由q成立成立 ab.答案：答案：充分不必要条件充分不必要条件4.已知已知a，b是不相等的正数，是不相等的正数，x ，y ，则则x，y的大小关系是的大小关系是.解析：解析：y2()2ab x2.xy.答案：答案：x0，求证：，求证：a 2.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记要证要证 a 2，只要证，只要证 2a .a0，故只要证，故只要证 ，即即a2 4

5、 4a22 2 (a )2，从而只要证从而只要证2 (a )，只要证只要证4(a2 )2(a22 )，即即a2 2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.1.适宜用反证法证明的数学命题有：适宜用反证法证明的数学命题有：(1)结论本身以否定形式出现的一类命题；结论本身以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；关于唯一性、存在性的命题；(3)结论以结论以“至多至多”、“至少至少”等形式出现的命题；等形式出现的命题；(4)结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题；结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题；(5)要证的结论与条件之间的联系不

6、明显，直接由条件推要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推 出结论的线索不够清晰出结论的线索不够清晰.2.用反证法证明问题的一般步骤为：用反证法证明问题的一般步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否否 定命题定命题)成立；成立；(否定结论否定结论)(2)归谬：将归谬：将“反设反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理与已知条件、已知的公理、定义、定理 及明显的事实矛盾或自相矛盾；及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾推导矛盾)(3)结论：因为

7、推理正确，所以产生矛盾的原因在于结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设反设”的谬误的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.(结论成立结论成立)特别警示特别警示用反证法证明问题时要注意以下二点：用反证法证明问题时要注意以下二点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面反证法必须从否定

8、结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.已知已知a0，b0，且，且ab2，求证：，求证：中至少有一个小于中至少有一个小于2.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记假设假设 都不小于都不小于2，则则 2，2，a0，b0，1b2a,1a2b，11ab2(ab)，即，即2ab.这与已知这与已知ab2矛盾，故假设不成立矛盾，故假设不成立.即即 中至少有一个小于中至少有一个小于2.以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程等以不等

9、式、立体几何、解析几何、函数与方程等为载体，考查综合法、分析法、反证法的应用是高考为载体，考查综合法、分析法、反证法的应用是高考对本节内容的常规考法对本节内容的常规考法.2009年辽宁高考以立体几何年辽宁高考以立体几何为载体，以解答题的形式考查了反证法的应用，是一为载体，以解答题的形式考查了反证法的应用，是一个新的考查方向个新的考查方向.考题印证考题印证 (2009辽宁高考辽宁高考)(14分分)如图，如图，已知两个正方形已知两个正方形ABCD和和DCEF不不在同一平面内，在同一平面内，M，N分别为分别为AB，DF的中点的中点.(1)若若CD2，平面，平面ABCD平面平面DCEF，求求MN的长；

10、的长；(2)用反证法证明：直线用反证法证明：直线ME与与BN是两条是两条异面直线异面直线.【解解】(1)取取CD的中点的中点G，连结，连结MG，NG.因为因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为为正方形，且边长为2，所以所以MGCD，MG2，NG .(4分分)因为平面因为平面ABCD平面平面DCEF，所以所以MG平面平面DCEF.可得可得MGNG.所以所以MN .(6分分)(2)证明：假设直线证明：假设直线ME与与BN共面，共面，则则AB平面平面MBEN，且平面，且平面MBEN与平面与平面DCEF交于交于EN.(8分分)由已知，两正方形不共面，故由已知，两正方形不共面，故AB 平面平面DCEF

11、.(9分分)又又ABCD，所以，所以AB平面平面DCEF.而而EN为平面为平面MBEN与平面与平面DCEF的交线，所以的交线，所以ABEN.(11分分)又又ABCDEF，所以，所以ENEF，这与，这与ENEFE矛盾，故假矛盾，故假设不成立设不成立.(13分分)所以所以ME与与BN不共面，它们是异面直线不共面，它们是异面直线.(14分分)自主体验自主体验 已知数列已知数列an和和bn满足：满足：a1，an1 ann4，bn(1)n(an3n21)，其中，其中为实数，为实数，n为正整数为正整数.(1)证明：对任意实数证明：对任意实数，数列，数列an不是等比数列；不是等比数列；(2)证明：当证明：当

12、18时，数列时，数列bn是等比数列；是等比数列；(3)设设Sn为数列为数列bn的前的前n项和项和.是否存在实数是否存在实数，使得对，使得对任意正整数任意正整数n，都是，都是Sn12？若存在，求？若存在，求的取值范围；的取值范围；若不存在，说明理由若不存在，说明理由.解：解：(1)证明：假设存在一个实数证明：假设存在一个实数，使，使an是等比数列，则有是等比数列，则有 a1a3，即，即(3)2(4)249 2490，矛盾，矛盾，an不是等比数列不是等比数列.(2)证明：证明：bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(an2n14)(1)n(an3n21)bn.又又18b1(18)0.由上式

13、知由上式知bn0，(nN*).故当故当18时，数列时，数列bn是以是以(18)为首项，为首项，为公比的等比数列为公比的等比数列.(3)当当18时，由时，由(2)得得bn(18)()n1，于是，于是Sn (18)1()n.当当18时，时，bn0，从而，从而Sn0，Sn12恒成立恒成立.当当18时，要使对任意正整数时，要使对任意正整数n，都有，都有Sn12，即即 (18)1()n12 18.令令f(n)1()n，则，则当当n为正奇数时，为正奇数时，1f(n)；当当n为正偶数时，为正偶数时，f(n)1.f(n)的最大值为的最大值为f(1).于是可得于是可得12，的取值范围为的取值范围为(，6).1.

14、a，b，c为互不相等的正数，且为互不相等的正数，且a2c22bc，2a=b+c则则 a、b、c的大小关的大小关 系是系是 .解析：解析：由由a2c22ac2bc2acba，又，又2abc，baac0.ac.得得bac.答案：答案：bac2.用反证法证明用反证法证明“如果如果ab，那么，那么 ”假设内容应是假设内容应是 .解析：解析：的否定形式为的否定形式为 .答案：答案：=或或3.要使要使 成立，则成立，则a，b应满足的条件应满足的条件 是是 .解析：解析：要使要使 成立，成立，只要只要 成立，成立，即即ab3 3 ab成立，成立，只要只要 成立，成立，只要只要ab2a2b成立，成立，即要即要

15、ab(ba)0成立，成立，只要只要ab0且且ab或或ab0且且ab成立成立.答案：答案：ab0且且ab或或ab0且且ab4.设设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在是空间的不同直线或不同平面，且直线不在 平面内，下列条件中能保证平面内，下列条件中能保证“若若xz，且，且yz，则，则xy”为真命题的是为真命题的是(填所有正确条件的代号填所有正确条件的代号).x为直线，为直线，y，z为平面；为平面；x，y，z为平面；为平面；x，y为为 直线，直线，z为平面；为平面；x，y为平面，为平面，z为直线；为直线；x，y，z 为直线为直线.解析：解析：由空间位置关系的判定及性质可知正确由空间位置

16、关系的判定及性质可知正确.答案：答案：5.方程方程f(x)x的根称为的根称为f(x)的不动点，若函数的不动点，若函数f(x)有唯一有唯一 不动点，且不动点，且x11000，xn1 (nN*)，则则x2010 .解析：解析：由由 x得得ax2(2a1)x0.因为因为f(x)有唯一有唯一不动点，不动点，所以所以2a10，即，即a .所以所以f(x)，所以，所以xn1 xn .所以所以x2010 x1 20091000 .答案：答案：6.若若a、b、c是不全相等的正数，是不全相等的正数，求证：求证：lg lg lg lgalgblgc.证明：证明：要证要证lg lg lg lgalgblgc成立，成立，即证即证lg()lg(abc)成立，成立，只需证只需证 abc成立，成立，abc0(*)成立成立.又又a、b、c是不全相等的正数，是不全相等的正数，(*)式等号不成立，式等号不成立，原不等式成立原不等式成立.