随机振动课件-1.ppt

1、2011年3月 Random Vibration1随机振动(Random Vibration)2011年3月 Random Vibration21随机变量及其统计分析2011年3月 Random Vibration3定义：l取值具有不确定性（例：投骰子）l取值有范围限制（例：骰子1,2,3,4,5,6）l取值具有一定统计规律l离散型、连续型（例：离散-投骰子，连续-测一批灯泡寿命）数学描述：1.1随机变量(Random Variable),Pr:(),()xRobXxX（样本空间）（随机变量）2011年3月 Random Vibration4定义：一随机变量的取值不超过某一给定值的概率（可能

2、性）。例：某草坪上的草低于1米的概率数学描述：设连续型随机变量X()(可理解为随机变量所有可能取值的集合)，概率分布函数用 P(x)表示，则1.2概率分布函数和概率密度函数()0,()1PP ()Pr()Pr(),P xob Xxob Xxx 1221Pr()()()ob xXxP xP x2011年3月 Random Vibration5典型概率分布函数图MATLAB代码x=-10:0.2:10;y=normcdf(x,0,1);y1(1:length(x)=1;plot(x,y,x,y1)2011年3月 Random Vibration6涵义：描述概率的分布密度特性。例：某草坪上的草高度在

3、510厘米范围内的概率较大，在其他范围的概率较小。数学表达：设概率密度函数用p(x)表示,则概率密度函数()()dP xp xdx()()xP xp u du()()1Pp u du 2011年3月 Random Vibration7典型概率密度函数图MATLAB代码x=-10:0.2:10;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y)2011年3月 Random Vibration81.3几种典型分布之一：均匀分布1,()0,xa bp xbaxa b2011年3月 Random Vibration91.3几种典型分布之二：正态（高斯）分布22()21()2xp xex=-10:0.

4、2:10;y1=normpdf(x,0,1);y2=normpdf(x,1,1);y3=normpdf(x,0,3);plot(x,y1,x,y2,x,y3)2011年3月 Random Vibration101.3几种典型分布之三：瑞利分布2222(),0 xxp xexx=0:0.1:10;y1=raylpdf(x,1);y2=raylpdf(x,2);y3=raylpdf(x,3);plot(x,y1,x,y2,x,y3)2011年3月 Random Vibration111.3几种典型分布之四：泊松分布2222(),0 xxp xexx=0:0.1:10;y1=raylpdf(x,1)

5、;y2=raylpdf(x,2);y3=raylpdf(x,3);plot(x,y1,x,y2,x,y3)2011年3月 Random Vibration12仅针对两随机变量（二维），其他可类推。二维联合概率分布函数定义：1.4多维随机变量121211221212(,)Pr;(,)xxP x xob Xx Xxp u u du du 12(,)p x x二维联合概率密度函数2011年3月 Random Vibration131.5随机变量统计特征之一：均值（Mean Value)又称为:数学期望(Mathematical Expectation),一阶原点矩()()E Xxp x dxn阶原点

6、矩:(n-th Moment)()nnE Xx p x dxn阶中心矩:(n-th Central Moment)()()()nnEXxp x dx2011年3月 Random Vibration141.5随机变量统计特征之二：均方值（Mean Square Value)又称为:二阶原点矩22()()E Xx p x dx均方根值(Root Mean SquareRMS)，又称有效值：22RMS()()E Xx p x dx2011年3月 Random Vibration151.5随机变量统计特征之三：方差（Variance)又称二阶中心矩222()()()EXxp x dx标准差(Stand

7、ard Deviation)22()()()EXxp x dx2011年3月 Random Vibration161.5随机变量统计特征之四：协方差（Covariance)()()()()(,)XYxyxyCEXYxyp x y dxdy 相关系数(Correlation Coefficient)XYXYXYC 11XY 反映随机变量X,Y的线性相关程度2011年3月 Random Vibration171.6例1 正弦波统计特征在一个周期内处于aa+dx的概率为：2Pr()()dtob axadxp x dxTsin()xAt2211()()cos()dtp xxAdxAtAxsin()xA

8、t2011年3月 Random Vibration181.6例1 正弦波统计特征（续）正弦波均值：0()0Txp x dx正弦波均方值（等于方差）：2220()2TAx p x dx正弦波均方根值（等于标准差）：0.7072AA2011年3月 Random Vibration191.6例2 均匀分布统计特征1,()0,xa bp xbaxa b()2baabxp x dx均值：222203()()()()12Txp x dxE xba方差：2011年3月 Random Vibration202 随机振动统计分析2011年3月 Random Vibration212.1 随机场与随机过程随机变量

9、的自变量是空间随机场随机变量的自变量是时间随机过程随机振动是一种随机过程在给定的时间点上振动的值不能事先确定，而是随机出现，是一随机变量。确定性振动（周期振动、瞬态振动）振动分类不确定性振动随机振动（）2011年3月 Random Vibration222.2 随机振动的样本 给定时刻点处值形成随机变量111121X(,t)=X(t)=X(t),X(t),.2011年3月 Random Vibration232.3 随机振动的概率描述一维情形2222()()()XXXXtEX tt方差函数222()()(,)XtE Xtx p x t均方值函数()()(,)XtE X txp x t dx均值

10、函数(,)(,)xP x tp u t du(,)(,)dP x tp x tdx概率密度函数概率分布函数(,)Pr()P x tob X tx2011年3月 Random Vibration242(,)()XXXCt tt1211221212(,)()()()()(,)()()XXXXXXXXCt tEX ttX ttRt ttt自协方差函数2(,)()XXXRt tt121212112212(,)()()(,;,)XXRt tE X t X tx x p x t x t dx dx 自相关函数12112211221122112212(,;,)Pr(),()(,;,)(,)(,)xxP x

11、t x tob X tx X txP x t x tp u t p u t du du 二维情形概率分布函数2.3 随机振动的概率描述（续）2011年3月 Random Vibration25互协方差函数121212112212(,)()()(,;,)XYRt tE X t Y tx y p x t y t dx dy 互相关函数1211221212(,)()()()()(,)()()XYXYXYXYCt tEX ttY ttRt ttt规范化互协方差函数121212(,)(,)()()XYXYXYCt tt ttt2.3 随机振动的概率描述（续）2011年3月 Random Vibratio

12、n262.4 平稳随机振动n阶平稳（n任意时为强平稳）：11221122(,;,.,)(,;,.,),nnnnp x t x tx tp x ta x tax taaR二阶平稳（弱平稳，工程中常称为平稳）：122112211221(),()(,)()()(,)()()(,)()()XXXXXXXXXXXXXXXXXYXYXYttRt tRttRCt tCttCCt tCttC理论上：平稳随机振动样本时间无限长！2011年3月 Random Vibration272.5 各态历经（遍历）过程对各统计特征：集合中所有样本的平均等于任意单一样本Xi的时间平均。（所有样本的时空平均等于单一样本的时间平

13、均）令时间平均为：001()lim()1()()lim()()TiTTiiTX tX t dtTX t X tX t X tdtT()()()()()()()XXXX tE X tX t X tE X t X tR2011年3月 Random Vibration282.6 各态历经（遍历）过程检验条件2201lim(1)()02TXXXTRdTT注意：工程实际中处理随机振动时，常使用各态历经假设，此时仅有一个样本记录，且常以x（t）或y（t）等小写字母表示。此时：XXxxXxRR可用表示可用表示等等2011年3月 Random Vibration292.7 Gauss随机过程若一随机过程的任意

14、维分布都是正态分布，则该随机过程为Gauss随机过程。Gauss随机过程的一维分布例如，Gauss随机过程任一给定时刻的样值是一个一维Gauss随机变量。其概率密度函数为：22()21()2xp xe2011年3月 Random Vibration302.8 平稳随机过程相关函数与谱的特性注意，平稳随机过程的样本函数在无限长时间内其统计特性都保持不变（不随时间衰减），因此它不满足绝对可积条件：()iX t dt 因此，无法对其样本函数进行傅里叶变换研究其频谱特性。但前人发现，研究样本函数的相关函数频谱特性是可行的。2011年3月 Random Vibration312.9 自相关函数（自协方差

15、函数）的特性注意，以下讨论线性系统的平稳随机响应过程，假设系统的激励和响应均为零均值，此时自协方差函数与自相关函数相同，即：()()()()XXXXCRE X t X t自相关函数部分性质：（1）偶函数由平稳性可知：()()()()()()XXXXRE X t X tE X tX tR2011年3月 Random Vibration32（2）极大值（完全自相关）2()(0)()XXXXRRE Xt（3）零值（完全不相关）lim()0XXR结论：一般而言，自相关函数满足傅里叶变换条件。(0)0XXR相关时间：0()/(0)CXXXXRdR（4）同一时刻一平稳随机过程与其导数不相关2.9 自相关函

16、数（自协方差函数）的特性（续）2011年3月 Random Vibration332.10 功率谱密度自功率谱密度函数：自相关函数的傅里叶变换。()()jXXXXSRed由傅里叶逆变换可得：1()()2jXXXXRSed以下讨论将主要针对各态历经过程：XXxxXXxxRRSS用表示用表示等等2011年3月 Random Vibration34利用欧拉公式，上两式可化为：0()()2()cosjxxxxxxSRedRd 01()()cosxxxxRSd(cossin)j tetjt2.10 功率谱密度（续）2011年3月 Random Vibration35信号x（t）的全部能量为：2()Ex

17、t dt平均功率为：平均功率为：21lim()(0)2TrxxTxPx t dtRT2.10 功率谱密度（续）2011年3月 Random Vibration362.11 功率谱密度：Parseval 定理利用功率谱密度函数的定义可得：2*2()1()()21()()21()()21()2j tj tEx t dtx tXeddtXx t edtdXXdXd2011年3月 Random Vibration372.12 功率谱密度：例题，验证Parseval 定理信号：(),0tx tet211()2Ex t dt信号时域总能量：信号傅里叶变换：1()Xj信号频域总能量：22221111()22

18、arctan1122EXddE2011年3月 Random Vibration38平均功率：221lim()211lim()()2211lim()22TrTTTj tTTTPx t dtTx tXed dtTXdT21lim()2TXT为x(t)功率谱密度2.12 功率谱密度：例题，验证Parseval 定理（续）2011年3月 Random Vibration39()2()()1lim()()21lim()()21lim()()21lim()2jxxxxTjTTTjtj tTTTj tTTTSRedx t x tdtedTx tedx t edtTx t edtXTXT2.12 功率谱密度：

19、证明2011年3月 Random Vibration40211lim()221()(0)2rTrxxxxPXdTPSdR自谱密度函数性质：l偶函数l非负性()()()0 xxxxxxSSS2.12 功率谱密度：证明（续）2011年3月 Random Vibration412.13 功率谱密度：单边谱与双边谱工程中无负频率，常用单边谱，且频率单位用Hz,此时有：001(0)()21()22()rxxxxxxxxPRSdWf dfWf df其中：()2()xxxxWS在对应的频率处，单边谱值是双边的两倍。2011年3月 Random Vibration42221()lim()21()lim()xx

20、TxxTSXTWfX fT0()()2()cosjxxxxxxSRedRd 又20()2()4()cos2jfxxxxxxWfRedRf d 2.13 功率谱密度：单边谱与双边谱（续）2011年3月 Random Vibration432.14 功率谱密度:白噪声00(),()xxxxWfWSS或自谱密度函数为常数。白噪声的相关函数：0001()()21124()2jxxxxjjRSedS edW edW 2011年3月 Random Vibration442.15 白噪声例题计算有限带宽白噪声的相关函数。相关函数为：2120020211()()211coscos22sin2sin22jxxx

21、xffRSedSdWdWff 01212,()0,WfffW fffff2011年3月 Random Vibration4502100021lim()limsin2sin22()xxWRffWff 0210(0)()xxRWffWf2.15 白噪声例题（续）-带通滤波法的基础2011年3月 Random Vibration46窄带白噪声的相关函数相关函数为：02101101()sin2sin22sin2()sin22cos(2)xxWRffWfffWff 0122112,()()0,WffffffW fffff 2()()()()1!2!fxfxf xxf xxx 2.15 白噪声例题（续）2

22、011年3月 Random Vibration472.16 功率谱密度:导数关系002222220()()()()()()()()(1)()()()()xxxxxxxxnnnnxxxxnnjtjtxxxxx tRSdx td RSdtdd x tdRSdtdx t eReS2011年3月 Random Vibration482.17 功率谱密度:测量方法带通滤波法（多用于宽带噪声）kkkxWfkf第k个频带内信号的均方值kx第k个频带宽度kW第k个频带内信号的平均自谱密度2011年3月 Random Vibration492.17 功率谱密度:测量方法：噪声频带倍频程频带：,luff中心频率o

23、luff f12ulff1/3倍频程132ulff宽频噪声总频带范围：20Hz20kHz，中心频率为：2011年3月 Random Vibration502.17 功率谱密度:测量方法：滤波法框图2011年3月 Random Vibration512.18 功率谱密度:测量方法：离散傅里叶变换法120,0,1,2,.,1mNjnNmnnXx emNnx-信号在时域的第n个时刻采样值N-信号在时域采样总点数mX-信号在频域第m个频率点处的傅里叶谱（复数 值，包含幅值和相位）T-信号采样总时间长度（s）t-相邻两个信号采样点间时间间隔,()nTN txx n tDFT正变换：2011年3月 Ran

24、dom Vibration522.18 功率谱密度:测量方法：离散傅里叶变换法（续）1fT-信号在频域的分辨率，即相邻两根谱线间的频率间隔（Hz）sf-信号在时域的采样速率（每秒采集fs个点），单位：Hz，采样定理要求：fs2fmax，fmax是信号中所含的最高频率。max111 12sfN fNfTtt 1mfm fmT 自谱密度：21lim()xxTWX fT2011年3月 Random Vibration53例题，求下列信号的傅里叶谱：()sin(210)sin(220)sin(225)x tttt012345678910-505time(s)amplitude(Unit of A)05

25、10152025303540455000.51frequency(Hz)amplitude(Unit of A)05101520253035404550-2000200frequency(Hz)phase(deg)dt=0.01;T=10-dt;df=1/T;t=0:dt:T;x1=sin(2*pi*10*t);x2=sin(2*pi*20*t);x3=sin(2*pi*25*t);x=x1+x2+x3;y=fft(x)/(T/dt+1);subplot(3,1,1)plot(t,x)xlabel(time(s)ylabel(amplitude(Unit of A)subplot(3,1,2)

26、plot(1:500)*df,abs(y(1:500)xlabel(frequency(Hz)ylabel(amplitude(Unit of A)subplot(3,1,3)plot(1:500)*df,angle(y(1:500)/2/pi*360)xlabel(frequency(Hz)ylabel(phase(deg)2.18 功率谱密度:测量方法：离散傅里叶变换法（续）2011年3月 Random Vibration542.19 功率谱密度:测量方法：离散傅里叶逆变换离散傅里叶逆变换：1201,0,1,.,1mNjnNnmmxX enNNParseval定理：时域平均功率等于频域功率

27、112200()/NNnmnmxtTXdt=0.001;T=10-dt;df=1/T;t=0:dt:T;x1=sin(2*pi*10*t);x2=sin(2*pi*20*t);x3=sin(2*pi*25*t);x=x1+x2+x3;tx2=x.2*dt;y=fft(x)/(T/dt+1);sx2=sum(tx2)/Ty2=(abs(y).2;sy2=sum(y2)sx2-sy22011年3月 Random Vibration552.19 功率谱密度:测量方法：离散傅里叶逆变换（续)注意：MATLAB做信号FFT时，正变换要除以采样点数。否则谱线高度会随采样点数线性上升。例如对同一时间长度的正

28、弦波，若采样点数增加一倍，则谱线高度也增加一倍。因此，正变换除以采样点数后所得的傅里叶谱代表的是平均功率，它不随采样的总时间长度变化。（采样的总时间长度加长后信号在时域内的总功率增加。例如两个周期的正弦波的总功率是一个周期正弦波总功率的2倍。，注意信号总功率与平均功率的差别。FFT给出的是平均功率结果。2011年3月 Random Vibration562.20 功率谱密度:测量方法：自相关函数离散序列自相关函数：01(),0,1,.,N rxxii rmRrx xrmNr其中，(),()ii rxx i txx irt一般要求：10Nm 2011年3月 Random Vibration572

29、.21 功率谱密度:测量方法：Welsh 法21lim()xxTWX fT在自谱密度估计中：要求T无限长，这在实际中不可行。常采用Welsh的分段重叠法进行谱估计。2011年3月 Random Vibration582.21 功率谱密度:测量方法：Welsh 法（续）211()()(),0,1,.,12nLjLkkjLA nxj W j enL先对各分段加窗计算其谱：再进行平均处理：211()()KxxnkkLWfA nUK其中，211()12()112LjUWjLLjW jL 2011年3月 Random Vibration592.22 功率谱密度:随机振动的数字模拟给定PSD后，一个平稳随机振动可如下形成：12()cos(2)Nkkkf tf tN0()W f dfmin1(),1,2,.,2kffkfkNmax110tf 其中k为0,2均匀分布随机相位2011年3月 Random Vibration602.23 功率谱密度:随机振动的数字模拟:认识PSD一个典型的加速度PSD谱图：（1）双对数坐标（2）分贝定义：0dB10lgWW（3）Oct 倍频程（4）总均方根值（有效值）：200010()11.1(g)rmsGW f df