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1、第二节 基本初等函数I第一部分 六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010全国卷2理）（2）.函数的反函数是（A） （B）（C） （D）答案 D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。【解析】由原函数解得，即，又；在反函数中，故选D.2.（2010陕西文）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f（xy）f（x）f（y）”的是（A）幂函数（B）对数函数（C）指数函数（D）余弦函数答案 C【解析】本题考查幂的运算性质 3.（2010辽宁文）（10）设，且，则（A） （B）10 （C）20 （D）100答案 A【解析】选A.又4.（20

2、10全国卷2文）（4）函数y=1+ln(x-1)(x1)的反函数是（A）y=-1(x0) (B) y=+1(x0) (C) y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)答案 D【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，函数Y=1+LN（X-1）(X1)， 5.（2010安徽文）（7）设，则a，b，c的大小关系是（A）acb （B）abc （C）cab （D）bca答案 A【解析】在时是增函数，所以，在时是减函数，所以。【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.6.（2010安徽文）（6）设,二次函数的图像可能是答案 D【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选

3、项（D）符合【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.7.（2010浙江文）2.已知函数 若 =(A)0(B)1(C)2(D)3答案 B【解析】+1=2，故=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题8.（2010山东文）(3)函数的值域为A. B. C. D. 答案 A9.（2010北京文）(6)给定函数，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A） （B） （C） （D）答案 B10.（2010北京文）若a,b是非零向量，且，则函数是 （A）一次函数且是奇函数 （

4、B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数答案 A11.（2010四川理）（3）2log510log50.25（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4解析：2log510log50.25log5100log50.25log5252答案 C12.（2010天津文）(6)设(A)acb (B) )bca (C) )abc (D) )bac答案 D【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。因为【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。13.（2010全国卷1文）(7)已知函数.若且，则的

5、取值范围是(A) (B)(C) (D) 答案 C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=又0ab,所以0a1f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+).【解析2】由0ab,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题，过点时z最小为2,(C) 14.（2010四川文）(2)函数y=log2x的图象大致是(A) (B) (C) (D)

6、答案 C解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.15.（2010安徽理）6、设，二次函数的图象可能是答案 D【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合.【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.二、填空题1.（2010上海文）9.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 。答案 (0,-2)解析：考查反函数相关概念、性质法一：函数的反函数为，另x=0，有y=-2法二：函数图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数的反函数的图像与轴的交点为（0，-2）三、解答题1.（2

7、010四川理）（22）（本小题满分14分）设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）设关于的方程求在区间2，6上有实数解，求t的取值范围；（）当ae（e为自然对数的底数）时，证明：；（）当0a时，试比较与4的大小，并说明理由.本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，得ax0故g(x)，x(,1)(1,)由得t(x-1)2(7-x)，x2,6则t=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)列表如下：x2(2,5)5(5,6)6t+0-t5极大值3225所以t最小值5，t最大值32所

8、以t的取值范围为5,325分(2) ln() ln令u(z)lnz22lnzz，z0则u(z)(1)20所以u(z)在(0,)上是增函数又因为10，所以u()u(1)0即ln0即9分(3)设a，则p1，1f(1)3当n1时，|f(1)1|24当n2时设k2,kN *时，则f(k) 1所以1f(k)1从而n1n-1+n+1-n1所以nf(1)n1n4综上所述，总有|n|42.（2010四川文）（22）（本小题满分14分）设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）求；（）当时，恒有成立，求t的取值范围；（）当0a时，试比较f(1)+f(2)+f(n)与的大小，并说明理由.3.（2010湖北理）17

9、（本小题满分12分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（）求k的值及f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。2009年高考题1.(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则 ( )A B C D2 答案 A解析 函数的反函数是,又,即,所以,故,选A.2.（20

10、09北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点 （ ） A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 C.w解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.3.（2009天津卷文）设，则( )A abc B acb C bca D bac答案 B 解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到，而，因此选B。【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能4.（2009四川卷文）函数的反函数

11、是 A. B. C. D. 答案 C解析 由，又因原函数的值域是，其反函数是5.（2009全国卷理）设，则 A. B. C. D. 答案 A解析 .6.（2009湖南卷文）的值为A B C D 答案 D解析 由,易知D正确. 7.（2009湖南卷文）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数 取函数。当=时，函数的单调递增区间为( )A B C D 答案 C解析 函数，作图易知，故在上是单调递增的，选C. 8.（2009福建卷理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当的是A= B. = C .= D.答案 A解析 依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。9. （2009辽宁卷文）已

12、知函数满足：x4,则；当x4时，则A. B. C. D.答案 A解析 32log234,所以f(2log23)f(3log23)且3log234f(3log23)10.（2009四川卷文）函数的反函数是 A. B. C. D.答案 C解析 由，又因原函数的值域是，其反函数是11.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为A. B. C. D.1答案 B解析 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.12.（2009全国卷文）已知函数的反函数为，则（A）0 （B）1 （C）2 （D）4答案 C解析 由题令得，

13、即，又，所以，故选择C。13.(2009湖南卷理)若a0，1，则 ( )Aa1,b0 Ba1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b0答案 D解析 由得由得，所以选D项。14.（2009四川卷理）已知函数连续，则常数的值是( ). . . . 【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。答案 B解析 由题得，故选择B。解析2：本题考查分段函数的连续性由，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知，可得故选B15.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是A. B. C. D. 答案 A解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0,

14、的零点为x=.现在我们来估算的零点，因 为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。二、填空题16.（2009江苏卷）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= . 解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。由得，；由知，所以4。17.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .答案 解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图

15、象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.18.（2009重庆卷文）记的反函数为，则方程的解 答案 2解法1 由，得，即，于是由，解得解法2因为，所以20052008年高考题一、选择题1.（2008年山东文科卷）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）OyxABCD答案 A 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。由图易得取特殊点 .2. (07山东)设，则使函数的定义域为R且为奇

16、函数的所有的值为（ ）A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 答案 A 3.（2006年安徽卷）函数的反函数是（ ）A B C D答案 D解析 由得：x+1=lny，即x=-1+lny,所以为所求，故选D。4.（2006年湖北卷）设，则的定义域为( )A B C D答案 B解析 f（x）的定义域是（2，2），故应有22且22解得4x1或1x4故选B。5.(07天津)设均为正数，且，.则（ ）A. B. C. D. 答案 A 二、填空题6.（2008年山东文科卷）已知，则的值等于 答案 2008解析 本小题主要考查对数函数问题。 7.(07山东)函数的图象恒过定点A,若点A在直

17、线上，其中，则的最小值为 . 答案 88.（2006年辽宁卷）设则_答案 .解析 本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.9.(2006年重庆卷)设，函数有最大值，则不等式的解集为 .解析 设，函数有最大值，有最小值， 0a1， 则不等式的解为，解得2x0时，的大致图象为（ ）答案 B3.（2009番禺一模）已知函数 若，则（ ）A B C或 D1或答案 C4.（2009临沂一模）已知函数f(x)=，若x0是方程f(x)=0的解，且0x10时是单调函数，则满足f(2x)=f()的所有x之和为A、 B、 C、8 D、8答案 C7.（2009云南师大附中）若函数A. B. C. D. 答案 B8

18、.（2009青岛一模）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为A B C D答案 D9.（2009日照一模）（6）函数的零点一定位于区间 A（1，2） B（2，3） C（3，4） D（4，5）答案 A10.（2009日照一模）（函数的图象如右图所示，则函数的图象大致是答案 C11.（2009泰安一模）已知函数y=f(x)与互为反函数，函数y=g(x)的图像与y=f(x)图像关于x轴对称，若g(a)=1,则实数a值为 （A）-e (B) (C) (D) e答案 C12.（2009江门一模）函数的定义域是A. B. C. D.答案 C13.（2009枣庄一模）已知则关于右图中函数图象的表述正确的

19、是（ ）A是的图象B是的图象C是的图象D以上说法都不对答案 D14.（2009枣庄一模）设函数（ ）A3B4C7D9答案 C15.（2009深圳一模）若函数的图象如右图，其中为常数则函数的大致图象是A B C D答案 D二、填空题1.（2009青岛一模）定义：区间的长度为.已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为_.答案 12.（2009冠龙高级中学3月月考）已知函数，若，则实数的取值范围是 。答案 3.（2009闵行三中模拟）若函数的值域是，则函数的值域是 答案 4.（2009上海普陀区）已知函数，是的反函数，若的图像过点，则 . 答案 25.（2009上海十校联考）已

20、知函数的值域是，则实数的取值范围是_答案 6.（2009上海卢湾区4月模考）（2009上海卢湾区4月模考）设的反函数为，若函数的图像过点，且， 则 答案 7.（2009宣威六中第一次月考）已知函数，则函数f(x)的最小值是 答案 0三、解答题1、（2009聊城一模）已知函数在区间1，1上最大值为1，最小值为2。 （1）求的解析式； （2）若函数在区间2，2上为减函数，求实数m的取值范围。解：（1）.12)(.34,223)1(),1()1(,232)1(,23)1(,1)0(.1,0,0,1)(,1,0,0)(2321上为减函数在上为增函数在得令QQ+-=-=-=-=xxxfaafffafaf

21、bfxfaaxxxf （2）由，知 ， 即 2、（2009昆明市期末）已知函数，若x=0，函数f(x)取得极值 （）求函数f(x)的最小值； （）已知证明：.解：（）由 x=0是极值点，故,得故 m=1.故 当 -1x0时，函数在（-1，0）内是减函数；当 x0时，函数f(x)在（0，+）内是增函数。所以x=0时，f(0)=0，则函数f(x)取得最小值为0.6分 （）由（）知：f(x)0，故ex-1ln(x+1)。8分又 =故 10分故 由得 12分3、（2009临沂一模）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.（I） 当a=0时，f(x)h(x)在（1,+）上恒成立，求实数m

22、的取值范围;（II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;（III） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。解：（1）由a=0,f(x)h(x)可得-mlnx-x即记，则f(x)h(x)在(1,+)上恒成立等价于.求得 当时;当时，故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故.（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在1,3上恰有两个相异实根。令g(x)=x-2lnx,则当时，,当时，g(x)在1,2上是单

23、调递减函数，在上是单调递增函数。故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3g(1)g(3),只需g(2)0，解得x或x-（舍去）故时，函数的单调递增区间为(,+)单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+)故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。4、（2009东莞一模）已知，.（1）当时，求的单调区间；（2）求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积；（3）是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）当.（1分） （3分）的单调递增区间为（0，1）

24、，单调递减区间为：，. （4分）（2）切线的斜率为， 切线方程为.（6分） 所求封闭图形面积为. （8分）（3）， （9分） 令. （10分）列表如下：x(，0)0（0，2a）2a(2a，+ )0+0极小极大由表可知，. （12分）设，上是增函数，（13分） ，即，不存在实数a，使极大值为3. （14）5、（2009茂名一模）已知，其中是自然常数，（）讨论时, 的单调性、极值；（）求证：在（）的条件下，;（）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（）， 1分当时，此时单调递减当时，此时单调递增 3分 的极小值为 4分（）的极小值为1，即在上的最小值为1， ，5分令

25、， 6分当时，在上单调递增 7分 在（1）的条件下，9分（）假设存在实数，使（）有最小值3， 9分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 10分 当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 11分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3. 6、（2009昆明一中第三次模拟）已知（1） 若函数是上的增函数，求的取值范围；（2） 若，求的单调增区间解：（）， 是上的增函数，故在上恒成立，即在上恒成立的最小值为，故知a的取值范围是（2）由，得，当时，即函数在上单调递增；时，由判别式可知当时，有，即函数在上单调递增;当时，有或，即函数在上单

26、调递增7、 解: (1) ,两边加得: , 是以2为公比, 为首项的等比数列.由两边减得: 是以为公比, 为首项的等比数列.-得: 所以,所求通项为5分(2) 当为偶数时,当为奇数时,又为偶数由(1)知, 10分（3）证明：又 12分14分8、（2009深圳一模）已知函数（，）（）求函数的单调递增区间；（）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围解：（） 2分， 由，得，又函数的单调递增区间为,递减区间为 6分 （）【法一】不等式，即为（）令，当时，则不等式（）即为 9分令， 在的表达式中，当时，又时，在单调递增，在单调递减在时，取得最大，最大值为 12分因此，对一切正整数，当时，取得最大

27、值实数的取值范围是 14分【法二】不等式，即为（）设，令，得或 10分当时，当时，当时，取得最大值因此，实数的取值范围是 14分9、（2009湛江一模）已知函数.（）（）当时，求在区间1，e上的最大值和最小值；（）若在区间（1，+）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围解：（）当时，；2分 对于1，e，有，在区间1，e上为增函数，3分 ，.5分（）令，则的定义域为（0，+）.6分 在区间（1，+）上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1，+）上恒成立. 若，令，得极值点，8分当，即时，在（，+)上有，此时在区间(，+)上是增函数，并且在该区间上有(，+)，不合题意；9分当，即时，同理可知，

28、在区间(1，+)上，有(，+)，也不合题意；10分 若，则有，此时在区间(1，+)上恒有，从而在区间(1，+)上是减函数；12分要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是，.综合可知，当，时，函数的图象恒在直线下方. 14分2009年联考题一、选择题 1.(2009年4月北京海淀区高三一模文)函数的反函数的图象是 （ ） 答案 A2. (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)下列函数中，在区间上为增函数的是 （ ）A B C D答案 B3.（2009福建省）函数的图象大致是( )答案 C4.（2009厦门集美中学）若在上是减函数,则的取值范围是( )A. B. C. D.答案 C5.（2009岳阳一中第四次月考）函数的图象大致是 ( ) 答案 D 二、填空题6.（2009泉州市）已知函数f(x)=若f(a)=