《几何与代数》-第一章-行列式和线性方程组的求解课件.ppt

1、教学内容和基本要求教学内容和基本要求 14 2(1)行列式行列式D有两行或两列的元素有两行或两列的元素相同相同；(2)行列式行列式D有两行或两列的元素有两行或两列的元素成比例成比例；(3)行列式行列式D有至少有一行或一列元素有至少有一行或一列元素都是零都是零；(4)主对角线主对角线上至少有一个元素等于上至少有一个元素等于零零的的对角行列式对角行列式；(5)主主(次次)对角线对角线上至少有一个上至少有一个零零元素的元素的三角行列式三角行列式；(6)所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式 AOCBOABC|AT|=|A|.3.行列式按行行列式按行(列列

2、)展开展开 AOA BCB ACOB*.*.*OO11.tntnAkAAk AAA 11.stntsnAAAAAAAA stccstckc 11.stnsttnAAAAAAkAAA 3.行列式按行行列式按行(列列)展开展开 rrrr 213123 671014rr 21672201314151621131422rr 2113120cc 注：对三阶四阶数字型行列式，先把行列式化简成某注：对三阶四阶数字型行列式，先把行列式化简成某行行(列列)只有一个非零元素；再按此行只有一个非零元素；再按此行(列列)展开计算展开计算.00|B|111.ijjnBAAAAA 111.ijjniAAAAAA jB=0

3、A 31cc 12334 =(a+b)Dn 1 Dn 2 =bn 2(D2D1)aDn 1=b(Dn 1Dn 2)=an 2(D2D1)Dn 1=a(Dn 1Dn 2)D1=a+b,D2=a2+2+ab aDn 1=bn 2(D2D1)(3)Dn 1=an 2(D2D1)(4)由由(3)(4)a 可得，可得，1.nnnaabb D1=a+b,D2=a2+2+ab nnnbaif ab Dba 11,11nnnba Dba 1,nnnif ab DaDa 1nnnDaDa 111.1211nnnnnaDnaaanana=bn=an1.nnnnDaabb 12nnna aDaa 222nna Da

4、 (1.nnnaabb nncbccbc 211 3 3.行列式按行行列式按行(列列)展开展开|AT|=|A|.11.tntnAkAAk AAA 11.stntsnAAAAAAAA stccstckc 11.stnsttnAAAAAAkAAA Ex.线性方程组：线性方程组：11112212112222a xa xba xa xb 11112211211222221122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 11112122122212,.,.,.,.,nnmmmmnAaaaAaaaAaaaAxb1112111212222212.,.nnmmmnmnaaa

5、bxaaabxAbxaaabx高斯消元法：高斯消元法：初等变换单价单价(元元/箱箱)重量重量(Kg/箱箱)数量数量(箱箱)南京南京 苏州苏州 常州常州啤酒啤酒(瓶装瓶装)2016200180190啤酒啤酒(易拉罐易拉罐)5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤2516180150150 用三维向量表示用三维向量表示(8升升,5升升,3升升)酒壶的酒量酒壶的酒量则则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终点的最短路点的最短路.从图中易得到从图中易得到上下上下两条两条路路：显然上面一条较短，：显然上面一条较短，路长为路长为7;下面

6、一条路长为下面一条路长为8.(3,2,3)(5,3,0)(2,5,1)(8,0,0)(0,5,3)(2,3,3)(7,0,1)(7,1,0)(4,1,3)(4,4,0)(1,4,3)(1,5,2)(6,2,0)例例3 3：某二人有一只某二人有一只8 8升的酒壶装满了酒升的酒壶装满了酒,还有两只还有两只空壶空壶,分别为分别为5 5升和升和3 3升升.问如何尽快将酒平分问如何尽快将酒平分?(3,5,0)(5,0,3)(6,0,2)mn)mn)Amn=()mn.A 11.1nE 4.三角矩阵三角矩阵 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an1

7、 an2 anna11 a1n-1 a1n a21 a2n-1 0 an1 0 0 0 0 a1n 0 a2n-1 a2n an1 a1n-1 ann上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为011112211211222221122.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 0有有唯一解唯一解 x1=D1D,x2=D2D,xn=DnD.n元线性元线性方程组方程组 0方程数与变方程数与变量数不等时量数不等时不能用不能用1111221121122

8、2221122.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 0有有唯一解唯一解 x1=D1D,x2=D2D,xn=DnD.按第一列按第一列展开展开11112211211222221122.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 0有有唯一解唯一解 x1=D1D,x2=D2D,xn=DnD.(1)(1)先证是方程组的解先证是方程组的解.121211.nniiinijjjDDDaaaa DDDDD 1111.nijjnnjjab Ab AD 11111.nnijjnijnjjjba Aba AD11niijijjba

9、AD iiDbbD11112211211222221122.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 0有有唯一解唯一解 x1=D1D,x2=D2D,xn=DnD.(2)(2)再证方程组解的唯一性再证方程组解的唯一性.1 111.nnijiinnijiiiAa ca cA b1111.nniijninijjiica Aca ADjjc DDjjDcDccccccccc+11112211211222221122.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 0有有唯一解唯一解 x1=D1D,x2=D2D,xn=DnD.0

10、00000000000000 .设设A Rn n,若齐次线性方程组若齐次线性方程组 的的 系数行列式系数行列式|A|0,则它则它只有零解只有零解.设设A Rn n,若若 有非零解有非零解，则，则|A|=0设设A Rn n,填空题选择题：作为课下练习填空题选择题：作为课下练习一一.(A)1(1-7),(B)1,2,3 留作业留作业 课下提高题：有时间的话尽量做课下提高题：有时间的话尽量做二二.(A)2(1-5)(B)4(1,3,4,6),5(1,2)三三.(A)1(8),2(6,7)(B)5(4,6,7,8),6(2),7四四.(A)1(9,10),2(8,9,10)(B)9,11,12趣味思考

11、题趣味思考题 一摆渡人欲将一只狼一摆渡人欲将一只狼,一头羊一头羊,一篮菜从河西一篮菜从河西渡过河到河东渡过河到河东.由于船小由于船小,一次只能带一物过一次只能带一物过河，并且狼与羊河，并且狼与羊,羊与菜不能独处羊与菜不能独处.你能给出几种给出渡河方法？你能给出几种给出渡河方法？哪种方法的渡河次数最少呢？哪种方法的渡河次数最少呢？现代谜题现代谜题 （据说是微软的面试题哦！）（据说是微软的面试题哦！）u有有 4 4 个女人要过一座桥。她们都站在桥的某一边，要个女人要过一座桥。她们都站在桥的某一边，要让她们在让她们在 17 17 分钟分钟内全部通过这座桥。内全部通过这座桥。u这时是晚上。她们只有一个

12、手电筒。这时是晚上。她们只有一个手电筒。最多只能让两个最多只能让两个人同时过桥，且必须要带着手电筒。人同时过桥，且必须要带着手电筒。手电筒必须要传来手电筒必须要传来传去，不能扔过去。传去，不能扔过去。u每个女人过桥的速度不同每个女人过桥的速度不同(甲乙丙丁分别需要甲乙丙丁分别需要1,2,5,101,2,5,10分钟分钟)，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。u怎样让这怎样让这4 4个女人在个女人在 17 17 分钟内过桥？分钟内过桥？u还有其他方法吗？还有其他方法吗？思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（线性方程组应用）（线

13、性方程组应用）v城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。况的基础。v问题：某城市有下图所示的交通图，每条道问题：某城市有下图所示的交通图，每条道路都是单行线，需要调查每条道路每小时的路都是单行线，需要调查每条道路每小时的车流量。图中的数字表示该条路段的车流数。车流量。图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。整个图中进入和离开的车数相等。思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（线性方程组应用）（线性方程组应用）（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；）建立确定每条道路流量的线性方程组；（2）请写出该线性方程组对应的系数矩阵和增广矩阵）请写出该线性方程组对应的系数矩阵和增广矩阵.300500150180350160220300100290400150 x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x11x12