（教学课件）《基本不等式》参考课件.pptx

1、第二章第二章第第2 2课课基本不等式基本不等式课程导入课程导入课程导入课程导入课程讲解课程讲解思考思考:上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.课程讲解课程讲解1 1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式2abab特别的，如果a0,b0,我们用分别代替a、b，可得2abab通常我们把上式写作：(a0,b0)2abab课程讲解课程讲解 2 2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.要证（2），只要证a+b-0 （3）要证（3），只要证（-）20 （

2、4）只要证 a+b （2）要证2abab （1）思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以时当ba 时当ba 222abab证明：（作差法）证明：（作差法）2)(ba问题探究问题探究结论：一般地，对于任意实数结论：一般地，对于任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立222abab文字叙述为文字叙述为:两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍.适用范围：适用范围：a,bR课程讲解课程讲解0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？问题一

3、22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到：即：即：)0,0(ba2abab 即：即：课程讲解课程讲解0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？问题一你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二2abab证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)0显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a a=b b时时,中的等号成立中的等号成立.分析法分析法22(0,0,(),()abaabb2abab)0,0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba课程讲解课程讲

4、解问题二特别地，若特别地，若a0，b0，则，则_2abab通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数，叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；2abab文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围：a0,b0课程讲解课程讲解RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab

5、所以A AB BC CD DE Ea ab bO O如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_2abab课程讲解课程讲解你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?探究一你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_2ababOD与与CD的大小

6、关系怎样的大小关系怎样?OD_CD如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.2abab几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半课程讲解课程讲解A AB BC CD DE Ea ab bO O探究一适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”“=”成立条成立条件件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa

7、0,b0填表比较：填表比较：注意注意:从从不同角度认识基本不等式不同角度认识基本不等式课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解例例3 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（分析：（1 1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之边之积为定值积为定值，边长多大时，边

8、长多大时周长最短周长最短.（2 2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2 2倍，于是问题转化为：矩形的邻倍，于是问题转化为：矩形的邻边之边之和为定值和为定值，边长多大时，边长多大时面积最大面积最大.课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解例例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：分析：贮水池呈长方体形，它的高是贮水池呈长方体形，它的高是3 3m m，池底的边长没有确定，池底的边长没有确定.如果池底如果池

9、底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低长取什么值时，水池的总造价最低.课程讲解课程讲解课程讲解课程讲解所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.随堂练习随堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证：（ab）（bc）（ca）abc分析：分析：对于此类题目，选择定理对于此类题目，选择定理：（a0，b0）灵活变形，可求得）灵活变形，可求得结果结果.abba2即（ab）（bc）（ca）abc.课时小结课时小结课程讲解课程讲解我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等一正二定三取等.再见再见