苏教版学高中数学必修二立体几何初步平面的基本性质讲义.docx

1、学 习 目 标核 心 素 养借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面（重点）会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系（易错点）能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用（重点、难点）通过学习本节内容来提升学生的直观想象、数学抽象核心素养.平面的概念及表示（）平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念它没有厚薄，是无限延展的（）平面的表示方法图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图（如图所示）字母表示平面通常用希腊字母，表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平

2、面、平面AC等（）点、线、面位置关系的符号表示位置关系符号表示点P在直线AB上PAB点C不在直线AB上CAB点M在平面AC内M平面AC点A不在平面AC内A平面AC直线AB与直线BC交于点BABBCB直线AB在平面AC内AB平面AC直线AA不在平面AC内AA平面AC平面的基本性质（）平面的基本性质公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内用符号表示为：AB公理：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线用符号表示为：l且Pl公理：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理也可简单地说成，不共线的三点确定一个

3、平面（）公理的推论推论：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论：经过两条平行直线，有且只有一个平面如果直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，且Ml，Nl，那么下列说法正确的是（）lllMlNAMa，Nb，a，b，M，N.而M，N确定直线l，根据公理可知l.故选下列说法正确的是（）三点可以确定一个平面一条直线和一个点可以确定一个平面四边形是平面图形两条相交直线可以确定一个平面DA错误，不共线的三点可以确定一个平面B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面C错误，四边形不一定是平面图形D正确，两条相交直线可以确定一个平面如图所示，用符号可表达

4、为_m，n且mnA由题图可知平面与平面相交于直线m，且直线n在平面内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：m，n且mnA.三种语言的转换【例】（）如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系（）用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形思路探究：根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化解（）l，m，n，lnP，lm.a，b，c，abcO，aO.（）符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.图形表示：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如

5、何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示要注意符号语言的意义如点与直线的位置关系只能用“”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系（）（）图（）可以用几何符号表示为_图（）可以用几何符号表示为_答案（）AB，a，b，aAB，bAB，ab（）l，mA，mB，Al，Bl点线共面问题【例】已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面思路探究：法一：法二：证明如图法一：ab，a，b确定平面.又laA，lbB，l上有两点A，B在内，即直线l.a，b，l共面同理，a，c，l

6、共面，即c也在a，l确定的平面内故a，b，c，l共面法二：ab，过a，b确定平面，又Aa，Bb，AB，即l.又bc，过b，c确定平面，而Bb，Cc，BC，即l.b，l，b，l，而blB，与重合，故a，b，c，l共面在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：（）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内确定一个平面的方法有：直线和直线外一点确定一个平面；两条平行线确定一个平面；两条相交直线确定一个平面（）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内解已知：如图所示，llA，llB，llC.求证：直

7、线l，l，l在同一平面内法一：llA，l和l确定一个平面.llB，Bl.又l，B.同理可证C.又Bl，Cl，l.直线l，l，l在同一平面内法二：llA，l，l确定一个平面.llB，l，l确定一个平面.Al，l，A.Al，l，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l，l，l在同一平面内共线，共点问题探究问题把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？提示由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线如图所示，在正方体ABCDABCD中，E为AB的中点，F为AA的中点试问CE，DF，DA三线是否交于

8、一点？为什么？提示交于一点证明：如图所示，连结EF，DC，AB.E为AB的中点，F为AA的中点，EFAB.又ABDC，EFDC，E，F，D，C四点共面，且EFDC，DF与CE相交于点P.又DF平面ADDA，CE平面ABCD.P为平面ADDA与平面ABCD的公共点又平面ADDA平面ABCDDA，根据公理，可得PDA，即CE，DF，DA相交于一点【例】如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA，求证：EF，GH，BD交于一点思路探究：先证明GH和EF共面且交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相

9、交于直线BD，根据公理，两平面相交，有且只有一条交线因此点O在交线上，即点O在直线BD上从而证明了直线EF，GH，BD都过点O.证明E，G分别为BC，AB的中点，GEAC，GEAC.又DFFCDHHA，FHAC，FHAC.FHGE，FHGE.四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.O在平面ABD内，又在平面BCD内，O在这两平面的交线上而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，点O在直线BD上EF，GH，BD交于一点证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上

10、如图所示，在正方体ABCDABCD中，P，Q，R分别在棱AB，BB，CC上，且DP，RQ相交于点O.求证：O，B，C三点共线证明如图，可知平面AC平面BCBC.O为平面BC与平面AC的公共点又平面AC平面BCBC，OBC，即O，B，C三点共线本节课的重点是理解平面的概念，会画一个平面并会表示平面，会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系难点是掌握三个公理并会简单应用本节课要重点掌握的规律方法（）理解平面的概念及空间图形画法要求（）文字语言、符号语言、图形语言的转换方法（）证明点、线共面的方法（）证明点共线、线共点的方法本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件已知点A，直线a，平面

11、，以下命题表述不正确的个数（）Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA.D不正确，如aA；不正确，“a”表述错误；不正确，如图所示，Aa，a，但A；不正确，“A”表述错误如图所示，点A，B，C，则平面ABC与平面的交点的个数是_个无数因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面的交点有无数个空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为_个当三条直线不共面时确定平面个数最多，为个在正方体ABCDABCD中，画出平面ACD与平面BDC的交线，并说明理由解设ACBDM，CDCDN，连结MN，则平面ACD平面BDCMN，如图理由如下：点M平面ACD，点N平面ACD，所以MN平面ACD.同理，MN平面BDC，平面ACD平面BDCMN，即MN是平面ACD与平面BDC的交线