柯西不等式习题.pdf

1、新课标数学选修新课标数学选修一、二维形式的柯西不等式4-54-5 柯西不等式教学题库大全柯西不等式教学题库大全(a2b2)(c2 d2)(ac bd)2(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)二、二维形式的柯西不等式的变式(1)a2b2 c2d2 acbd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)(2)a2b2 c2d2 ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)(3)(a b)(c d)(ac bd)2(a,b,c,d 0,当且仅当 ad bc时，等号成立.)三、二维形式的柯西不等式的向量形式.(当且仅当是零向量,或存在实数k,使 k时,

2、等号成立.)借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比方说吧，对 a2+b2+c2，并不是不等式的形状，但变成(1/3)*(12+12+12)*(a2+b2+c2)就可以用柯西不等式了。基本方法1巧拆常数：例 1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：2重新安排某些项的次序：例 2：a、b为非负数，a+b=1，x1,x2 R求证：(ax1bx2)(bx1 ax2)x1x23改变结构：例 3、假设abc求证：4添项：abc3b cc aa b2【1】、设a (2,1,2),b 6，则ab之最小值为_；此时b _。114a bb ca c2229a bb cc aa b c例 4：

3、a,b,c R求证：1答案：18;(4,2,4)解析：aba bab 1818 a b 18a b之最小值为18，此时b 2a (4,2,4)222【2】设a(1，0，2)，b(x，y，z)，假设 x y z 16，则ab的最大值为。【解】a(1，0，2)，b(x，y，z)ab x 2z由柯西不等式12 0 (2)2(x2 y2 z2)(x 0 2z)25 16 (x 2z)2 45 x 45 45ab 45，故ab的最大值为 45【3】空间二向量a (1,2,3)，b (x,y,z)，已知b 56，则(1)ab的最大值为多少？(2)此时b？Ans：(1)28：(2)(2,4,6)4936【4

4、】设 a、b、c 为正数，求(abc)()的最小值。Ans：121abc【5】.设 x，y，z R，且满足 x2 y2 z2 5，则 x 2y 3z 之最大值为解(x 2y 3z)2(x2 y2 z2)(12 22 32)514 70 x 2y 3z 最大值为70【6】设 x，y，z R，假设 x2 y2 z2 4，则 x 2y 2z 之最小值为时，(x，y，z)解(x 2y 2z)2(x2 y2 z2)12(2)2 22 49 36x 2y 2z 最小值为 6，公式法求(x，y，z)此时x xyz6 22221 222 (2)2324 4，y，z 333【7】设x,y,zR，x2 y2 z2

5、 25，试求x2y 2z的最大值 M 与最小值 m。Ans：M 15;m 15【8】、设x,y,zR,x2 y2 z225，试求x 2y 2z的最大值与最小值。答：根据柯西不等式(1 x 2 y 2 z)1 (2)2(x y z)22222222即(x 2y 2z)925而有15 x 2y 2z 15故x 2y 2z的最大值为 15，最小值为15。2【9】、设x,y,zR,2x y2z6，试求x2 y2 z2之最小值。答案：考虑以下两组向量 22u=(2,1,2)v=(x,y,z)根据柯西不等式(u v)2 u v，就有2x (1)y (2)z222(1)2(2)2(x2 y2 z2)即(2x

6、 y 2z)2 9(x2 y2 z2)将2x y 2z 6代入其中，得36 9(x2 y2 z2)而有x2 y2 z2 4故x2 y2 z2之最小值为 4。【10】设x,y,zR，2x y 2z 6，求x2 y2 z2的最小值 m，并求此时 x、y、z 之值。424Ans：m 4;(x,y,z)(,)333【11】设 x，y，z R，2x 2y z 8 0，则(x 1)2(y 2)2(z 3)2之最小值为解：2x 2y z 8 02(x 1)2(y 2)(z 3)9，22u=(,)，v=(,)(u v)2 u v2(x 1)2(y 2)(z 3)2(x 1)2(y 2)2(z 3)2(22 2

7、2 12)(x 1)2(y 2)2(z 3)2【12】设 x,y,zR，假设2x 3y z 3，则x2(y 1)2 z2之最小值为_，又此时考虑以下两组向量(9)29 9y _。解：2x 3y z 32x 3(y 1)z()，考虑以下两组向量u=(,)，v=(,)解析：x2(y 1)2 z222(3)212(2x 3y 3 z)2x2(y 1)2 z2xy1z t,2x3y z 3,2(2t)3(3t 1)t 323132t y 7733618 最小值147【13】设 a，b，c 均为正数且 a b c 9，则解：考虑以下两组向量4916之最小值为abcu=(,)，v=(,)2344916 2

8、2a b c)2()(a b c)(u v)2 u v(abcabc4916()9 (2 3 4)2 81abc491681 9abc9123【14】、设 a,b,c 均为正数，且a 2b3c 2，则之最小值为_，此时a _。abc解：考虑以下两组向量u=(,)，v=(,)1223 22)()2()2 (1 23)2(u v)2 u v(a)2(2b)2(3c)2(abc123()18，最小值为 18等号发生于u/v故abca1a2b2b3c3ca b c又a 2b3c 2a 13【15】.设空间向量a的方向为，0 ，csc2 9 csc2 25 csc2 的最小值为。解sin2 sin2 s

9、in2 2 由柯西不等式(sin2 sin2 sin2)(123252)()()(1 3 5)22(csc2 9csc2 25csc2)81sinsinsincsc2 9csc2 25csc2 8181故最小值为22【注】此题亦可求 tan2 9 tan2 25tan2 与 cot2 9cot2 25cot2 之最小值，请自行练习。【16】.空间中一向量a与 x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为，均非象限角，求149的最小值。sin2sin2sin2解:由柯西不等式4(122232)()()(sin2 sin2 sin2)sinsinsin123sinsinsin)2sinsinsin149

10、)()()(sin2 sin2 sin2)(1 2 3)2222sinsinsin149149)36()18222222sinsinsinsinsinsin(sin2 sin2 sin2 22(149的最小值 18sin2sin2sin292516的最小值。222sinsinsin【17】.空间中一向量a的方向角分别为,，求答 72 利用柯西不等式解之【18】、设 x,y,zR，假设(x 1)2(y 2)2 z24，则3x y 2z之范围为何？又3x y 2z发生最小值时，x？答案：(x 1)2(y 2)2 z232(1)2(2)2 (3x 3 y 2 2z)24(14)(3x y 2z 5)

11、22 14 3x y 2z 5 2 1452 14 3x y 2z 5 2 14x 1y 2z假设3x y 2z 5 2 14又t3(3t 1)(t 2)2(2t)5 2 1431 23 14141t x 77【19】设ABC 之三边长 x，y，z 满足 x 2y+z=0 及 3x+y 2z=0，则ABC 之最大角是多少度？211112 x 2y z 0【解】x：y：z=：=3：5：71223313x y 2z 0(3k)2(5k)2(7k)21设三边长为 x=3k，y=5k，z=7k 则最大角度之 cos=，=1202(3k)(5k)2(x 1)2(y 2)2(z 3)21，求 x y z

12、之最大值，最小值。【20】.设 x，y，z R 且1654Ans 最大值 7；最小值 3【解】(x 1)2(y 2)2(z 3)2116545由柯西不等式知 x 12y 22z 3242(5)2 22()()()2542x 1y 24()5()245z 3()25 1 (x y z 2)25|x y z 2|2 5 x y z 2 5 3 x y z 7故 x y z 之最大值为 7，最小值为 3【21】.求 2sin 3cos sin cos cos 的最大值与最小值。答.最大值为2 2，最小值为 2 2【详解】令向量a(2sin，3cos，cos)，b(1，sin，cos)由柯西不等式|a

13、b|a|b|得|2sin 3cos sin cos cos|4sin23cos2cos2，1sin2cos24(sin2 cos2)(1sin2cos2)2 2所求最大值为2 2，最小值为 2 2【22】ABC 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为 R，求证：(a2b2 c2)(1112证明：由三角形中的正弦定理得)36R222sin Asin Bsin C14R214R214R2a，所以22，同理22，22于是左边=sin A sin Aasin Bbsin Cc2R4R24R24R22R2R2R2(a b c)(222)(a a a)36R2。abcabc|Ax0 By0C|222【23

14、】求证:点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=A B22.证明:设 Q(x,y)是直线上任意一点,则 Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2 0,由柯西不等式得622(A2+B2)(x-x0)2+(y-y0)2 A(x-x0)+B(y-y0)=(Ax+By)-(Ax0+By0)=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|Ax0 By0C|A B22.当x x0y y0Ax By C|Ax0 By0C|时,取等号,由垂线段最短得 d=.020222ABA BA B111 恒成立,求 的范围.x yy zz x【24】已知正数 x,y,z满

15、足 x+y+z=xyz,且不等式解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得1111111z(x yy zz x2 xy2 yz2 zx2x y zxx y zy)x y z31zxy3故 的取值范围是,+).(121212)()22x y zx y zx y z2温馨提示此题主要应用了最值法,即不等式化为求 f(x,y,z)=111111 恒成立,等价于()max,问题转x yy zz xx yy zz x111的最大值.x yy zz xa b c的值.x y z【25】设 a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求解析:

16、根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.由柯西不等式等号成立的条件,知abca b c=,再由等比定理,得=.因此只需求 的值即可.由柯西不xyzx y zabc=时,上式等号成立.xyz等式,得 302=(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=2536,当且仅当于是 a=x,b=y,c=z,从而有 2(x2+y2+z2)=25,=abc55(舍负),即.xyz66竞赛欣赏1 1987 年 CMO 集训队试题设a,b,cR，求证：a5b5c5 a3bc b3ca c3ab2-10证明：因a2b2c2 abbc ca，由定理 1 有a4b4c4(a2b2c2)2 a2b2c2此即2-10式。bccaabbccaab72 设a,b,cR，求证：b2ac2a2bc3(a2b2c2)证明：由均值不等式得a3c2a 2a2c,b3a2b 2ab,c3b2c 2bc2，故a3b3c3a2bb2cc2a 2(ab2bc2ca2)即(a2b2c2)(a bc)3(ab2bc2ca2).又由柯西不等式知3(a2b2c2)(abc)2，故3(a2b2c2)abc又由定理 1，得原式左a4b4c4(a2b2c2)23(a2b2c2)2a2cb2ac2bbc2ca2ab2(a2b2c2)(abc)原式右8