固体物理基础第一章14电场中的自由电子课件.ppt

1、节金属的电导率和热导率节金属的电导率和热导率本节主要内容：本节主要内容：三、金属的热导率三、金属的热导率一、特鲁德一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率洛仑兹近似下金属的电导率二、索末菲近似下金属的电导率二、索末菲近似下金属的电导率一、特鲁德一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率洛仑兹近似下金属的电导率1.电场下经典的动力学方程电场下经典的动力学方程 按照特鲁德按照特鲁德-洛仑兹模型，电子遵循碰撞近洛仑兹模型，电子遵循碰撞近似和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向似和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向,所所以电子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那以电子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分电子。部分电子

2、。无论是经典的特鲁德无论是经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论，洛仑兹自由电子论，还是量子的索末菲自由电子论，在解释金属的还是量子的索末菲自由电子论，在解释金属的电导和热导问题上都取得了成功电导和热导问题上都取得了成功,并成功解释并成功解释了维德曼了维德曼夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁德德-洛仑兹自由电子论的结果。洛仑兹自由电子论的结果。定义定义驰豫时间驰豫时间，借以概括电子和金属离子的，借以概括电子和金属离子的碰撞特征碰撞特征.驰豫时间驰豫时间,相当于相继两次散射间的平均时间相当于相继两次散射间的平均时间 由弛豫时间由弛豫时间的定义，的定义，dt时间内，电子受到时间内

3、，电子受到碰撞的几率为碰撞的几率为dt/，从而电子没有受到碰撞的，从而电子没有受到碰撞的几率为几率为(1-dt/)。假定假定t时刻电子的平均动量为时刻电子的平均动量为P(t)，经过，经过dt时间时间没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献为没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献为P(t+dt)。所以有所以有:则没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应则没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应为为t时刻电子的平均动量和时刻电子的平均动量和dt时间后动量的变化时间后动量的变化之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。()(1)()dtp tdtp tF t dt 是对于所有电子而言的，电场

4、力对所是对于所有电子而言的，电场力对所有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰撞的电子撞的电子.()F t dt整理得整理得()()()()()F t dtdtdtp tdtp tpFtt dt取一级近似取一级近似()()()()dtF tp tdtdtp tp t()(1)()dtp tdtp tF t dt()()()dpF tdp tdtp tp tdtt从而有从而有 所以，自由电子在外场下的动力学方程为：所以，自由电子在外场下的动力学方程为：()(dpF tp tdt 设外场作用下电子的设外场作用下电子的漂移速度漂移速度(drift veloci

5、ty)为为vd(t),则动量则动量()()edp tm v t从而从而,自由电子在外场下的动力学方程变为自由电子在外场下的动力学方程变为()()()deeddv tmFvtmdtt阻尼力阻尼力该方程又称为该方程又称为漂移速度理论漂移速度理论对于对于稳恒电场稳恒电场下，电子具有下，电子具有恒定的漂移速度恒定的漂移速度()()()deeddv tmFvtmdtt),(0ddv tdtFeE 所以所以：把它们代入自由电子在外场下的动力学方程把它们代入自由电子在外场下的动力学方程得到：得到：0deveEm 整理后得到电子的整理后得到电子的漂移速度漂移速度为为deevEm 相应的相应的电流密度电流密度2

6、deJnevmEne 又又JE所以所以,电导率电导率为为2enem2.稳恒电场情形下金属的电导率稳恒电场情形下金属的电导率 电阻率电阻率定义为电导率的倒数，所以电阻率为：定义为电导率的倒数，所以电阻率为：21emne由此可得由此可得弛豫时间弛豫时间：材料的电阻率或电导率可实验测出，然后，材料的电阻率或电导率可实验测出，然后，代入上式可计算弛豫时间代入上式可计算弛豫时间.对于普通的金属对于普通的金属,的量级约为的量级约为10-14秒秒.22eemmnene 由经典的玻耳兹曼统计可得电子的平均速率。由经典的玻耳兹曼统计可得电子的平均速率。21322eBEm vk T由此可得到由此可得到电子的平均自

7、由程电子的平均自由程：lv室温下电子的平均速率大约为室温下电子的平均速率大约为107 cm/s。对。对于于普通的金属普通的金属,的量级约的量级约10-14s,所以所以l 约约1 nm所以所以电子的平均速率：电子的平均速率：3Bek Tvm经典统计下电子的经典统计下电子的动能动能：由电子的密度我们容易得出电子的半径由电子的密度我们容易得出电子的半径rs的大的大小约为小约为0.1 nm左右，差不多和经典下电子的平均左右，差不多和经典下电子的平均自由程在一个量级，显示了经典模型的局限性。自由程在一个量级，显示了经典模型的局限性。133/4srn3.交变电场情形金属的电导率交变电场情形金属的电导率 假

8、设此时假设此时 00;i ti tddvv eEE e代入电子的动力学方程代入电子的动力学方程得得 ()()()deeddv tmFvtmdttededm vi m veE 整理得整理得(1)deeEvmi由由211edneJneEivEm 得到得到20111einemi0为直流电导率为直流电导率 ededm vi m veE 索末菲近似下，基态时金属中的自由电子费索末菲近似下，基态时金属中的自由电子费米气体全部分布在费米球内。此时金属自由电米气体全部分布在费米球内。此时金属自由电子具有确定的动量子具有确定的动量epm vk电子速度电子速度二、索末菲近似下金属的电导率二、索末菲近似下金属的电导

9、率/evk m 不加外场时不加外场时，费米球的中心和，费米球的中心和k空间的原点重空间的原点重合，整个合，整个费米球对原点对称费米球对原点对称。如果有一个电子。如果有一个电子有速度有速度v，就有另一个电子有速度，就有另一个电子有速度-v，因此金，因此金属内净电流为零。属内净电流为零。在在恒定的外场恒定的外场作用下，作用下，电子受力电子受力为为-eE由牛顿第二定律由牛顿第二定律edvdkeEmdtdt 此式说明此式说明在外电场的作用下在外电场的作用下，电子动量的电子动量的改变改变表现为表现为k k空间相应状态点的移动空间相应状态点的移动，即产生，即产生了了费米球的刚性移动费米球的刚性移动。在在k

10、 k空间移动的速度为空间移动的速度为dkeEdt 所以所以 eEdkdt 电子之间电子之间没有发生碰撞没有发生碰撞时，对上式积分得时，对上式积分得()(0)eEkk tkt 此式表明，在此式表明，在K K空间，从空间，从0t 时刻，时刻，费米球中费米球中心移动心移动为为k负号负号表示费米球沿表示费米球沿与外场相反的方向移动与外场相反的方向移动 那么，在那么，在弛豫时间弛豫时间 内费米球中心在内费米球中心在k k空间的空间的位移位移为为:eEk xkyk0t xkykEt费米球费米球在外场作用下产生在外场作用下产生刚性移动刚性移动示意图示意图从从0 时刻时刻,费米球中心逆电场方向移动费米球中心逆

11、电场方向移动为为eEk 考虑到动量的变化关系：考虑到动量的变化关系：epmvk得电子在稳恒电场下逆电场方向的速度增量：得电子在稳恒电场下逆电场方向的速度增量：/eevk meEm 上式就是电子在稳恒电场下获得的定向漂上式就是电子在稳恒电场下获得的定向漂移速度，对金属内每一个电子来说，都有这样移速度，对金属内每一个电子来说，都有这样的漂移速度，由此可得电流密度：的漂移速度，由此可得电流密度：2()eneJnevEm/eevk meEm 所以，所以，电导率电导率为为2enem 可见与经典模型下的结果一致。由上式的推导可见与经典模型下的结果一致。由上式的推导过程可知，费米球内所有的电子都参与了导电过

12、程可知，费米球内所有的电子都参与了导电.如图所示，在外场作用下，费米球从红色如图所示，在外场作用下，费米球从红色位置向蓝色位置平移。位置向蓝色位置平移。xkykE 但是，如果我们具体分析在外电场的作用但是，如果我们具体分析在外电场的作用下费米球的刚性移动过程，不难发现只有下费米球的刚性移动过程，不难发现只有费米费米面附近的很少一部分电子面附近的很少一部分电子才对金属的电导有贡才对金属的电导有贡献献.xkykE 由于由于费米球的半径为费米球的半径为k kF F,位移为位移为 k k,电子在球电子在球内内均匀分布均匀分布所以，蓝色月牙形部分所以，蓝色月牙形部分的电子所占的比例约为：的电子所占的比例

13、约为：1()FFFFFFFkmveEeEeEkkk由于由于I I区区和和IIII区区均位于原来的均位于原来的红色球内红色球内,且关于且关于 ky kz 面对面对称。所以它们的传导作用被抵称。所以它们的传导作用被抵消。只剩下消。只剩下费米面附近费米面附近未被未被补偿的补偿的蓝色月牙形部分蓝色月牙形部分的电子才有传导电流作用。的电子才有传导电流作用。所以参与导电的电子数目约为所以参与导电的电子数目约为()FeFeEnnm v 由于这些电子以由于这些电子以费米速度逆电场方向费米速度逆电场方向运动，运动，则对电流的贡献为则对电流的贡献为2FFeneeJvmnEE 电导率电导率2Fenem和前面得到的电

14、导率形式和前面得到的电导率形式上一样，只是用上一样，只是用 F F 代替代替 1()FFFFFFFkmveEeEeEkkk电子所占的比例为：电子所占的比例为：严格的理论计算支持了后一种的说法。这主严格的理论计算支持了后一种的说法。这主要是由泡利原理导致的。要是由泡利原理导致的。能量比费米能低得多能量比费米能低得多的电子的电子，其，其附近的状态已被电子占据附近的状态已被电子占据，没有空没有空态态可接受其它电子。因此，这部分电子无法从可接受其它电子。因此，这部分电子无法从电场里获得能量进入较高的能级而对电导做出电场里获得能量进入较高的能级而对电导做出贡献，贡献，能被电场激发的还是费米面附近的电子。

15、能被电场激发的还是费米面附近的电子。两种电导率形式上虽然一样，但是两者导电两种电导率形式上虽然一样，但是两者导电的物理机理却不同。第一种形式认为费米球内的物理机理却不同。第一种形式认为费米球内所有电子都参与了导电所有电子都参与了导电,电子数目多但速度缓慢；电子数目多但速度缓慢；第二种则认为只有费米面附近的电子参与了导第二种则认为只有费米面附近的电子参与了导电电,电子数目少但速度极大，取费米速度；所以电子数目少但速度极大，取费米速度；所以,两者效果一样，即电流密度一样。两者效果一样，即电流密度一样。三、三、金属的热导率金属的热导率 金属样品中存在金属样品中存在温度梯度温度梯度 T T时，就会产生

16、时，就会产生热热传导，传导，热传导的强弱用热传导的强弱用热流强度热流强度J JQ Q 来描述来描述1.1.热传导热传导 由于温度不均匀，热量从温度高的地方向由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫温度低的地方转移，这种现象叫热传导热传导 热传导热传导的定义告诉我们，产生热传导的条的定义告诉我们，产生热传导的条件是件是温度不均匀温度不均匀。温度不均匀温度不均匀的数学描述就是的数学描述就是温度梯度温度梯度 T T高温高温低温低温2.2.热流强度热流强度 单位时间里通过单位横截面积的热量，称为单位时间里通过单位横截面积的热量，称为热流强度热流强度 当当温度梯度温度梯度 T T

17、不太大时，不太大时，热流强度热流强度J JQ Q与与 T T成正比。成正比。即即QJT 这就是热传导定律这就是热传导定律 其中其中 称为材料的称为材料的热导率热导率,负号表示负号表示热流方热流方向向与与温度梯度方向温度梯度方向相反。总是从高温流向低温。相反。总是从高温流向低温。基于热量基于热量由导电电子传输这个想法，同时由导电电子传输这个想法，同时又把自由电子看成是没有相互作用的气体又把自由电子看成是没有相互作用的气体，所，所以我们以我们直接利用热学中气体分子运动论的结果直接利用热学中气体分子运动论的结果(可参考李椿的热学可参考李椿的热学）人们从实践中发现，人们从实践中发现，金属的热导率远高于

18、金属的热导率远高于绝缘体绝缘体，由于，由于金属和绝缘体的主要区别在于导金属和绝缘体的主要区别在于导电电子的有无电电子的有无，因而，人们，因而，人们断定断定金属中的热量金属中的热量主要由导电电子传输主要由导电电子传输。3.3.金属的热导率金属的热导率金属的热导率为金属的热导率为:21133VVc vlc v其中其中 为电子比热为电子比热Vc 为电子运动的平均速度，为电子运动的平均速度，为电子的平均为电子的平均自由程，自由程，为驰豫时间为驰豫时间vl 按照索末菲模型按照索末菲模型，电子的，电子的比热为比热为212FFBFmvk T22FBFmvkT电子的电子的平均速度平均速度取取费米速度费米速度2

19、2eVBFTCTnkT所以金属的热导率为所以金属的热导率为:213Vc v22FFBmvTk22222221133 23BVFFeBF FBF Feek nk Tc vnkvTmvm22eVBFTCTnkTFFvv2Fenem电导率：电导率：热导率：热导率：则存在如下关系则存在如下关系:2 22822132.45 103BBTkmWneKTeTmk n223BFek nTm28212.45 103BkWKTe 上式表明，在上式表明，在给定温度给定温度下，金属的下，金属的热导率热导率和电导率的比值为常数，和电导率的比值为常数，称为称为洛伦兹常数洛伦兹常数。由于，在1853年维德曼维德曼(Wied

20、eman)夫兰兹夫兰兹(Franz)二人，最早从实验上发现了该现象，所二人，最早从实验上发现了该现象，所以常把上述规律称为以常把上述规律称为维德曼夫兰兹定律。维德曼夫兰兹定律。2/enem电导率：电导率：所以，经典模型下热导率：所以，经典模型下热导率：电子的平均速度电子的平均速度:3/Bevk Tm223331133 22BVeBBeenknkk Tc vTmm如果采用经典模型，电子比热容为：如果采用经典模型，电子比热容为：32eVBcnk则有则有:28231.12 102BkW KTe 可见，经典的特鲁德可见，经典的特鲁德-洛仑兹模型和索末菲模洛仑兹模型和索末菲模型均能解释维德曼夫兰兹定律，

21、但是索末菲型均能解释维德曼夫兰兹定律，但是索末菲的理论结果和实验符合的非常好，说明索末菲的理论结果和实验符合的非常好，说明索末菲模型在定量上要好于经典的特鲁德模型在定量上要好于经典的特鲁德-洛仑兹模型洛仑兹模型。但是，进一步的实验发现，但是，进一步的实验发现，维德曼夫兰兹定律维德曼夫兰兹定律在在较低较低的温度下不成立，在这一温区，洛伦兹常数依的温度下不成立，在这一温区，洛伦兹常数依赖于温度。这主要是赖于温度。这主要是由于由于我们我们假定了电导过程和热导假定了电导过程和热导过程有相同的弛豫时间，发生的都是弹性散射所引起过程有相同的弛豫时间，发生的都是弹性散射所引起的的。由于。由于在温度小于德拜温度在温度小于德拜温度时，时，非弹性散射非弹性散射变得重变得重要起来，这种散射对于电导率影响不大，但是，要起来，这种散射对于电导率影响不大，但是，对于对于热导率有很大的影响热导率有很大的影响。所以，。所以，维德曼夫兰兹定律维德曼夫兰兹定律在在较低的温度下不成立。较低的温度下不成立。