应用计算流体力学基础AppliedComputationalFluidMechanics课件.ppt

1、计算流体力学的基础理论 1.偏微分方程组的分类及性质2.偏微分方程组数值离散的基本概念3.偏微分方程组的离散方法3.1 有限差分法3.2 有限体积法 2.偏微分方程组数值离散的基本概念2.1 误差数学模型离散方程数值解截断误差Truncation error舍入误差Round-off error截断误差：离散方程中各差商与对应微商的误差总和舍入误差：计算离散方程所得近似解与真实解的误差离散方法逼近真实方程的程度如何？精度2.偏微分方程组数值离散的基本概念2.2 相容性、收敛性和稳定性Lax定理：给定的适定线性的初值问题的微分方程，若与它逼近的差分方程和它是相容的，则差分方程的稳定性是其收敛性的

2、充分必要条件数学模型离散方程数值解相容性稳定性精确解收敛性3.偏微分方程组的离散方法3.1 有限差分法(Finite Difference Methods)有限差分方法基本思想；典型模型方程的差分格式；差分方程的稳定性分析和数值耗散与色散分析；3.2 有限体积法(Finite Volume Methods)有限体积方法基本思想；与有限差分方法的比较。有限元、边界元、谱方法有限差分法1 求解域的离散化一维和二维笛卡尔网格示意图内网格点边界网格点有限差分法1 求解域的离散化空间求解域被分割为若干份，用按顺序编号的网格点来表示。第(i,j,k)个网格点：变量 简写为,ijkxxyyzz(,)ijkq

3、 xyz,i j kq同理，时间域类似分割为若干份，用按顺序编号的时间离散步来表示。第n个时间步：变量 简写为ntt(,)nijkq tx yz,ni j kq有限差分法2 一阶导数的差分逼近式 0limiiixx xq xxq xqxx 0limiiixx xq xq xxqxx 0lim2iiixx xq xxq xxqxx 有限差分法2 一阶导数的差分逼近式11iiiiiqqqxxx向前差分11iiiiiqqqxxx1111iiiiiqqqxxx1iiqqx向后差分1iiqqx中心差分112iiqqx有限差分法2 一阶导数的差分逼近式Talor级数展开法：222()()()()2!()!

4、iiiiinninixxqqq xq xxxxxxxqHnx向前差分：1ixx向后差分：1ixx中心差分？11iixxand xx有限差分法2 一阶导数的差分逼近式差分逼近的精度：11()()()mmmrmmxfxfOx 向前差分？向后差分？中心差分？如果截断误差则称该格式为导数的m阶差分逼近式有限差分法2 一阶导数的差分逼近式待定系数法：利用 三点如何构造一个二阶的差分逼近？作业：试分析不等距网格上的一阶导数 的中心差分逼近式的精度，并利用 三点构造该导数的二阶差分逼近式。qx11,iiixx x12,iiix xx212()iiiiaqbqcqqOxxx Talor展开 求解系数有限差分法

5、3 二阶导数的差分逼近式 22202lim()iiiixx xq xxq xq xxqxx 211222()iiiiqqqqxx待定系数法：利用 三点如何构造一个差分逼近？12,iiix xx有限差分法3 二阶导数的差分逼近式212111122()iiiiiiiiiiqqqxxxxqqqqqqqxxxx1iiiqqqxx1iiiqqqxx有限差分法3 二阶导数的差分逼近式112222111122()iiiiiiiiiiqqxxqxxqqqqqqqxxxx112iiiqqqxx有限差分法4 其他导数的差分逼近式交叉导数项边界导数项有限差分法补充：三次样条插值函数与紧致差分格式三次样条插值函数满足

6、：(1)分区间光滑，每一小区间上为不高于三次的多项式；(2)整个区间一阶和二阶导数连续。在区间(xi-1,xi)内，令hi=xi-xi-1331122111()()()66()()66iiiiiiiiiiiiiiiixxxxS xMMhhMhxxM hxxqqhh有限差分法补充：三次样条插值函数与紧致差分格式在区间(xj-1,xj)内1111111636iiiiiiiiiiiiihhhhqqqqMMMhh111111112111333iiiiiiiiiiiiiqqqqmmmhhhhhh有限差分法5 典型模型方程的差分格式构造0uuatx220uutx22uuuatxx22220uuxy单波方程

7、热传导方程对流扩散方程Laplace方程0uuutx22uuuutxx无粘Burgers方程Burgers方程有限差分法5 典型模型方程的差分格式构造单波方程：FTFS(时间项向前差分，空间项向前差分)110nnnniiiiuuuuatxFTBS(时间项向前差分，空间项向后差分)110nnnniiiiuuuuatxFTCS(时间项向前差分，空间项中心差分)11102nnnniiiiuuuuatx有限差分法5 典型模型方程的差分格式构造单波方程：BTFS(时间项向后差分，空间项向前差分)11110nnnniiiiuuuuatxCTCS(Frag)1111022nnnniiiiuuuuatx隐式L

8、ax111111202nnnnniiiiiuuuuuatx有限差分法5 典型模型方程的差分格式构造单波方程：1211112222nnnnnnniiiiiiiuuuuuuutaatxxLax-WendroffMacCormak110nnnniiiiuuuuatx11111120nnnnniiiiiuuuuuatx有限差分法5 典型模型方程的差分格式构造热传导方程：111220nnnnniiiiiuuuuutxFTCSBTCS111111220nnnnniiiiiuuuuutxCTCS(Richardson)11112202nnnnniiiiiuuuuutx有限差分法5 典型模型方程的差分格式构造

9、对流-扩散方程？非线性对流-扩散方程(Burgers方程)？非线性对流方程(无粘Burgers方程)？Laplace方程？作业：试构造一维对流-扩散方程的FTCS格式。有限差分法6 差分格式的基本性质截断误差和精度：截断误差(Truncation Error)：差分方程与微分方程之差，即离散的差分格式中各差分与对应微分截断误差的 总和，通常用TE或者 来表示。,ni j kR精度(Accuracy)：截断误差中最低阶的差分步长的幂次数。若截断误差可写为 ，则称对应差 分格式对时间(t)有m阶精度，对空间(x)有n阶精度。()()mnOtx 有限差分法6 差分格式的基本性质相容性(Consist

10、ency)：若网格间距 和时间步长 无 限缩小趋向于零时，差分格式的截断误差也趋向于 零，则差分方程趋于微分方程，称差分方程与对应 微分方程是相容的。若微分方程 和对应的差分方程 之间 的截断误差为 ，若无论 和 以何种方式趋于零，截断误差总趋于 零，即 则称差分和微分方程无条件相容 ，否则称条件相容。()x()t()()RL uL u()0L u()0L u()x()t0,0lim0txR 有限差分法6 差分格式的基本性质收敛性(Convergence)：若网格间距 和时间步长 无 限缩小趋向于零时，差分格式的解也趋向于微分方 程的解，则称差分格式或者差分方程是收敛的。若微分方程的解为 ，其

11、相容的差分格式的离散近 似解为 ，若当 和 时，使得 及 ，并有 则称差分格式的解收敛于精确解。()x()t,0,0lim(,)0ni j ktxutu x(,)utx,ni j ku0 x 0t ntt,i j kxx有限差分法6 差分格式的基本性质稳定性(Stability)：若在差分格式的求解中，初始误差的扰 动不产生实质性的增长，即误差的增长有界，则称差 分格式或者差分方程是稳定的，反之称为是不稳定的。Lax等价定理：如果线性的微分方程的初边值问题是适定的，对应的差分方程是相容的，则差分方程的稳定性是其收敛性的充分必要条件。有限差分法6 差分格式的基本性质稳定性分析方法 Fourier

12、法(von Neumann法)基本思想：将初始误差按Fourier级数展开，即将其看作若干线性扰动波的叠加，由于误差也满足差分格式，带入格式分析，根据初始误差随时间的变化，判断差分方程对误差的传播性质以及数值解是否有界。严格讲，仅适用于线性方程及周期性边界条件。实践中加以推广到一般的非线性方程组，但仅作为稳定性的必要条件，而非充分条件。有限差分法6 差分格式的基本性质稳定性分析方法 Fourier法(von Neumann法)jikxnnnik j xjkkA eA e 令：10nnnjjjGG由误差随时间变化关系：放大因子为：1njnnjG误差增长有界要求：1G 有限差分法6 差分格式的基本

13、性质稳定性分析方法 Fourier法(von Neumann法)jikxnnnik j xjkkA eA e 令：110nnnnjjjjuuuuatx11()nnnnjjjjtuur uurax1(1)()nik j xnik j xnikjxnik j xkkkkAeA er A eA e 有限差分法6 差分格式的基本性质稳定性分析方法 Fourier法(von Neumann法)2214(1)sin()12k xGrr 所以，FTFS不稳定。2112 sin()2sin()cos()222ik xGrrek xk xk xrir FTCS不稳定。FTBS条件稳定，1r 。有限差分法6 差分

14、格式的基本性质稳定性分析方法 Fourier法(von Neumann法)111111202nnnnnjjjjjuuuuuatxcos()sin()Gk xirk xLax格式条件稳定，1trax。微分方程解的依赖区域包含在差分解的依赖区域内。(CFL条件)有限差分法6 差分格式的基本性质稳定性分析方法 Fourier法(von Neumann法)方程组的稳定性分析：11112202nnnnniiiiiuuuuutx11112(2)nnjjnnnnniiiiivuuvuuu24 sin()1210k xG求矩阵特征值的最大绝对值。1G有限差分法6 差分格式的基本性质稳定性分析方法 Fourie

15、r法(von Neumann法)作业：试分析一维对流-扩散方程的FTCS格式的稳定性。作业：试分析如下差分格式的稳定性。1112111112121111()(2)22()(2)22nnnnnnnjjiiiiinnnnnnniiiiiiiCC CuuvvuuuCC Cvvuuvvv有限差分法6 差分格式的基本性质耗散性与色散性 Talor分析：修正方程：差分方程所准确逼近的微分方程。修正方程与原方程的误差中，偶次项为耗散项，奇次项为色散项。精确解 数值耗散 数值色散有限差分法6 差分格式的基本性质耗散性与色散性 Talor分析：110nnnniiiiuuuuatx222266txttxxtttxxxtxtxuauuauuau 232(,),(,),(,),ttxxtttxxxttxxxxua uOtxua uOtxua uOtx 22(1)(231)26txxxxxxxxuauar uarru首项偶次导数项，耗散性有限差分法6 差分格式的基本性质耗散性与色散性 Talor分析：耗散项 色散项正耗散：幅值减小负耗散：幅值增大正色散：相位超前负色散：相位滞后