最新（北师大版适用）初二数学上册《专训2-巧用勾股定理求最短路径的长》.doc

1、专训2巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题；第二种情况是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种情况是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离) 用计算法求平面中的最短问题1如图，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC160 m，BC120 m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田A，B；乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段

2、AB上的H处，再从H分别向试验田A，B修筑水渠(1)试判断ABC的形状，并说明理由(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明(第1题) 用平移法求平面中的最短问题2如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m，又向南走40 m，再向东走70 m则小明到达的终点与原出发点的距离是_(第2题)(第3题)3如图，已知BCDE90，且ABCD3，BC4，DEEF2，则AF的长是_ 用对称法求平面中的最短问题4某岛争端持续，我海监船加大对该岛海域的巡航维权力度如图，OAOB，OA45 n mile，OB15 n mile，该岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一

3、不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向此岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(2)求我国海监船行驶的航程BC的长(第4题)5高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA2 km，BB4 km，且AB8 km.要在高速公路上A，B之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短求这个最短距离(第5题) 用展开法求立体图形中的最短问题 圆柱中的最短问题6有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图所示，已知杯子高8 cm，点B距杯口3

4、cm，杯子底面半径为4 cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？(取3)(第6题) 圆锥中的最短问题7如图，观察图形解答下面的问题：(1)此图形的名称为_(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它的侧面沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食物，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的侧面爬行你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方(第7题) 长方体中的最短问题8如图，桌子上放着一个长方体盒子，长、宽、高分别是12 cm，

5、8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃求小虫爬行的最短路程(第8题)9有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD80 cm，高AB60 cm，水深AE40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG60 cm.一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵(1)小虫应该走怎样的路线才能使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注(2)求小虫爬行的最短路线长(第9题)答案1解：(1)ABC是直角三角形理由如下：因为AC2BC21602120240 000，AB2200240 000，所以AC2BC2AB2.所以

6、ABC是直角三角形，且ACB90.(2)甲方案所修的水渠较短因为ABC是直角三角形，所以ABC的面积ABCHACBC.所以CH96(m)因为ACBC160120280(m)，CHAHBHCHAB96200296(m)，所以ACBCCHAHBH.所以甲方案所修的水渠较短2100 m点拨：如图，作ACBC于C.因为AC404080(m)，BC701060(m)，所以AB26028021002，则AB100 m.(第2题)3104解：(1)如图，连接AB，作AB的垂直平分线与OA交于点C，C点即为所求(2)如图，连接BC，设BCx n mile，则CAx n mile，在RtOBC中，OB2OC2B

7、C2，所以152(45x)2x2.解得x25.即我国海监船行驶的航程BC的长为25 n mile.(第4题)5解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口此时A，B两城镇到出口P的距离之和最短，最短距离为AC的长作ADBB于点D，在RtADC中，ADAB8 km，DC6 km，所以AC2AD2DC2100.所以AC10 km.所以这个最短距离为10 km.(第5题)6解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱的侧面展开图如图所示，其中AC为圆柱的底面周长，则AC2r23424(cm)，则EBEDAC12(cm)又因为EA8 cm，EE3 cm，所以AEEAEE835(c

8、m)在RtABE中，AB2AE2EB252122132，所以AB13 cm.即蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13 cm.(第6题)(第7题)7解：(1)圆锥(2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，连接AC，则AC为蜗牛爬行的最短路线(4)在RtASC中，由勾股定理，得AC210252125.故蜗牛爬行的最短路程的平方为125.8解：分为三种情况情况一如图，连接EC.在RtEBC中，EB12820(cm)，BC3015(cm)由勾股定理，得EC2202152625，所以EC25 cm.情况二如图，连接EC.根据勾股定理可求得EC282(301215)23 313.情况三如图，连接EC.根据勾股定理可求得EC2122(30815)22 953.所以小虫爬行的最短路程是25 cm.(第8题) 9解：(1)如图，作点A关于BC的对称点A，连接AG，与BC交于点Q，连接AQ.则AQQG为最短路程(第9题) (2)因为AE40 cm，AA120 cm，所以AE80 cm.又EG60 cm，所以在RtAEG中，AG280260210 000，所以AG100 cm.所以AQQGAQQGAG100 cm.即最短路线长为100 cm.