新教材人教版高中数学必修1-第四章-4.4-4.4.3.doc

1、4.4.3不同函数增长的差异(教师独具内容)课程标准：利用计算器、计算机画出幂函数、指数函数、对数函数的图象，探索、比较它们的变化规律教学重点：比较一次函数、指数函数、对数函数增长的快慢差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义教学难点：指数函数、幂函数不同区间增长快慢的差异.【知识导学】知识点几种函数模型的增长差异(1)当a1时，指数函数yax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快(2)当a1时，对数函数ylogax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快(3)当x0，n1时，幂函数yxn显然也是增函数，并且当x1时，n越大，其函数值的增长就越快(4

2、)一般地，虽然指数函数yax(a1)与一次函数ykx(k0)在区间0，)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数yax(a1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，yax(a1)的增长速度最终都会超过并远远大于ykx的增长速度尽管在x的一定变化范围内，ax会小于kx，但由于指数函数yax(a1)的增长最终会快于一次函数ykx(k0)的增长，因此，总会存在一个x0，当xx0时，恒有axkx.(5)一般地，虽然对数函数ylogax(a1)与一次函数ykx(k0)在区间(0，)上都单调递增，但它们的增长速度不同随着x的增大，一次函数ykx(k0)保持固定的增长速度，而对数函

3、数ylogax(a1)的增长速度越来越慢不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当xx0时，恒有logaxkx.【新知拓展】指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax.1判一判(正确的打“

4、”，错误的打“”)(1)函数yx2比y2x增长的速度更快些()(2)函数ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变()(3)对数函数ylogax(a1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢()答案(1)(2)(3) 2做一做(1)下图反映的是下列哪类函数的增长趋势()A一次函数B幂函数C对数函数D指数函数(2)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()Ay100xBy100ln xCyx100Dy1002x(3)已知变量x，y满足y13x，当x增加1个单位时，y的变化情况是_答案(1)C(2)D(3)减少3个单位题型一 几类函数模型增长差异的比较例1四个变量

5、y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：关于x呈指数函数变化的变量是_解析以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化答案y2金版点睛常见的函数及增长特点(1)线性函数线性函数ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数指数函数yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数对数函数ylogax(a1)的增长特点是随着自

6、变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓(4)幂函数幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间有一组数据如下表：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()Avlog2tBvlogtCvDv2t2答案C解析从表格中看到此函数为单调增函数，排除B；增长速度越来越快，排除A，D，选C题型二 指数函数、对数函数与幂函数的比较例2函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210.x16x2.从图象上可以看出，当x1xx2

7、时，f(x)g(x)，f(6)x2时，f(x)g(x)，f(2018)g(2018)又g(2018)g(6)，f(2018)g(2018)g(6)f(6)金版点睛由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数函数f(x)1.1x，g(x)ln x1，h(x)x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)解由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)1.1x，

8、曲线C2对应的函数是h(x)x，曲线C3对应的函数是g(x)ln x1.由题图知，当xh(x)g(x)；当1xg(x)h(x)；当exf(x)h(x)；当axh(x)f(x)；当bxg(x)f(x)；当cxf(x)g(x)；当xd时，f(x)h(x)g(x) 1下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是()Ay50By1000xCy0.42x1Dyex答案D解析指数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D2有一组实验数据如下表所示：下列所给函数较适合的是()Aylogax(a1)Byaxb(a1)Cyax2b(a0)Dylogaxb(a1)答案C解析通过所给数据可知y随

9、x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C3当2x2xlog2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法，如取x3，经检验易知选B4已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya(0.5)xb，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品的产量为_万件答案1.75解析ya(0.5)xb，且当x1时，y1，当x2时，y1.5，则有解得y2(0.5)x2.当x3时，y20.12521.75(万件)5下面是四个不同函数随x的增大而得到的函数值表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长速度的快慢有什么不同？解(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大(2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其中f(x)2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)x2，增长速度也在变大；而f(x)2x7的增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)log2x，其增长速度越来越小