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类型(高中数学)第4章-4.2.2-等差数列的前n项和公式(第2课时).doc

  • 上传人(卖家):刘殿科
  • 文档编号:6088124
  • 上传时间:2023-05-26
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    关 键  词:
    高中数学 4.2 等差数列 公式 课时 下载 _其他_数学_高中
    资源描述:

    1、4.2.2等差数列的前n项和公式(第2课时)素养目标学科素养1.掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点、难点)2会用裂项相消法求和(重点)1.数学运算;2逻辑推理情境导学数列在我们日常生活中有着广泛的应用,比如仓库中堆放的钢管,想要知道共有多少个,可取同样的钢管反位置摆放,这样就可以知道有多少个你能找到其中所应用的数学原理吗?1数列|an|的前n项和问题根据通项公式判断数列an是先正后负,还是先负后正,在正、负分界点处分两段,分别去掉绝对值符号,转化为等差数列的求和问题2等差数列前n项和的性质(1)设两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,则.(2)等差数列前n项和Sn最大(小)值的

    2、情形:若a10,d0,则Sn存在最大值,即所有非负项之和若a10,则Sn存在最小值,即所有非正项之和判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)等差数列的前n项和Sn一定是关于n的二次函数()(2)若无穷等差数列an的公差d0,则其前n项和Sn不存在最大值()(3)若两个等差数列的前n项和分别为An,Bn,则一定有.()1设等差数列an的前n项和为Sn,若a23,S510,则a5_,Sn的最小值为_. 010解析:a2a1d3,S55a110d10,即a12d2,解得a14,d1,所以a5a14d0,Snna1d.当n4或5时,Sn最小,为10.2已知等差数列an和bn的前n项和分别是Sn,Tn,

    3、且,则_.解析:.3已知数列an的通项公式为ann210n11,则该数列前_项的和最大10或11解析:令an0得n210n110,即n210n110,1n11.nN*,该数列前10项为正,第11项为0.该数列前10或11项的和最大4已知等差数列an,an2n9,则|a1|a2|a10|_.52解析:由an0得n4.5,前4项为负,以后各项为正,|a1|a2|a10|(a1a2a3a4)(a5a10)S4S10S4S102S4202(16)52.【例1】已知数列an的前n项和Snn2n,求数列|an|的前n项和Tn.解:a1S1121101.当n2时,anSnSn13n104.a1101也适合上

    4、式,数列an的通项公式为an3n104.由an3n1040,得n.即当n34时,an0;当n35时,an0.当n34时,Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn2n.当n35时,Tn|a1|a2|a34|a35|an|2(a1a2a34)(a1a2an)2S34Sn2n2n3 502.Tn已知等差数列an,求|an|的前n项和的步骤:(1)确定an的通项公式;(2)根据通项公式确定数列an中项的符号,即判断数列an是先负后正,还是先正后负;(3)去掉数列|an|中各项的绝对值,转化为an的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,再利用数列an的前n项和公式求解;(4)将|an|的前n项和

    5、写成分段函数的形式在等差数列an中,a160,a1712,求数列|an|的前n项和解:数列an的公差d3,ana1(n1)d60(n1)33n63.令an0,即3n630,解得n20时,SnS20(SnS20)Sn2S2060n32n2n1 260.数列|an|的前n项和Sn 【例2】等差数列an中,Sn为前n项和,且a125,S17S9,数列an前多少项和最大?解:(方法一)17a1d9a1d,解得d2.从而Sn25n(2)n226n(n13)2169.故前13项之和最大(方法二)由方法一得d2.a1250,由得当n13时,Sn有最大值求等差数列前n项和Sn最值的方法:(1)寻找正、负项的分

    6、界点,可利用等差数列的性质或利用或来寻找(2)运用二次函数的图象求最值1在等差数列an中,a129,S10S20,则数列an的前n项和Sn的最大值为()AS15 BS16CS15或S16 DS17A解析:a129,S10S20,10a1d20a1d,解得d2,Sn29n(2)n230n(n15)2225.当n15时,Sn取得最大值2在等差数列an中,a17,公差为d,前 n项和为Sn ,当且仅当n8 时Sn 取得最大值,则d的取值范围为_解析:由题意,当且仅当n8时Sn有最大值,可得即解得1d. 【例3】等差数列an中,a13,公差d2,Sn为其前n项和,求.解:等差数列an的首项a13,公差

    7、d2,前n项和Snna1d3n2n22n(nN*),.把数列的通项公式拆成两项之差,即数列的每一项可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相抵消,于是前n项和变成首尾若干项之和,这一求和方法称为裂项相消法常见的拆项公式(其中nN*):.若等差数列an的公差为d,则,.()已知等差数列an的前n项和为Sn,a33,S410,则_.解析:设等差数列的首项为a1,公差为d.由题意有解得数列的前n项和Snna1dn11,裂项可得2,所以 22.探究题1已知两个等差数列an与bn的前n项和分别是Sn和Tn,且,求的值解:S2n1(a1a2n1)(2n1)an,T2n1(b1b2n1)(2n1)bn,.探

    8、究题2已知数列an为等差数列,若0的n的最大值为_11解析:0,a70且a6a70,S126(a6a7)0的n的最大值为11.探究题3等差数列an中,Smn,Snm,求Smn.解:设等差数列an的公差为d.Smma1dn,Snna1m,得(mn)a1dnm,a1d1.Smn(mn)a1d(mn)(mn)设两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,则.设等差数列an的前n项和为Sn,且a10,a3a100,a6a70的最大自然数n的值为()A6 B7 C12 D13C解析:因为a10,a6a70,a70,a1a132a70,S130的最大自然数n的值为12.1设等差数列an的前n项和为S

    9、n,若a111,a2a86,则Sn的最小值等于()A34 B36C6 D6B解析:设数列an的公差为d,a2a86,2a18d6.又a111,d2,Snna111nn(n1)n212n(n6)236,当n6时,Sn有最小值S636.故选B2等差数列an的前n项和为Sn,若S24,S410,则S6等于()A12 B18C24 D42B解析:由于an是等差数列,故S2,S4S2,S6S4成等差数列,所以2(S4S2)S2S6S4,即2(104)4S610,解得S618.故选B3设等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为()A2 B3 C4 D5C解析:因为S42(a2a

    10、3)10,所以a2a35.又S55a315,所以a33.而a43a3(a2a3),故a44,当且仅当a22,a33时等号成立,所以a4的最大值为4.故选C4已知等差数列an的公差为1,a1a2a3a99102,试求a3a6a99的值解:由题意,等差数列an的公差为1,且a1a2a3a99102,则a1a2a3a99(a1a4a7a97)(a2a5a8a98)(a3a6a99)3(a3a6a99)332d33d3(a3a6a99)99,所以a3a6a9967.5某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行,感染对象主要是成人和学龄儿童,寒冷季节呈现高发据资料统计,某市11月1日开始出现该病毒感染者,

    11、11月1日该市的病毒新感染者共有20人,此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人,由于该市医疗部门采取措施,使该病毒的传播速度得到控制,从第t天起,每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人,直到11月30日为止(1)设11月n日当天新感染人数为an,求an的通项公式(用t表示);(2)若到11月30日止,该市在这30日感染该病毒的患者共有8 670人,11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求出这一天的新患者人数解:(1)由题意得, 当nt时是公差为50,首项为20的等差数列,此时an2050(n1)50n30(1nt)当nt1时是公差为30,首项为50t30的等差数列,此时an

    12、50t3030(nt) 30n80t30(t1n30),故an(2)由(1)可知,前t日患者共有St(25t25t)人又第t1日有30(t1)80t30(50t60)人,第30日有303080t30(80t930)人故t1日至第30日共30t天的时间里共有St65t22 445t14 850.故1到30日共有StSt25t25t65t22 445t14 85040t22 440t14 850.故40t22 440t14 8508 670t261t5880即(t12)(t49)0,又1t30 ,故t12.当天新增患病人数为501230570.故11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,这一天

    13、的新患者人数为570人1已知等差数列an,求|an|的前n项和的步骤(1)确定an的通项公式;(2)根据通项公式确定数列an中项的符号,即判断数列an是先负后正,还是先正后负;(3)去掉数列|an|中各项的绝对值,转化为an的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,再利用数列an的前n项和公式求解;(4)将|an|的前n项和写成分段函数的形式2求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法:当a10,d0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;当a10时,满足的项数m使得Sn取得

    14、最小值为Sm.3利用裂项相消法求数列前n项和课时分层作业(六)等差数列的前n项和公式(第2课时)(60分钟100分)知识点1求数列|an|的前n项和1(5分)设数列an的通项公式为an2n7,则|a1|a2|a3|a15|()A139 B153C144 D178B解析:an2n7,a15,d2.Snn26n.|a1|a2|a15|a1a2a3a4a15S3(S15S3)S152S3153.2.(5分)在等差数列an中,a10,a10a110,a10a110,d0,a110,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_6或7解析:d0,|a5|a9|可化为a5a9.即a5a92a70.a70

    15、,a60.S6S7最小知识点3利用裂项相消法求数列的和6(5分)在数列an中,an(nN*)又bn,则数列bn的前n项和Sn为(A)A BC D得分7.(5分)设数列an满足对任意的nN*,Pn(n,an)满足PnPn1(1,2),且a1a24,则数列的前n项和Sn为_解析:Pn(n,an),Pn1(n1,an1),PnPn1(1,an1an)(1,2),an1an2.an为等差数列,d2.a1a22a1d4,a11.an2n1.,Sn.知识点4等差数列前n项和性质的应用8(5分)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且,则的值为()A2 B C4 D5C解析:两个等差数列an

    16、和bn的前n项和分别为An和Bn,且,4.故选C9(5分)已知等差数列的前n项和为Sn,若S130,则此数列中绝对值最小的项为()A第5项 B第6项C第7项 D第8项C解析:S130,d0.S1313a70,a70,a60且|a6|a7|.a7的绝对值最小.10.(5分)(多选)设an是等差数列,Sn是前n项的和,且S5S8,则()Ad0 Ba70CS9S5 DS6与S7均为Sn的最大值BD解析:由S5S6得a1a2a50.又S6S7,a1a2a6a1a2a6a7,a70.同理由S7S8可得a8S5,则a6a7a8a90,2(a7a8)0.由题设a70,a80,显然A,C项是错误的11(5分)

    17、已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且,则使得为整数的正整数n有()A2个 B3个C4个 D5个D解析:7.当n12,3,4,6,12,即n1,2,3,5,11时,是整数12(5分)(多选)已知等差数列an中,|a3|a9|,公差d0,则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是()A4 B5 C6 D7BC解析:在等差数列an中,|a3|a9|,公差d0,a3a90,a60.又d0,a70,S200,S200,可知an为递减的等差数列设其公差为d,则d0,S200,a1a20a10a110,a11.解:(1)设等差数列an的公差为d,依题意有解得从而an的通项公式为an2n1.

    18、(2)因为bn,所以Sn1.令1,解得n1 010,故取n1 011.16.(10分)设数列an的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意nN*,Sn是a和an的等差中项(1)证明数列an为等差数列,并求an.(2)若bnn5,求anbn的最大值,并求出取最大值时n的值解:(1)由已知,得2Snaan,且an0.当n1时,2a1aa1,解得a11.当n2时,2Sn1aan1.所以2Sn2Sn1aaanan1,即2anaaanan1,即(anan1)(anan1)anan1.因为anan10,所以anan11(n2)故数列an是首项为1,公差为1的等差数列,且ann.(2)由(1)可知ann.

    19、设cnanbn,则cnn(n5)n25n2.nN*,当n2或n3时,cn的最大项为6.故anbn的最大值为6,此时n2或n3.17.(10分)已知Sn为等差数列an的前n项和,a125,a416.(1)求n为何值时,Sn取得最大值;(2)求a2a4a6a8a20的值;(3)求数列|an|的前n项和Tn.解:(1)在等差数列an中,a125,a416,公差d3.an3n28.令an3n280且nN*,得n9.当n9时,an0;当n9时,an0;当n9时,an9时,Tna1a2a9(a10a11an)2S9Sn2(925363)n2n234.所以Tn重难强化训练(一)数列和等差数列(60分钟100

    20、分)练易错易错点1| 忽视数列是特殊的函数防范要诀数列的通项an及前n项和Sn都可看作定义域为正整数集或其子集上的函数,要善于运用函数的观点认识和理解数列问题对点集训1(5分)设ann25n6,则数列an中的最大项的值是()A BC D0D解析:此二次函数图象对称轴nN*. 当n2或3时,an取最大值,a2a30.2(5分)已知数列an的通项公式ann2kn2,若对于任意nN*,都有an1an成立,则实数k的取值范围是()Ak0 Bk1Ck2 Dk3D解析:an1an,(n1)2k(n1)2n2kn2,即k(2n1)对于任意nN*都成立,当n1时,(2n1)取最大值3,k3.3.(5分)已知数

    21、列an的通项公式ann210n11,则该数列前_项的和最大10或11解析:令an0得n210n110,即n210n110,1n11.nN*,该数列前10项为正,第11项为0.该数列前10或11项的和最大易错点2| 不能正确进行an与Sn互化防范要诀凡是已知Sn的表达式或Sn与an的关系式,都需要用到当n2时,anSnSn1;另外,也不要忽视检验n1是否也适合an.对点集训4(5分)已知Sn是数列an的前n项和,SnSn1an1(nN*),则此数列是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列C解析:SnSn1an1,Sn1Snan(n2),两式相减得anan1an1an,an0(n2)当n1

    22、时,S1S2a2,2a10即a10.an是常数列,各项均为0.5.(5分)已知数列an满足Snn21,则通项公式an_.解析:Snn21,anSnSn1n21(n1)212n1(n2)当n1时,a1S12与上式不符合an易错点3| 对等差数列的定义理解不透致误防范要诀使用等差数列的定义时容易出现以下错误:(1)对定义中“从第二项起”理解有误,常常忽略首项;(2)忽略“任意”,误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列;(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差对点集训6.(5分)已知数列an中,a11,a22,2an12an3(n2,nN*),判断an是否是等差数列解:当n2时,由2a

    23、n12an3,得an1an.但a2a11,故数列an不是等差数列.7.(10分)已知数列an的前n项和Sn满足Sn(an1)2,且an0.求an的通项公式解:Sn(an1)2.当n2时,anSnSn1(an1)2(an11)2.aa2an2an10.(anan1)(anan12)0.an0,anan12(n2)an为等差数列,公差为2.当n1时,S1a1(a11)2.a2a110.a11.an2n1.练疑难8(5分)在数列an中,a11,anan1an1(1)n(n2,nN*),则a3的值是()A BC D1A解析:在数列an中,a11,anan1an1(1)n(n2,nN*),a21a1(1

    24、)2112,解得a22,a32a2(1)3211.a3.9(5分)若lg 2,lg (2x1),lg (2x3)成等差数列,则x的值等于()A0 Blog25C32 D0或32B解析:依题意得2 lg(2x1)lg 2lg(2x3),(2x1)22(2x3),(2x)242x50,(2x5)(2x1)0,2x5或2x1(舍),xlog25.10(5分)已知数列an的通项公式为ann72,则此数列中数值最小的项是()A第10项 B第11项C第12项 D第13项C解析:ann72()2722.令,则n12.25.nN*,当n12时,an最小11(5分)已知an为等差数列,首项为,它从第10项开始比

    25、1大,那么公差d的取值范围是()Ad BdCd DdD解析:由题可得a1,且根据等差数列的通项公式可得从而解得d.12(5分)等差数列an的前n项和满足S20S40,则下列结论正确的是()AS30是Sn的最大值 BS30是Sn的最小值CS300 DS600D解析:等差数列的前n项和公式可写为Snan2bn的形式,由S20S40知Sn关于直线n30对称,但因为不知道a的符号,所以无法判断S30是最大或是最小由S20S40可知S600,故选D13.(5分)数列an满足递推关系an3an13n1(nN*,n2),a15,则使得数列为等差数列的实数m的值为_解析:a15,a23532123,a3323

    26、33195,依题意得,成等差数列,2,m.经检验m满足题设.14.(10分)已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为4.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)求数列的前n项和Tn.解:(1)由题意,得即解得所以Sn3n(1)n2n.(2)由(1),得n,所以(n1),即数列是首项为3,公差为的等差数列,故Tn3nn2n.15.(10分)已知函数f(x)2x2x,数列an满足f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:数列an是递减数列(1)解:f(x)2x2x,f(log2an)2n,2log2an2log2an2n,即an2n(看成关于an的方程)a2nan10,解得ann.an0,ann.(2)证明:作商比较,1.又an0,an1an,故数列an是递减数列.16.(10分)数列an的通项公式为ann2kn2.(1)若a2a7,求数列an的最小项;(2)若不等式ana4恒成立,求实数k的取值范围解:(1)由a2a7得k9,即ann29n22.因为nN,所以当n4或5时,an的最小项为a4a518.(2)ann2kn222,因为不等式ana4恒成立,所以3.54.5,解得9k7.所以实数k的取值范围为k|9k7

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