MBA数学必备公式(打印版).doc

1、MBA联考数学根本概念和必备公式一初等数学局部一、绝对值1、非负性：即|a| 0，任何实数a的绝对值非负。归纳：所有非负性的变量（1） 正的偶数次方根式 （2） 负的偶数次方根式 （3） 指数函数 ax (a 0且a1)0考点：假如干个具有非负性质的数之和等于零时，如此每个非负数必然为零。2、三角不等式，即|a| - |b| |a + b| |a| + |b| 左边等号成立的条件：ab 0且|a| |b|右边等号成立的条件：ab 0 3、 要求会画绝对值图像二、比和比例1、2、 合分比定理： 等比定理：3、增减性 (m0) , (m0)4、 注意本局部的应用题三、平均值1、当为n个正数时，它们

2、的算术平均值不小于它们的几何平均值，即当且仅当。2、3、4、n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，如此这n个正数相等，且等于算术平均值。四、方程1、判别式a, b, c R2、图像与根的关系= b24ac0= 00)x1 x2x1,2f(x) = 0根无实根f(x) 0 解集x x2XRf(x)0解集x 1 x 0= 00)x1 x2x1,2f(x) = 0根无实根f(x) 0 解集x x2XRf(x)0解集x 1 x 0且 02ax2 + bx + c0对任意x都成立，如此有：a0且 03、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点六、二项式1、，即：与首末等距的两项的二项式系数相等2、

3、，即：展开式各项二项式系数之和为2n3、常用计算公式4、通项公式() 5、展开式系数5、 内容列表归纳如下：二项式定理 公式所表示的定理成为二项式定理。 二项式展开式的特征 通项公式 第k1项为，k0，1，n 项 数 展开总共n1项指 数 a的指数：由；b的指数：由； 各项a与b的指数之和为n 展开式的最大系数 当n为偶数时，如此中间项第项系数最大； 当n为奇数时，如此中间两项第和项系数最大。 展开式系数之间的关系 1，即与首末等距的两项系数相等； 2，即展开式各项系数之和为； 3，即奇数项系数和等于偶数项系数和 七、数列二微积分局部一、函数、极限、连续1、单调性：注意严格单调与单调的区别设有

4、函数y = f(x)，x D，假如对于D中任意两点x1，x2(x1 x2)，都有f(x1) f(x2)(或f(x1) f(x2)，如此称函数f(x)在D上单调上升(或单调下降)。假如上述不等号为严格不等号“)，如此称函数f(x)在D上严格单调上升(或严格单调下降)。2、奇偶性： 1定义：设函数y = f(x)的定义域D关于原点O对称，假如对于D中的任一个x，都有f( x ) = f(x) (或f( x) = f(x)，如此称函数f(x)为奇函数(或偶函数)。2图像特点：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，函数y0既是奇函数，也是偶函数。3、4、常用等价无穷小：当x0时，有ex1x

5、ln(1x)x (1x)n1nx引申：当a(x) 0时，ln(1a(x)e(x)1a(x)，(1a(x)n1na(x)5、当x+时，增长速度由慢到快排列：lnx，x，x，xx6、7、闭区间上连续函数的性质1最值定理一个闭区间函数一定在某一点，达到最大值，在某一点达到最小值。2零值定理设f(x) C(a,b)，且f(a).f(b)0，。注意：零点定理只能说明存在性不能说明唯一性。应用：f(x) = 0 是一个方程，证明它在某一个区间上一定有根。二、一元函数微分学1、导数的数学定义式2、可导与连续的关系3、左右导数4、导数的几何意义设点M0(x0 , f(x0)是曲线y = f(x)上的上点，如此

6、函数f(x)在x0点处的导数f (x0)正好是曲线y=f(x)过M0点的切线的斜率k，这就是导数的几何意义。（1） 切线方程，2切线平行x轴切线方程：y = f(x0)，法线方程：x = x0(3) 切线平行y轴切线方程：x = x0，法线方程：y = f(x0)6、 常见函数求导公式f(x)CXaaxexloga|x|ln|x|f(x)0axa-1axlnaex6、7、高阶导数掌握二阶导数即可常见函数的二阶导数f(x)CXaaxexLoga|x|ln|x|f(x)0axa-1axlnaexf(x)0a(a-1)xa-2ax(lna)2ex8、可导、可微、连续与极限的关系可导一定连续，连续不一

7、定可导极限 连续 可导 可微可微9、奇偶函数，周期函数的导数1可导的偶函数的导函数为奇函数，且f(0) = 02可导的奇函数的导函数为偶函数3可导的周期函数的导函数仍为同周期函数10、微分公式*核心*：11、A12、判断函数的增减性，求函数单调区间1单调性定义2判别方法：用f(x)判断注意：设f(x)在(a，b)区间内可导如此f(x)在(a，b)内严格单调增加(减少)的充分条件是f(x)0(f(x)0)13、极值点的定义局部最大或局部最小1定义：设yf(x)，假如对x(x0d，x0d)均有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)如此称x0为f(x)的极大值点(极小值点)，f(x0)为极大值(极小

8、值)。 2判定方法：两个充分条件第一充分条件：假如f(x)在x0处连续，在x0的邻域内可导，且当x0,(f(x) x0时，f(x)0)，如此称x0为极大值点(极小值点)。第二充分条件：设f(x)在x0点的某一领域内可导且f(x0)0，f(x0)0注意：，有可能为极值，也可能不是极值。3极值存在的必要条件假如x0为f(x)的极值点，且f(x0)存在，如此f(x0)0注：f(x0)0不能推出x0为f(x)的极值点如：yx3 ，在x0处必有y014、驻点(稳定点)1215、函数的最值与其求解1假如f(x)在a，b上连续，如此f(x)在a，b上必有最大值、最小值2设函数f(x)在a,b上连续，在(a,

9、b)内有一个极值点x，如此假如x是f(x)的极大值点，那么x必为f(x)在a,b上的最大值点；假如x是f(x)的极小值点，那么x必为f(x)在a,b上的最小值点。3求最值的方法 最值是a,b整体概念，极值是局部概念 (a)求f(x)在(a,b)内所有驻点和导数不存在的点(b)求出以上各函数值与区间a,b端点的函数值(c)比拟上述数值，最大的为最大值，最小的为最小值最大值：M:maxf(a)，f(b)，f(x1)，f(x0)最小值：m:minf(a)，f(b)，f(x1)，f(x0)其中：x1，x0为f(x)所有可能的极值点16、驻点、极值点、最值点的联系与区别驻点 边界 17、函数的切线与法线

10、切线与法线求法18、函数凹凸性与其判定1凹弧a定义：如果曲线在其任一点切线之上，称曲线为凹弧b凹弧的切线斜率随着x的增大而增大，即f(x)单调递增c设f(x)在(a，b)上二阶可导，f(x)为凹弧的充要条件为f(x)0 x(a,b)(2)凸弧a定义：假如曲线在其任一点切线之下，称曲线为凸弧b凸弧的切线斜率随着x的增大的而减小，即f(x)单调递减c设f(x)在(a,b)二阶可导，f(x)为凸弧的充要条件为f(x)0(3)常见函数的性质f(x) ax(a1) ax(0a1) logax(0a1) f(x) ax lna axlna f(x) ax(lna)2 ax(lna)2 图像 性质增，凹减，

11、凹增，凸减，凹19、拐点与其判定1定义：曲线上凸弧与凹弧的分界点称为拐点。二阶导数从大于0到小于0，或从小于0到大于0，中间的过渡点称为拐点。2必要条件：f(x)存在且(x0，f(x0)为拐点，如此f(x0)03充分条件：假如f(x0)0，且在x0的两侧 f(x)异号，如此(x0，f(x0)是拐点三、一元函数积分学1、不定积分与导数的关系2、根本初等函数的不定积分公式12，3 4，5674、5、奇偶函数的积分四、多元函数1、偏导的定义设函数z = f(x, y)定义在P0(x0, y0)点的一个邻域内，假如将y固定在y0，作为x的函数f(x, y0)在x0点处的导数称为函数f(x, y)在P0

12、(x0, y0)点处对x的偏导数，记作2、一般极值124三线性代数局部一、矩阵1、矩阵的乘法一般没有交换律，即；常见可交换矩阵：(1) 逆A-1：AA-1=A-1A=E(2) 单位矩阵E：AE=EA=A(3) 数量矩阵kE：A(kE)=(kE)A=kA(4) 零阵0：A0=0A=0(5) 幂：AmAn= An Am=Am+n(6) 伴随A*：A A*= A*A=|A|E (重要)2、，当且仅当A或B可逆时才成立；对于，应该认识到B的每一列都是齐次方程组AX0的解，假如，如此齐次方程组有非零解；3、，当且仅当A可逆时，才成立；4、，当且仅当A可逆时，有AE；当AE可逆时，有A0；，仅当A为对称矩

13、阵，即时，命题才成立；5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别：。6、列表比照矩阵的逆、转置和伴随的公式逆转置伴随一般一般互换性：，；即这四种符号-1，T，*，k可以进展互换，以简化运算。7、重要结论与公式2 A与B的行向量相互等价 不改变列向量的线性关系一般用初等行变换求矩阵的秩 rA=rB4类似 |x+y|x|+|y|P(A+B)P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)56 B可逆rAB=rAB不可逆rABn时，如此其线性相关. 三、线性方程组一关于方程组解的性质二含有参数的线性方程组的求解。1齐次线性方程组AX0解题提示：对系数矩阵A进展初等变换，化成

14、阶梯型，然后按两步进展讨论：1线性方程组只有零解，即r(A)n；2线性方程组有非零解，即r(A)0时假如A与B相互独立，如此A与B必不互斥(独立不互斥)假如A与B互斥，如此A与B必不独立(互斥不独立)注意：与任事件即互斥也独立(1)定义P(AB)=P(A)P(B)(2)P(B|A)=P(B) (P(A)0)或P(A|B)=P(A) (P(B)0)，即：B的发生不受A的影响(3)0P(A)1即：A发生与否不影响B的概率P(AB)-P(A)P(AB)=P(A)P(B)-P(A)P(AB) P(AB)=P(A)P(B)四组事件中，假如其中一组相互独立，如此其余三组也相互独立，如此其余三组也相互独立

15、(6)求“n个事件至少有一个发生时转化为其对立事件“都不发生9独立试验序列(1)贝努里：n次试验中成功k次的概率：(2)直到第k次试验，A才首次发生：(3)做n次贝努里试验，直到第n次，才成功k次：二、随机变量局部1、常见随机变量的分布表如下：随机变量EXDX密度函数f(x)离散型0 1 分布PP( 1 P )Px = k=Pk(1-P) 1-k,k=0,1二项分布nPnP(1 P )连续型正态分布u标准正态分布u = 02、离散型随机变量1分布律Pk=P(X=Xk)，k=1，2，Xk x1 x2 xk Pk P1 P2 Pk 2分布律的性质(1)有界性：0Pk1应用：求待定参数值，注意求完参

16、数要验证3、二项分布1定义2各参数的意义参数n：试验次数为n次；参数P：每次试验成功的概率参数k：n次试验中成功k次3二项分布产生的背景可以是n重贝努利试验，假如用X表示n重被努力试验中事件A发生的次数，如此X服从参数为n,p的二项分布，其中p是一次试验中事件A发生的概率。，4、分布函数F(X) F(X)=P(Xx)(1)定义：F(X)在x处函数值表示点X落入区间(-，x上的概率(2)公式：P(x1Xx2)=P(Xx2)-P(Xx1)=F(x2)-F(x1)(3)分布函数性质：1)值域：0F(X)12)极限性质()，应用：求参数值3)单调性：单调不减(单调增)即假如x1x2，有F(x1)F(x

17、2)4)F(x)右连续注意：前四个性质，用来判断函数是否为分布函数5)P(X=x)=F(x)-F(x-0)6)对于x1x2，有 P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)7)对x1 x2，F(x)在x1， x2处连续P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)5、连续型随机变量密度函数f(x)的性质(1)非负性：f(x)0，即f(x)与x轴所围面积为1应用：求待定参数值注意：前两个性质用来判断函数是否为密度函数的标准(3)对于x1x2有P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)6、正态分布XN(m，s2)(1)正态分布

18、密度函数(2)f(x)图像特点ma) 密度函数的曲线关于x = 对称，是正态分布的位置参数b) 它在x = 时取到最大值P() = 越大，密度函数的取值越小；越小，其值越大，由于密度函数曲线与x轴之间的面积总是1，所以越大明确密度函数的曲线越矮越胖，而越小，密度函数的曲线越瘦高。c) x离越远，P(x)的值越小，明确对于同样长度的区间，区间离越远，X落在这个区间上的概率越小。d) ，这一条性质非常有用，应好好掌握。e) P(Xm)=P(Xm)f) 期望EX=m7、一般正态分布的标准化非常重要8、密度函数f(x)为偶函数的重要结论(2)F(-a)=1-F(a)-a aF(-a) 1-F(a)(3

19、)P(|X|0)分析：P(|X|a)=P(-aXa)=1-P(|X|a)=2(1-F(a)(5)假如EX存在，如此EX=09、数学期望有以下重要性质：(1) 假如C为常数，如此E(C) = C.(2) 假如X为一个随机变量，C为常数，如此E(CX) = CE(X).(3) 假如X为一个随机变量，C和k为常数，如此E(kx + C) = kE(x) + C.(4) 假如X,Y是两个随机变量，如此有E(X + Y) = E(X) + E(Y)有性质(2)和性质(4)，我们可以得到以下结论：假如X1,X2Xk为k个随机变量，C1,C2,Ck为常数，如此(5) 设Y是随机变量X的函数：Y= g(X),

20、其中g是连续函数，如此关于随机变量Y的数学期望，有以下结论：10、 方差与性质 (1) 假如C为常数，如此D(C) = 0,即常量的方差等于零。 (2) 假如k为常数，X为一个随机变量，如此D(kX) = k2D(X). (3) 假如C为常数，X为一个随机变量，如此D(X+C) = D(X). (4) 假如k和C为常数，X为随机变量，如此D(kX + C) = k2D(X).11、标准差数学期望EX方差DXEC=C C为常数DC=0E( kX) = kEXD( kx ) = k2DXE( X+C) = EX+CD( X+C) = DXE(XY) = EXEY独立DX = EX2-(EX)2 重

21、要科 目结论初 数1n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，如此这n个正数相等，且等于算术平均值。2奇数次方程在定义域内至少有一个实数根。微积分1连续函数必定有原函数注意：不一定有极值！2奇偶函数的导数必定为偶奇函数3奇函数的原函数必定为偶函数4周期函数的导数必定是周期函数，最小正周期不变线 代1对于AX0，当mn时，必定有无穷多解非零解2对于AX,当mn时，必定没有唯一解3零向量必定与任何向量线性相关4假如两个线性无关的向量组互相等价，如此它们包含的向量的个数必定相等 5数量矩阵可以与任何矩阵相交换概 率1空集必定与任何事件既相互独立也互斥2A、B不为,不可能事件 假如A、B互斥，如此A、B必定不互相独立 假如A、B独立，如此A、B必定相容3离散型随机变量中只有几何分布不具有记忆性，连续型随机变量中只有指数分布不具有记忆性4概率中的必考分部公式：正态分布