2021年新教材高中数学第八章8.4.1平面学案新人教A版必修第二册06.doc

1、84空间点、直线、平面之间的位置关系84.1平面目标 1.理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面；2.掌握三个基本事实及推论并会简单应用重点 平面的画法、表示；三个基本事实及推论的简单应用难点 三个基本事实及推论的简单应用 要点整合夯基础 知识点一平面的概念填一填1概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：平；无限延展；没有厚薄2画法(1)我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面(2)当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向3表示法：我们常用希腊字母，等表示平面，如平面 、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可

2、以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称答一答1课桌面、黑板面、海面是平面吗？提示：虽然课桌面、黑板面、海面给我们以平面的形象，但是平面是无限延展的，所以它们不是平面2如下图所示，平面(1)和平面(2)哪个大？提示：平面无厚薄、无大小，是无限延展的，所以两个平面之间无法比较大小3我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？提示：不对，我们通常用平行四边形表示平面，但平面是无限延展的，所以平行四边形不是一个平面 填一填答一答4如图，点A平面ABC；点A平面BCD；BD平面ABD；平面ABC平面BCDBC.知识点三平面的基本性质

3、填一填1平面基本性质的三种表示及主要作用(1)基本事实1(2)基本事实2 (3)基本事实32.推论(1)推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面(3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面答一答5如果线段AB在平面内，那么直线AB在平面内吗？为什么？提示：直线AB在平面内因为线段AB在平面内，所以线段AB上的所有点都在平面内，故线段AB上A，B两点一定在平面内，由基本事实2可知直线AB在平面内6经过三点有多少个平面？提示：当三点不共线时，由基本事实1可知，经过这三点有且只有一个平面而当三点共线时，经过这三点有无数个平面7若两个平

4、面相交，则有几条交线？若点P是这两个平面的公共点，那么点P在哪里？提示：两个平面相交只有一条交线，点P在交线上. 典例讲练破题型 类型一平面的概念、画法及表示 例1(1)给出下列命题：书桌面是平面；8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；有一个平面的长是50 m，宽为20 m；平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念其中正确命题的个数为_(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是_分析根据平面的特征及表示来判断解析(1)由平面的概念知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题都不正确(2)对于，图中没有画出平面与平面的交线，另外图

5、中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此的画法不正确同样的道理，也可知图形的画法不正确，中图形画法正确答案(1)1(2)(1)平面是无限延展的，不能度量其面积；平面没有厚薄之分，不能度量其体积；平面可以用任意平面图形来表示.(2)在平面几何中，凡是所引的辅助线都要画成虚线，但在立体几何中，能看见的线要画成实线，看不见的线要画成虚线. 变式训练1如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(A)A平面MNB平面NQPC平面 D平面MNPQ解析：MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相

6、互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”.变式训练2把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A，a：.(2)a，P，且P：.(3)a，aA：.(4)a，c，b，abcO：.类型三基本事实的运用命题视角1：共面问题例3过直线l外一点P引两条直线PA，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l共面分析根据条件点P，A，B确定一个平面，再证直线l，PA，PB在这个平面内证明如图点P，A，B不共线，点P，A，B确定一个平面.P，A，B.PA，PB

7、.又Al，Bl，l.PA，PB，l共面证明点、线共面的两种方法方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内方法二：先由有关点、线确定一个平面，再由其余元素确定一个平面，然后根据有关定理，证明这两个平面重合变式训练3已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？解：(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面内，因为B、C、D、E共面，所以点E在平面内，所以点A、E都在平面内，即A、B、C、D、E五点一定共面(2)如果B、C、D三点共线于l，若A、E都在l上，则A

8、、B、C、D、E五点一定共面；若A、E中有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面命题视角2：共线与共点问题例4如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线分析解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可证明EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理O平面BCD，即O(平面ABD平面BCD)，OBD，即B，D，O三点共线(1)证明三点共线的常用方法：方法一：首先找出两个平面，然后

9、证明这三点都是这两个平面的公共点.根据基本事实3知，这些点都在交线上.方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.变式训练4如图，已知空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DFFCDGGA12.求证：直线EF、BD、HG交于一点证明：连接EH、FG.E、H分别为BC、AB的中点，EHAC.DFFC12，DGGA12，FGAC，FGAC，EHFG且EHFG，E、F、G，H四点共面且EF不平行于GH.EF与GH相交设EFGHO，则OG

10、H，OEF.GH平面ABD，EF平面BCD，O平面ABD，O平面BCD.平面ABD平面BCDBD，OBD，即直线EF、BD、HG交于一点 课堂达标练经典 1若一直线a在平面内，则正确的图形是(A)解析：选项B、C中直线a在平面外，选项D中直线a与平面相交，选项A中直线a在平面内2若点Q在直线b上，b在平面内，则Q，b，之间的关系可记作(B)AQb BQbCQb DQb解析：点Q(元素)在直线b(集合)上，Qb.又直线b(集合)在平面(集合)内，b，Qb.3已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是1或4.解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面

11、，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面4给出下列命题：A，B，C三点确定一个平面；若直线a直线bA，则直线a与b能够确定一个平面；已知平面，直线l和点A，B，若Al，Bl，且A，B，则l.其中正确命题的序号是.解析：中，只有不共线的三点才可以确定一个平面，因此错误；中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此正确；中，由于点A，B既在直线l上又在平面内，即直线l上的两点在平面内，所以直线l在平面内，即l，因此正确综上，可知正确命题的序号是.5如图，已知D，E分别是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点(1)作直线AB与平面的交点P；(2)求证：D，E，P三点共线解：(1)延长AB交平面于点P，如图所示(2)证明：平面ABC平面DE，PAB，AB平面ABC，P平面ABC.又P，P在平面与平面ABC的交线DE上，即PDE，D，E，P三点共线本课须掌握的两大问题1解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚2在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个基本事实的作用，体会先部分再整体的思想