济南大学高等数学下历年考题答案课件.ppt

1、济南大学济南大学20112012学年第二学期课程考试试卷（学年第二学期课程考试试卷（A卷）卷）高等数学高等数学A（二）（二）0 xCxCsincos21 3 6421012 rir CABBA xzyxsin2yxyzcos2 yxz2yxcos2yxyzsin222 1、0lnlnydyxxdxyeyx1|3 3计算题：求微分方程计算题：求微分方程满足初始条件满足初始条件的特解的特解.dyyydxxxlnln )(lnln)(lnlnyydxxdCxy 2)(ln2)(ln22分离变量分离变量积分积分即即代代入入上上式式，将将eyx 1|21 C特解为特解为1)(ln)(ln22 xy4.4

2、.求幂级数求幂级数0)1(nnxn的收敛域及和函数的收敛域及和函数.解解nnnaa1lim 12lim nnn1 1 R故收敛故收敛区间区间为为(-1,1)故收敛故收敛域域为为(-1,1),1-时时当当 x,)1()1(-0 nnn级数为级数为,1时时当当 x发散发散;发散发散,)1(0 nn级数为级数为 0)1()(nnxnxs 01)(nnx)(01 nnx)1(xx2)1(1x 1 nan1Ddxdyyx)6(Dxy xy51x，其中，其中是由是由，和和所围成的闭区域所围成的闭区域.01xy xy5 10dx xxdyyx5)6(Ldyyxxydxxyxy)3sin21()cos2(.2

3、2223L22yx)0,0()1,2(，其中，其中是抛物线是抛物线上从点上从点到点到点的一段弧的一段弧.xQ解解yP 26cos2xyxy Ldyyxxydxxyxy)3sin21()cos2(2223积积分分与与路路径径无无关关)1,2()0,2()0,0(21 BAOLL选取积分路径选取积分路径 21)3sin21()cos2(2223LLdyyxxydxxyxy 102220)2(32sin21 0dyyydx 2,0,0:1 xyL 1,0,2:2 yxL 42 zdxdydzdxydydzx33.3922 yx30 z，其中，其中是圆柱体：是圆柱体：，的整个表面的外侧的整个表面的外侧

4、.解解 所围成的空间区域为所围成的空间区域为记记利用高斯公式利用高斯公式zdxdydzdxydydzx33dxdydzyx )133(22 302302013)(dzrrdrd）（柱柱面面坐坐标标 ),(vufuvvufvufvu),(),(),()(2xxfexyx五、应用题五、应用题（1010分）设分）设具有连续偏导数，且满足具有连续偏导数，且满足.求求所满足的一阶微分方程，并求其通解所满足的一阶微分方程，并求其通解.求导，求导，两边关于两边关于等式等式xxxfexyx),()(2 解解),(),(),(2-)(22xxfxxfexxfexyxxxx uvvufvufvu ),(),(由由

5、2),(),(xxxfxxfxx 得得xxexxxfexy222),(2-)(xexyy222 即即2)(xPxexxQ22)()()()(xxQCyxxPxxPdee dd 一阶线性微分方程一阶线性微分方程xexyy222 即即2)(xPxexxQ22)(dee d222d2xexCyxxx 一阶线性微分方程一阶线性微分方程d22xxCex 332xCex 济南大学济南大学20102011学年第二学期课程考试试卷（学年第二学期课程考试试卷（A卷）卷）高等数学高等数学A（二）（二）2 4xxececy221 22 022 rr CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程BA CH10微分方程

6、与差分方程微分方程与差分方程BDB11 yxy dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxxdxxeCdxe11xCdxx1 Cxxx ln1xyzarctanyzxz,，求2、xzFy ,xyexzFFyzzzy 0 xyzezyzxz,，求求),(22yxxyfzxzyz3、已知、已知，求，求212 fxyfZx 212 f yxfZy 解：解：教材章教材章9.4节课后习题节课后习题8是类似的题是类似的题Dydxdy,1,01yx yxyy及，其中，其中是由直线是由直线所围成的平面区域所围成的平面区域.10 xy四、计算下列积分（每小题10分，共30分）Dydxdy解：解：110yy

7、ydxdy 10)1(dyyyy21 1、L922 yxLyxxxyxyd)4(d)22(22、设为取正向的圆周，计算曲线积分22 xyP解：解：42 xxQLyxxxyxyd)4(d)22(2dxdyD )2(DL所所围围成成的的封封闭闭区区域域为为记记-18 dxdyxzdzdxydydzxI)(22)10(22zyxz3、计算曲面积分，其中为抛物面取下侧.解：解：)1(1:221 yxz补充补充)(上侧上侧曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式为利用高斯公式1.1 围围成成空空间间区区域域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 dvyx)122(022 ydvxdv（由对称性）（

8、由对称性）dv上式上式 110202rdzrdrd 21 1)(22dxdyxzdzdxydydzxdxdyxzdzdxydydzxI)(22)10(22zyxz3、计算曲面积分，其中为抛物面取下侧.解：解：1 21.1:1 z对于对于0投投影影为为和和向向xozyoz 11)()(22dxdyxzdxdyxzdzdxydydzx 1)(22dxdyxzdzdxydydzx Ddxdyx)1(0 Dxdxdy由对称性由对称性 2-)(22 dxdyxzdzdxydydzx11nnnx112nnn五、（10分）求幂级数的收敛域及其在收敛区间内的和函数；并求的值.1-1)(nnnxxs)(1 nn

9、x)(1 nnx)1(xx211）（x 112nnn4)21(s解解nnnaa1lim 12lim nnn1 1 R,1-时时当当 x,)1(-11 nnn级数为级数为,1时时当当 x发散发散;发散发散,1 nn级数为级数为故收敛故收敛域域为为(-1,1)CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程),(yx)0,2(x)2,0(yyxxxydd22yxO),(yxu),(yxu六，六，2.验证验证在整个在整个平面内是某一函数平面内是某一函数的全微分，并求一个的全微分，并求一个yPxxQ 2是是某某个个函函数数的的全全微微分分面面内内在在整整个个dyxxydxxoy22 解解)0,(xA),(

10、yxB取积分路径，如图：取积分路径，如图：),()0,0(22),(yxdyxxydxyxu则则 OAydyxdxxy22 ABydyxdxxy22yxdyxy202 CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程济南大学济南大学20092010学年第二学期课程考试试卷（学年第二学期课程考试试卷（A卷）卷）高等数学高等数学A（二）（二）xyeyzz ydyxdx22 02 DLdxdyyxydxxdyxy)(2222 10220rdrrd CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程伯努利方程伯努利方程2ddyxyxy 整理成整理成11dd12 yxxyy化为化为则化为线性方程则化为线性方程1

11、yz做变换做变换11dd zxxzxyyxzdddd2 de)1(e dx1dx1xCzxx xd)1(x1 xC 2x1 2xC 2x1 y12xC 21 C代入初始条件代入初始条件221y2xx CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程CDC CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程BB1.1.设设yxzyxz2sin，求 xzyxcosy1 yxz221y yxcos yxsin)(2yx y1 0围成。围成。其中其中计算计算xyxyDxydD ,2,0:,.2 2 20dx xxydy0 xy 2 x 20 xdx xydy0 2032dxx8 zdS计算计算.3的的部部分分在

12、在是是锥锥面面曲曲面面1022 zyxz1:22 yxDxoyxy面投影为面投影为在在 zdS,22yxxzx ,22yxyzy dxdydxdyzzdSyx2122 xyDdxdyyx222 10202rdrrd .0,)(.42222222）的上侧）的上侧（为上半球面为上半球面计算计算 zazyxdxdyzyx222yxaz 取取上上侧侧，方方程程为为 dxdyzyx)(222222:ayxxoy 面投影为面投影为在在 2222ayxdxdya4a )0,(2,2,2zyxzyxxyzV8 xyzzyxL8),()(1222222 czbyax 333cba,xyzV8338abc 解：解

13、：则则内接长方体的相邻边长为内接长方体的相邻边长为其体积为：其体积为：构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数求得（求得（x x，y y，z z）=四四 1.1.在已给的椭球面在已给的椭球面1222222 czbyax内的一切内接长方体内的一切内接长方体。（各边分别平行于坐标轴）中，求其体积最大者。（各边分别平行于坐标轴）中，求其体积最大者。),(zyx是该椭球面上位于第是该椭球面上位于第卦限的任一点卦限的任一点设设2.求由抛物面求由抛物面z=x2+y2 和和 平面平面z=4所围的所围的均匀立体均匀立体（体密度（体密度1）关于）关于Z轴的转动惯量轴的转动惯量.xyz04Dxyz=4z=x2+y2 vI

14、zd)(22yx 将将 向向 xy 平面投影平面投影.D:x2+y24 444222222zyxxyxx 42244222222dyddyxxxzzxyxI的收敛域及和函数的收敛域及和函数五，求幂级数五，求幂级数nnnx 1解解nnnaa1lim nnn1lim 1 R故收敛故收敛域域为为(-1,1),1-时时当当 x,)1(-1 nnn级数为级数为,1时时当当 x发散发散发散发散,1 nn级数为级数为 1)(nnnxxs)(1 nnxx 11nnnxx)(1 nnxx 2xx 1nnxxx 1)1(xxx21xx )(22yxfz02222yzxz0)()(uufuf,1)1(,0)1(ff

15、六、六、（8 8分）设函数分）设函数f(u)在在(0,+)内具有二阶偏导数，且内具有二阶偏导数，且满足等式满足等式 验证验证 若若求函数求函数f(u)的表达式的表达式.解解)(22yxfz 22)(yxxufxz 22222222222)()(yxyxxxyxufyxxufxz 22222222)()()(yxyxyufyxxuf 22222222)()()(yxyxyufyxxuf 22222222)()()(yxyxxufyxyuf 2222yzxz 22)(yxyufyz 22222222222)()(yxyxyyyxufyxyufyz 22222222)()()(yxyxxufyxyu

16、f uufuf)()(02222 yzxz0)()(uufuf)(22yxfz02222yzxz0)()(uufuf,1)1(,0)1(ff六、六、（8 8分）设函数分）设函数f(u)在在(0,+)内具有二阶偏导数，且内具有二阶偏导数，且满足等式满足等式 验证验证 若若求函数求函数f(u)的表达式的表达式.解解 令令y=y=f(u)01 yuy)()(uPuy 令令pdudpy 则则代入原方程代入原方程,得得pup1 分离变量分离变量uuppd1d 积分得积分得 ln|p|=-ln|u|+lnC所以所以 pu=C1即即1ddCuuy 解得解得21|lnCuCy 即即21|ln)(CuCuf ,

17、1)1(f由由条条件件11 C,0)1(f由由条条件件02 C)0(ln)(uuuf CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程济南大学济南大学20082009学年第二学期课程考试试卷（学年第二学期课程考试试卷（A卷）卷）高等数学高等数学A（二）（二）2120)2()1(2)1(2 zyyxx 2 nnxxxx)1()1()1()1()1(132 CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程CAD CH10微分方程与差分方程微分方程与差分方程BD22yxz)2,1,1(曲面曲面在点在点处的切平面方程为处的切平面方程为 0),(),(),(zyxfzyxFyxfz特殊地：特殊地：1,yxffn

18、0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx0)2()1(2)1(2 zyyxxxxf1)()1(x函数关于的幂级数展开式为的幂级数展开式为_ .)1(111 xx)1,1()1(11132 nnxxxxx nnxxxx)1()1()1()1()1(13222444yxyxzdz22xz1.设函数设函数，求，求 dzdyyzdxxz dyyxydxxyx)84()84(2323 2384xyxxz 2222812yxxz 三、求下列函数的偏导数或全微分（每小题求下列函数的偏导数或全微分（每小题8分，共24分）),(yxzz),(zyxxyzfzfxzyz3.设函数设函数是

19、由方程是由方程所确定，其中所确定，其中具有一阶连续的偏导数，求具有一阶连续的偏导数，求和和公式法公式法),(),(zyxxyzfzzyxF ,21ffyzFx .121ffxyFz ,12121ffxyffyzFFxzzx 解解,21ffxzFy ,12121ffxyffxzFFyzzy Ddxdyyx)23(D2 yx四、计算下列积分四、计算下列积分（每小题（每小题1010分，共分，共4040分）分）(1)，其中，其中是由两坐标轴及直线是由两坐标轴及直线所围成所围成 的闭区域的闭区域22Ddxdyyx)23(xdyyxdx2020)23(xdyyxdx2020)23(Dyxdxdye22D4

20、22 yx，其中是由圆所围成的闭区域(2)Dyxdxdye22 20202 ded 20220221 ded).1(4 e dvzyx222zzyx22223),其中其中是由不等式是由不等式所确定所确定.解解,cos2 r,20,20,cos20:r cos203020222sin2drrdddVzyx58 cos2030202sindrrdd cos20302sin2drrd 204cos4sin2 dLyxydxxdy22L1422 yx(4)，其中，其中是椭圆是椭圆的逆时针方向的逆时针方向)0,0(L解：解：因为因为在曲线在曲线所围成的区域内，故不能直接用格林公式。所围成的区域内，故不能

21、直接用格林公式。222:ryxlrllD以原点为中心作曲线以原点为中心作曲线（取逆时针方向），选择适当的（取逆时针方向），选择适当的使得曲线使得曲线全部含在曲线全部含在曲线围成的区域内，记曲线围成的区域内，记曲线与与共同围成的区域为共同围成的区域为LL,)(),(22yxyyxP .)(),(22yxxyxQ DyPxQ，内有内有恒成立，恒成立，02222 lLyxydxxdyyxydxxdy lLyxydxxdyyxydxxdy2222 2)sin(cos202222 drr的收敛域及和函数的收敛域及和函数五，求幂级数五，求幂级数)1(21)12(nnxn)()(lim1xuxunnn|)1

22、2()12(|lim222 nnnxnxn2x 解解收敛收敛,12 x当当,1时时即即 x,12 x当当，发散，发散时，级数为时，级数为 1)12(1nnx故收敛故收敛域域为为(-1,1)的收敛域及和函数的收敛域及和函数五，求幂级数五，求幂级数)1(21)12(nnxn 122)12()(nnxnxs 112)(nnx 112)(nnx 123112nnnxxxx21xx )1(2 xx222)1(1xx 解解六（六（8分）求函数分）求函数)4)(6(),(22yyxxyxf的极值的极值 22yxz)2,1,1(曲面曲面在点在点处的切平面方程为处的切平面方程为 0),(),(),(zyxfzy

23、xFyxfz特殊地：特殊地：1,yxffn0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx),(yxf),(00yx),(yxfxyz)0,0(1)函数函数在在点可微是点可微是在该点的两个一阶偏导数都存在的在该点的两个一阶偏导数都存在的 （）(A)充分条件充分条件(B)必要条件必要条件(C)充分必要条件充分必要条件(D)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件(2)函数函数在点在点(A)取得极大值取得极大值(B)取得极小值取得极小值(C)不取得极值不取得极值(D)无法判定是否取得极值无法判定是否取得极值 处（处（）(3),(yxf0),(),(0000yxfyxfyx),(0

24、0yxA、),(yxf设可导函数设可导函数满足满足则则 ()是是的极值点的极值点 ),(00yxB、),(yxf是是的驻点的驻点 ),(00yxC、),(yxf是是的连续点的连续点 ),(yxfD、),(00yx在在处可微处可微（8分）求函数分）求函数)4)(6(),(22yyxxyxf的极值的极值 3zyx34.4.曲面曲面在任一点处的切平面与坐标轴的截距之和为在任一点处的切平面与坐标轴的截距之和为 (A)；(B)3；(C)9；(D)1.0)(21)(21)(21000000 zzzyyyxxx),(000zyx)(21222000000zyxzzyyxx 3000 zzyyxx0003,3

25、,3zyx历年考题：历年考题：去年：去年：交换次序交换次序积分积分 1010223ydxyxdy10yx 112 xy1 10102223xdyyxdx围成。围成。其中其中计算计算xyxyDxydD ,2,0:,02 20dx xxydy0D422 yxDd_为圆形闭区域为圆形闭区域，则，则Dydxdy,1,01yx yxyy及，其中，其中是由直线是由直线所围成的平面区域所围成的平面区域.10 xy LydxxdyxyyxL22221:的的逆逆时时针针方方向向，求求圆圆周周22,xyQyxP LdyyxdxyxaBaAayxL)(),0()0,(:222）（求求的的弧弧段段，到到的的逆逆时时针

26、针方方向向从从沿沿圆圆周周 Ddxdyxy)(22 10220rdrrd xyoLA(a,0)B(0,a)yxQyxP ,yPxQ 1与路径无关 Ldyyxdxyx)(）（OBAOdyyxdxyx)(）（),0(,0 :O (a,0)x ,0 :ayxByAO 0axdxdyyxdxyxa)()(0 00 aydy0dyyxdxyxa)()(0 00的一段。的一段。到到抛物线抛物线沿沿是从是从计算曲线积分计算曲线积分)1,1()0,0(,sincos2MxyOLydxeydyeLxx 2xy O)1,1(M解：解：yexQyPyeQyePxxxcoscos,sin 积积分分与与路路径径无无关关

27、)1,1()0,1()0,0(MAO选取积分路径选取积分路径)0,1(A)1,0(,1 :A(0,1)x ,0 :yxMyOA AMOAxxLxxydxeydyeydxeydyesincossincos 1010cos0ydyedx1sine.0,)(2222222）的上侧）的上侧（为上半球面为上半球面去年计算去年计算 zazyxdxdyzyx222yxaz 取取上上侧侧，方方程程为为 dxdyzyx)(222222:ayxxoy 面投影为面投影为在在 2222ayxdxdya4a zdS去年计算去年计算的的部部分分在在是是锥锥面面曲曲面面1022 zyxz1:22 yxDxoyxy面投影为面

28、投影为在在 zdS,22yxxzx ,22yxyzy dxdydxdyzzdSyx2122 xyDdxdyyx222 10202rdrrd 1.微分方程微分方程0yyx的通解为的通解为 Cxy xyxy ddxdxyy d1|ln|lncxy 1|lncxy 1cexy 2.求微分方程)0(,12yxydxdy的特解。xeyarctan21xdxydy Cxy arctan|ln dxxydy211两边积分得两边积分得 Cxey arctan|Cxey arctanxecyarctan1 21CxeCy21,CC0 yy3.函数函数(其中其中是任意常数是任意常数)是微分方程是微分方程 A.通解

29、通解;（B）特解特解;（C）是解是解,但即不是通解也不是特解但即不是通解也不是特解;（D）不是解不是解C Cyxedxdy 5微分方程的通解为dxedyexy Ceexy 0cos)cos(dyxyxdxxyyx5齐次方程齐次方程的通解为的通解为uxy 令令uxy dxduxudxdy uuudxduxucoscos1 0cos)cos1(dyxydxxyxyudxduxcos1 dxxudu1cos cxu|lnsincxxy|lnsin0yyxCxy 21CxeCy21,CC0 yy)0(,12yxydxdy04级本科1微分方程的通解为 2函数(其中是任意常数)是微分方程A.通解;B.特解

30、;C.是解,但即不是通解也不是特解;D.不是解的特解。3.求微分方程的 c xyy2)sin4cos3(2xxeyxxxeyyy 2；)(10 xBBex；)(10 xBBxex；)(102xBBexx；xBe07-081微分方程5以为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程为 5微分方程的特解形式应设为 （B）（C）(D)的通解为(A)C)(xf)(xfxdttfxf1)(1)()(xfx)()(xfxf dxxfxdf)()(1)(lnCxxf xCexf)(1)1(f1 eC1)(xexf08-092、设函数可导，且满足方程求解：方程两边对求导得：得 所以08-091、求极限求极限：xyxy

31、yx11lim01 一一二，二，)(1.3122222 yxdxdyyx义可知，义可知，按照二重积分的几何意按照二重积分的几何意 323（1）.【全微分全微分】全微分各偏微分之和全微分各偏微分之和dvvzduuzdz uvxzxyy(2)xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 三（3）f 具有一阶连续偏导数,)(),(确定确定，是由方程是由方程设函数设函数zyxzyxfzyxzz 求.,yzxz 【隐函数的求导法则【隐函数的求导法则】(1)公式法公式法(2)推导法推导法(直接法直接法)方法步骤方法步骤 x、y、z 等各变量地位等同等各变量地位等同0),(zyxF),(yxzz zxFFxz

32、 zyFFyz 搞清哪个搞清哪个(些些)是是因变量因变量、中间变量中间变量、自变量自变量；将方程将方程(组组)两边同时两边同时对对某个某个自变量自变量求求(偏偏)导导；(3)方程方程两边求全微分两边求全微分(抽象函数时不可用)二重积分的计算方法二重积分的计算方法 1利用直角坐标计算利用直角坐标计算.),(),(DDdxdyyxfdyxf（1）X-型区域：型区域：bxaxyxD ),()(:21 )()(21),(),(xxbaDdyyxfdxdxdyyxf.关键：关键：选择积分次序选择积分次序)(2xy )(1xy xyoDab（2）Y-型区域：型区域：,),()(:21dycyxyD .),

33、(),()()(21 yydcDdxyxfdydxdyyxf xyoD)(1yx )(2yx cd 2利用极坐标计算利用极坐标计算 ),()(:21D DDddfdxdyyxf )sin ,cos(),()()(21)sin ,cos(dfd 1)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()()(21 rdrrrfd 2)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(0 rdrrrfd 3)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(020 rdrrrfd2 2、三重积分的计算、三重积分的计算.),(),(),(21 xyDyxzyxzdzzyxfdxdy

34、 ),(),(21),(zxyzxyDdyzyxfzxxzdd ),(),(21),(zyxzyxDdxzyxfzyyzdd )(),(21zDccdxdyzyxfzd )(),(21xDaadydzzyxfxd dxdydzzyxf),(D(y)bbdxf(x,y,z)dzdy21;,),()1Dzoxyozxoy投投影影域域确确定定上上投投影影或或或或往往坐坐标标面面把把 直角坐标系下三重积分化累次积分直角坐标系下三重积分化累次积分:重积分为三次积分；重积分为三次积分；的一个累次积分，化三的一个累次积分，化三再取再取D)3点点为为上上限限。，穿穿入入点点为为下下限限，穿穿出出穿穿过过区区域

35、域正正方方向向引引直直线线或或或或轴轴上上任任意意一一点点出出发发沿沿从从),()2yxzD.)4 计算计算注：注：相相交交不不多多于于两两点点情情形形的的边边界界曲曲面面的的直直线线与与闭闭区区域域内内部部）且且穿穿过过闭闭区区域域或或轴轴（或或适适用用于于平平行行于于Syxz ,投影穿线法z先二后一法先二后一法先求一个二重积分再求一个定积分先求一个二重积分再求一个定积分截面法截面法;,)121ccz得投影区间得投影区间轴）投影，轴）投影，向某坐标轴（如向某坐标轴（如把积分区域把积分区域;,)221zDxoyzccz，得截面，得截面去截去截平面的平面平面的平面轴且平行于轴且平行于用过用过对对

36、 );(,),()3zFzdxdyzyxfzD的函数的函数其结果为其结果为计算二重积分计算二重积分 21)()4ccdzzF最后计算定积分最后计算定积分 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf),(),(21即即xyzozD解解1|,),(222222czbyaxyxDz czc ,2 zDccdxdydzzdxdydzz 2)1()1(222222czbcza ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc 原式原式1)1()1(22222222 czbyczax(2)柱面坐标柱面坐标.),sin,cos(),(dzrdrdzrrfdvzyxf球面坐标球面坐标 dxd

37、ydzzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf .,sin,coszzryrx ,dzrdrd dv .cos,sinsin,cossin rzryrx dv,sin2 ddrdr DDxDfxDfdxdyyxfdxdyyxfDyDDDDD为为奇奇函函数数上上关关于于在在为为偶偶函函数数上上关关于于在在上上可可积积分分，则则轴轴对对称称，函函数数在在关关于于与与有有界界闭闭区区域域），且且、设设平平面面区区域域,0,),(2),(112121 DDyxDfyxfdxdyyxfdxdyyxfDyxDDDDD为为奇奇函函数数或或关关于于上上关关于于在在为为

38、偶偶函函数数且且关关于于关关于于上上可可积积分分，则则在在轴轴均均对对称称的的区区域域，函函数数轴轴、是是关关于于有有界界闭闭区区域域），、设设平平面面区区域域,0,),(4),(214321 利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化三重积分的利用对称性简化三重积分的 计算计算面面对对称称的的区区域域，是是关关于于设设三三维维空空间间有有界界闭闭区区域域xoy21 .),(上可积上可积在在 zyxf ,0,),(2),(1为为奇奇函函数数关关于于，为为偶偶函函数数关关于于zfzfdvzyxfdvzyxf 上上可可积积，在在在在第第一一卦卦限限部部分分，函函数数为为对对称称的的区区域域，是是关

39、关于于三三个个坐坐标标面面均均区区域域设设三三维维空空间间上上的的有有界界闭闭 ),(1zyxf dvzyxf),(,0,),(81中中某某一一个个变变量量为为奇奇函函数数至至少少关关于于均均为为偶偶函函数数，关关于于yxzfyxzfdvzyxf yozxxozy例例 用球面坐标计算用球面坐标计算.2 dvz其中其中.1 :222 zyx解解画画 图。图。确定确定 r，的上下限。的上下限。(1)将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得.20 (2)任取一任取一,2 ,0 过过 z 轴作半平面，得轴作半平面，得.0 (3)在半平面上，任取一在半平面上，任取一,0 过原点作过原点作射线，得射线，得

40、.10 rxyzo即即 .10,0,20 :r dvz2 dddrrr 2 22sincos .cos,sinsin,cossin rzryrx ddrdrdvsin2 例例 计算计算.)(222 dvzyx其中其中 由曲面由曲面22yxz 和和2222Rzyx 围成。围成。)0(R将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得.20 任取一任取一,2 ,0 过过 z.40 在半平面上，任取一在半平面上，任取一,4,0 过原点作射线，得过原点作射线，得.0Rr 解解轴作半平面，得轴作半平面，得xyzoR .0,40,20 :Rr dvzyx)(222 dddrrr 2 2sin Rdrrdd0440

41、20 sin ).22(515 R（逆时针方向）。（逆时针方向）。其中其中、求、求12322 yxCyxydxxdyC:)(解：解：)(,)(222222yxxQyxyP 令令时，有时，有当当022 yx222222)(yxxyxQyP xyD应应用用格格林林公公式式，有有复复连连通通区区域域对对于于围围成成的的区区域域为为和和记记内内的的圆圆周周位位于于作作选选取取适适当当小小的的则则有有所所围围成成的的区区域域为为记记,:,),(,11222000DDlCryxlDrDDC 0222222 lCyxydxxdyyxydxxdy)()()(取的是逆时针方向取的是逆时针方向其中其中l 2022

42、222222222)sincos()cos(sin)sin(cos)()(rrrdrrdryxydxxdyyxydxxdylC 2021d方法一：的的定定义义域域22arccos),(yxzzyxf 交换次序后等于交换次序后等于dyyxfdxxx 402),(06-071，2，二次积分 LdsyxxL4,230,30则则为为设设的的幂幂级级数数展展开开为为关关于于函函数数xxy211,4 处处的的切切平平面面方方程程为为上上点点曲曲面面)2,1,1(4,522Pyxz 二，二，条条性性质质：处处的的下下面面在在点点考考虑虑二二元元函函数数4),(),(,100yxyxf连续连续可微可微两个偏导

43、数连续两个偏导数连续两个偏导数存在两个偏导数存在则有（则有（）ABCD5)0,0(232的的是函数是函数坐标原点坐标原点xyyxz A,既是驻点也是极值点既是驻点也是极值点B,驻点但非极值点驻点但非极值点C,极值点但非驻点极值点但非驻点D,既非驻点也非极值点既非驻点也非极值点),(yxfz ),(00yx定理定理2（充分条件充分条件）设函数设函数在点在点的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx,0),(00 yxfy，令令 Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，3，下列级数中，条件收敛的是（，

44、下列级数中，条件收敛的是（）131100,1,nnnnBnA 112)1(,sin)1(,nnnnnDnnC）（收敛，则级数收敛，则级数若级数若级数 121,4nnnnaa一定发散一定发散一定收敛一定收敛,BA收敛性不能确定收敛性不能确定绝对收敛绝对收敛,DC）从从几几何何上上可可解解释释为为（曲曲线线积积分分，设设 LdsyxPyxP),(,0),(5一块柱面的面积一块柱面的面积一个曲顶柱体的体积一个曲顶柱体的体积BA,的质量的质量曲线曲线所做的功所做的功变力沿曲线变力沿曲线CDLC,三，计算题三，计算题yxzxzyxz 2,tanln,1求求已知已知解：解：yxyyyxyxxz2sin21

45、.sec.tan12yyxyyxyyxz)2sin()2sin(222 )2(2cos2sin)2sin(222yxyxyyxyxy )2cos22(sin)2sin(22yxyxyxyxy dzdydzdxzyxzyx,10)2(222求求 解解:的函数的函数是是zyx,两边对两边对z求导数求导数 022201zdzdyydzdxxdzdydzdx zdzdyydzdxxdzdydzdx1由克莱姆法则由克莱姆法则;1111xyyzyxyzdzdx xyzxyxzxdzdy 1111dydzdxdzzyxzyx,10,2222求求已知已知 四，计算四，计算0,0,|),(,1222222 yx

46、byxayxDdxdyyxDzxyx+y+z=102 2.计算计算,zyxxddd其中其中 是由平面是由平面x+y+z=1与三个坐标面与三个坐标面所围闭区域所围闭区域.D:0 y 1x,0 x 1 zyxxddd yxxzxyx101010ddd241 11Dx+y=1 xy yxDzxyx10ddd。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy 解：解：,),(的直线的直线轴轴作平行与作平行与过点过点zDyx.10yxz 穿线穿线投影投影,sincos,1 Lxxydxeydye计算曲线积分计算曲线积分）五，（五，（的的一一段段到到沿沿抛抛物物线线为为从从)1,1()0,0(2MxyL yexQy

47、PyeQyePxxxcoscos,sin 积积分分与与路路径径无无关关)1,1()0,1()0,0(21BAOLL选取积分路径选取积分路径 ABOAxxLxxydxeydyeydxeydyesincossincos 1010cos0ydyedx1sinsin10eye 1,0,0:xyOA1,0,1:yxAB的的整整个个边边界界曲曲面面是是立立方方体体其其中中计计算算曲曲面面积积分分10,10,10,),2(zyxxyzdS解解:设0:,1:,0:,1:,0:,1:654321 zzyyxx 1dSzyx1:1 x 1010:zyDyozyz投影投影向向 10dzz 10dyy 654321S

48、zyxd 原式=xyz 531Szyxd yzDyzdydz41 由对称性，结果为由对称性，结果为43求其收敛区间，和函数求其收敛区间，和函数六，已知幂级数六，已知幂级数,11nnxn 的和的和并求出数项级数并求出数项级数 121nnn收敛收敛都收敛，证明级数都收敛，证明级数和和七，已知级数七，已知级数 121212)(nnnnnnnvuvu05-06处的切线方程处的切线方程在点在点曲面曲面)1,1,1(,132tztytx 值等于值等于dxxxdyy 0sin 2，积分 dzyxz则则设函数设函数),ln(,322收敛半径为收敛半径为幂级数幂级数 1212,4nnnxn 3,)(),2)(,

49、5bxxfxf则则上上的函数，在的函数，在是周期为是周期为 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf付氏级数为付氏级数为)()(,1:.32222 DdxdyyxyxD则则若区域若区域 1022022)(rdrrddxdyyxD 2 xy二，二，)(1.2122222 yxdxdyyx义可知，义可知，按照二重积分的几何意按照二重积分的几何意 3210，收敛收敛在在级数级数3)1(1 xxannn)(11 nnnxxa在在则级数则级数收敛收敛在在2 t 1nnnta级数级数绝对收敛绝对收敛在在2|t 1nnnta级数级数收敛收敛级数级数 12nnna三，三，)2,0(33|,3xzax

50、yzz 求求已知已知.10,0,所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中四，计算四，计算 xyyxDxydD 的一段。的一段。到到上从上从是曲线是曲线五，计算曲线积分五，计算曲线积分)2,1()0,0(arcsin,)2sin()2cos(BOxyLdxyyedyxyeLxx 2cos yexQyPx积积分分与与路路径径无无关关)2,1()0,1()0,0(21 BAOLL选取积分路径选取积分路径 ABOAxxLxxdxyyedyxyedxyyedyxye)2sin()2cos()2sin()2cos(2010)2cos(0 dyyedx e1,0,0:xyOA2,0,1:yxAB的和函数的和