深圳市必修一第四单元《函数应用》检测(有答案解析).doc

1、一、选择题1设，若关于的函数有三个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）ABCD2关于x的方程有4个不同的解，则实数a的取值范围是（ ）AB C D3已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离与速度之间有如下关系式：，其中k是比例系数，且是汽车及其载重质量之和.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从刹车到停车需要走.当这辆卡车装载等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物及以外处停车，则最高速度是（设司机发现障碍物到踩刹车经过）（ ）ABCD4已知方程有两个实根，则实数的取值范围为（ ）ABCD5关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）A BC

2、D6已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围是（ ）ABCD7若为奇函数，且是 的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点 （ ）ABCD8若函数的图象是连续不断的，且，则下列命题正确的是( )A函数在区间(0 , 1)内有零点B函数在区间(1 , 2)内有零点C函数在区间(0 , 2)内有零点D函数在区间(0 , 4)内有零点9已知函数，若函数有3个不同的零点，（），则的取值范围是( )ABCD10已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD11已知函数是奇函数且当时是减函数，若，则函数的零点共有（ ）A个B个C个D个12为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先

3、提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当较小时，）A1.27B1.26C1.23D1.22二、填空题13已知是定义在上的函数，且，则函数在区间上零点的个数为 14已知函数，则方程实根的个数是_15已知函数，若函数 （且）在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是_.16已知函数f(

4、x)若关于x的方程f(x)k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是_17一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么这个人至少经过_小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：）18用符号表示不超过的最大整数，例如：；.设函数有三个零点，且，则的取值范围是_.19已知函数，若不等式对一切实数恒成立，则的最小值为_.20若关于x的方程（且）恰有两个解，则k的取值范围是_.三、解答题21已知函数，其中且.（1）若函数在区间单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，

5、若关于的方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围.22随着科技的发展，智能手机已经开始逐步取代传统渗透进入了人们娱乐生活的各个方面，我们的生活已经步入移动互联网时代.2020年，某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，计划用一年时间进行试产试销.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本280万，每生产(千部)手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润(万元)关于年产量(千部)的函数关系式(利润销售额成本)；（2）2020年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？23

6、倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为，设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.（1）试求改良后的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数

7、据：取）24某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完（1）求制造商所获月利润L(x)（元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润25已知二次函数.(1)若是的两个不同零点,是否存在实数,使成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.(2)设,函数,存在个零点.(i)求的取值范围;(ii)设分别是这个零点中的最小值与最大值,求的最大值.26如图所示，已知、（其中）是指数函数图像上的

8、三点(1)当时，求的值；(2)设的面积为，求关于的函数及其最大值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【分析】由得或，作出函数的图象，可得需有两解，有此可得的范围【详解】据题意有三个解由得或，易知只有一个解，必须有两解，由图象知故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，解题时根据零点的定义化为方程的解的个数，进而转化为的解的个数，再利用数形结合思想，考虑函数的图象与直线的交点个数问题掌握转化思想是解题关键2C解析：C【分析】由可得，转化为与的图象有4个不同的交点，作出，数形结合即可求解.【详解】由可得，令 ，若关于x的方程有4个不同的解，则与的图象有4个不同

9、的交点，是偶函数，当时，在单调递增，在单调递减，所以的图象如图所示：当时，若与的图象有4个不同的交点，由图知，故选：C【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3D解析：D【分析】根据时，求出，求出司机发现障碍物到踩刹车经过，汽车行驶的距离，再由不等式可解得结果.【详解】因为，且当时，所以，司机发现障碍物到踩刹车经

10、过，汽车行驶的距离为，由，得，即，解得.则最高速度是.故选：D.【点睛】关键点点睛：理解题意，找出题目中的不等关系是解题关键.4B解析：B【分析】先将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题，再利用判别式和韦达定理即可求出实数的取值范围.【详解】设，则，则方程有两个实根可转化为方程有两个正根，则利用判别式和韦达定理得，解得：；所以实数的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点睛：将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题是解决本题的关键.5D解析：D【分析】画出函数与图象可得【详解】数形结合法：画出函数与图象可得由图可得：解得 或解得故选：D【点睛】数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察

11、图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.6A解析：A【分析】分别求出函数和的零点，然后作出函数与函数的图象，结合函数恰有两个零点，可得出实数的取值范围.【详解】解方程，解得，解方程，解得.作出函数与函数的图象如下图所示：要使得函数恰有两个零点，则或.因此，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在

12、同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.7A解析：A【解析】试题分析：根据题意有，所以，而，所以有是函数的零点，故选A考点：函数的零点的定义8D解析：D【解析】解：因为f（0）0，f（1）f（2）f（4）0，则f（1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象可得函数f（x）必在区间（0，4）内有零点因为f（0）0，f（1）f（2）f（4）0，则f（1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x轴相交有多种可能，如图所示：所以函数f（x）必在区间（0，4）内有零点，故选D9D解析：D【分析】作出函数的图象，由函数的图象与直线的交点得的范围与

13、关系，从而可求得的取值范围【详解】函数的零点就是函数的图象与直线的交点的横坐标，作出函数的图象，作出直线，如图，由图可知，由得（舍去），故选：D【点睛】本题考查函数的零点，解题关键是掌握转化与化归思想，函数零点转化为函数图象与直线的交点，由数形结合思想确定零点的性质，得出结论10A解析：A【分析】利用十字相乘法解，得或，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可【详解】解：若有三个零点，即有三个根，即或当时，由，即，则或，即或，则或无解，此时方程只有一个解，则有两个不同的根，作出的图象如图：由图象知，则，即，即实数的取值范围是，故选：A【点睛】本题主要考查函数零点个数的应

14、用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键11D解析：D【解析】根据题意，函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0，当x（0，+）时是减函数，且f（1）=0，则函数在（0，+）上只有一个零点，若函数y=f（x）是奇函数且当x（0，+）时是减函数，则f（x）在（-，0）为减函数，又由f（1）=0，则f（-1）=-f（1）=0，则函数在（-，0）上只有一个零点，故函数y=f（x）共有3个零点，依次为-1、0、1，对于函数，当时，解得，当时，解得或， 当时，解得或. 故函数的零点共有7个.故选D点睛：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键

15、是分析得到函数y=f（x）的零点，注意计算的准确性.12B解析：B【分析】把已知数据代入公式计算【详解】由题意，,故选：B【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题二、填空题1311【分析】令函数得到方程从而化函数的零点为方程的根再转化为两个函数的交点问题从而解得【详解】解：令函数得到方程当时函先增后减在时取得最大值1而在时也有；当时在处函数取得最大值而在时也有；当时在处函解析：11【分析】令函数，得到方程，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得【详解】解：令函数，得到方程，当时，函先增后减，在时取得最大值1，

16、而在时也有；当时，在处函数取得最大值，而在时也有；当时，在处函数取得最大值，而在时也有；，当时，在处函数取得最大值，而在时也有；综合以上分析，将区间分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点故答案为：11【点睛】本题考查函数的零点，对于较为复杂的函数的零点，可以转化为常见函数的图象的交点来考虑，本题属于中档题14【分析】解方程可得或然后分和解方程或由此可得出结论【详解】解方程可得或当时由可得解得由可得解得（舍）；当时由可得则解得或由可得则解得或综上所述方程实根的个数是故答案为：【点睛】方法点睛：判定函数的零解析：【分析】解方程可得或，然后分和解方程或，由此可得出结论.【详

17、解】解方程可得或.当时，由可得，解得，由可得，解得（舍）；当时，由可得，则，解得或，由可得，则，解得或.综上所述，方程实根的个数是.故答案为：.【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.15【分析】将函数（且）在区间上有4个不同的零点转化为函数与函数的图象在区间上有4个不同的交点再根据函数的奇偶性和单调性作出函数的图象与函数的图象利用图象【详解】所以为偶函数设则因为所以即因为所以所以所解析：【分析】将函

18、数 （且）在区间上有4个不同的零点转化为函数与函数的图象在区间上有4个不同的交点，再根据函数的奇偶性和单调性作出函数的图象与函数的图象，利用图象【详解】，所以为偶函数，设，则，因为所以，即，因为，所以，所以，所以，所以，即，所以在上递增，因为为偶函数，所以在上递减，所以当时，取得最小值，因为函数 （且）在区间上有4个不同的零点，所以函数与函数的图象在区间上有4个不同的交点，作出两个函数的图象如图：由图可知，即，解得.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参

19、数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解16【分析】问题等价于函数f(x)与函数yk的图象有三个不同的交点画出函数的图象然后结合图象求解即可【详解】关于x的方程f(x)k有三个不同的实根等价于函数y=f(x)的图象与函数yk的图象有三个解析：【分析】问题等价于函数f(x)与函数yk的图象有三个不同的交点，画出函数的图象，然后结合图象求解即可【详解】关于x的方程f(x)k有三个不同的实根，等价于函数y=f(x)的图象与函数yk的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知

20、实数k的取值范围是(1,0)【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解175【分析】先根据题意设小时后才能开车再结合题中条件：血液中的酒精含量不超过009mg/mL得到一个关于的不等关系再根据指对数不等式的求解即可【详解】设小时后才能开车则有即两边取对数有因为故代入可得故解析：5【分析】先根据题意设小时后才能开车再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0

21、.09mg/mL,”得到一个关于的不等关系,再根据指对数不等式的求解即可.【详解】设小时后才能开车,则有,即,两边取对数有,因为故.代入可得.故最小为5.故答案为：5.【点睛】本题主要考查了指对数运算在实际情景中的运用,需要根据题意建立联系,再根据对数运算法则代入近似值计算.属于基础题.18【分析】由题意可知得；令可知单调递增区间为单调递减为作出的草图由图可知所以而所以即可得由此即可求出结果【详解】因为所以或由得由得令则所以当时单调递增时单调递减事实上当时当时由图显然所以而所以解析：【分析】由题意可知，得；令，可知单调递增区间为，单调递减为，作出的草图，由图可知，所以，而，所以，即，可得，由此

22、即可求出结果.【详解】因为，所以或.由得，由得.令，则，所以.当时，单调递增，时，单调递减.事实上，当时，当时，.由图显然，所以，而，所以，即.所以，即解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了导函数在函数零点中的应用，属于难题.192【分析】根据恒成立可知同理得出故的最小值为2【详解】由恒成立可得即恒成立而且为周期函数故且同理可得的最小值为故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的性质考查不等式恒成立考查分析问题和解决问题的能力考解析：2【分析】根据恒成立可知，同理得出，故的最小值为2【详解】由恒成立，可得，即恒成立，而，且为周期函数，故，且，同理可得，的最小值为.故答案为：2.【点睛】本题主要考

23、查函数的性质，考查不等式恒成立，考查分析问题和解决问题的能力，考查学生的逻辑推理能力.20【分析】根据函数与方程之间的关系转化为函数图象交点个数问题结合指数函数的性质利用数形结合进行求解即可【详解】解：不妨设则作出函数的图象如图：要使方程（且）恰有两个解则即实数k的取值范围是故答案为：【解析：【分析】根据函数与方程之间的关系，转化为函数图象交点个数问题，结合指数函数的性质，利用数形结合进行求解即可.【详解】解：不妨设，则，作出函数的图象如图：要使方程（且）恰有两个解，则，即实数k的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用指数函数的性质转化为两个函数的交点个数问题，利用数

24、形结合是解决本题的关键.三、解答题21（1）或；（2）.【分析】（1）由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式组，解之可得；（2）把对数方程转化为指数方程，换元后转化为一元二次方程，再由二次方程根的分布知识得结论【详解】解（1）由复合函数的单调性法则，以及的定义域可得或或（2）原方程（其中），其中），令，原条件关于的方程在区间内有两个不同的根记，由二次方程根的分布的求解方法可得【点睛】关键点点睛：本题考查复合函数的单调性，对数方程解的问题对数方程的解的个数问题的解题关键是进行转化，一是由对数方程转化为指数方程，二是指数方程转化为一元二次方程，最后由一元二次方程的根的分布知识可求解22（1

25、）；（2）2020年产量为100(千部)时，企业所获利润最大最大利润是8970万元.【分析】（1）分与写出分段函数的解析式即可；（2）分两段分别求函数的最大值，比较两个值的大小，即可求出函数的最大值.【详解】（1）当时，当时，（2）若，当时，万元若，当且仅当时，即时，万元.因为.所以2020年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是8970万元.答（1）（2）2020年产量为100(千部)时，企业所获利润最大最大利润是8970万元.【点睛】关键点点睛：在实际问题中分类讨论求出函数的解析式，求最大值时，要分别求自变量在不同区域的最值，然后比较大小，得出函数的最值.23（1）；（2）6

26、.【分析】（1）根据改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为，得到，然后再令求解.（2）根据所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，得到求解.【详解】（1）由题意得，所以当时，即，解得，所以，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意可得，整理得，即，两边同时取常用对数，得，整理得，取代入，得，又因为，所以.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】方法点睛：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增

27、长率，x为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解24（1）；（2）月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元【分析】（1）分和时两种情况，利用利润销售额成本列式即可；（2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可.【详解】（1）当0x40时，L(x)1000x10x2400x300010x2600x3000；当40x100时，L(x)所以（2）当0x40时，L(x)10(x30)26000，所以当x30时，L(x)maxL(30)6000当40x100时，当且仅当，即x50时取等号因为64006000，所以x=50时，L

28、(x)最大答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，涉及二次函数求最值和基本不等式求最值，属于基础题.25(1) 不存在.理由见解析；(2) (i) (ii) 【分析】(1) .假设存在实数满足题意，由韦达定理可得：，解得,又，即，综合可得假设不成立；(2) (i)作出函数的图象，观察图像即可求出的取值范围;(ii)设直线与此图象的最左边和最右边的交点分别为.即，因为，代入运算可得解.【详解】解:(1)依题意可知,.假设存在实数,使成立.因为有两个不同零点，.所以,解得.由韦达定理得所以解得,而,故不存在.(2)因为,设,则,当时,

29、;当时,.(i)作出函数的图象，如图所示,所以. (ii)设直线与此图象的最左边和最右边的交点分别为.由,得由,得所以因为，所以当时，取得最大值.故的最大值为.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点之间的关系，重点考查了重要不等式及数形结合的数学思想方法，属中档题.26（1）48；（2）【分析】（1）根据指数运算法则求解，（2）作辅助线，将所求三角形面积转化为一个大直角三角形面积减去一个小直角三角形面积以及一个直角梯形面积，利用坐标表示面积，最后根据二次函数性质求最值.【详解】（1）， 当时，； (2)过作直线垂直于轴，分别过作垂直于直线，垂足分别为，则 即关于的函数为：， 令，因为在上是增函数，再令，则在上是减函数，；而在区间上是增函数，所以，函数在区间上是减函数，故当时， 【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.