江苏省XX中学平面向量及其应用练习题(有答案).doc

1、一、多选题1下列说法中错误的为（ ）A已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C若，则在方向上的投影为D非零向量和满足，则与的夹角为602已知非零平面向量，,则（ ）A存在唯一的实数对，使B若，则C若，则D若，则3在中，分别是内角，所对的边，且，则以下说法正确的是（ ）AB若，则C若，则是等边三角形D若的面积是，则该三角形外接圆半径为44在中，内角，所对的边分别为，的面积为.下列有关的结论，正确的是（ ）AB若，则C，其中为外接圆的半径D若为非直角三角形，则5在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有（ ）AB若，则C若，则D6设P是

2、所在平面内的一点，则（ ）ABCD7在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（ ）ABCD8在中，角，所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）AB是钝角三角形C的最大内角是最小内角的倍D若，则外接圆半径为 9在ABC中,若,则ABC的形状可能为( )A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形10已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（ ）ABCD11已知、是任意两个向量，下列条件能判定向量与平行的是（ ）ABC与的方向相反D与都是单位向量12下列命题中，正确的是（ ）A在中，B在锐角中，不等式恒成立C在中，若，则必是等腰直角三角形D在中，若，则必是等边三角形1

3、3给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）ABCD14下列命题中正确的是( )A单位向量的模都相等B长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C若与满足，且与同向,则D两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同15下列命题中正确的是( )A对于实数m和向量,恒有B对于实数和向量,恒有C若,则有D若,则二、平面向量及其应用选择题16如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为60，再由点沿北偏东15方向走到位置，测得，则塔的高是（单位：）（ ）ABCD1017下列说法中说法正确的有（ ）零向量与任一向量平行；若，则；若，则，为一个三角形的三个顶点；一个平面内

4、只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；ABCD18在ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则B的大小是（ ）ABCD19在中，设，则动点M的轨迹必通过的（ ）A垂心B内心C重心D外心20在中，若，则下列结论错误的是（ ）ABCD21在中，若，则为（ ）A正三角形B直角三角形C等腰三角形D无法确定22如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，与交于E点.若，则的长为（ ）ABCD23在中，且，则点P的轨迹一定通过的（ ）A重心B内心C外心D垂心24若向量，满足条件，则的形状是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D不能确定25已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直

5、径，则的最小值为（）A2BC3D26题目文件丢失！27ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，则b=ABC2D328在矩形中，点在边上，若，则的值为（ ）A0BC-4D429已知点O是内一点，满足，则实数m为（ ）A2B-2C4D-430已知菱形ABCD边长为2，B，点P满足，R，若3，则的值为()A BC D31在中，下列命题正确的个数是（ ）；点为的内心，且，则为等腰三角形；，则为锐角三角形A1B2C3D432已知的内角、满足，面积满足，记、分别为、所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD33已知中，则等于（ ）A60B120C30或150D60或12034在中，若，那

6、么一定是（ ）A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形35在中，则的值等于（）ABCD【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、多选题1ACD【分析】由向量的数量积向量的投影基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A，与的夹角为锐角，且(时与的夹角为0)，所以且，故A错误；对于B解析：ACD【分析】由向量的数量积向量的投影基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A，与的夹角为锐角，且(时与的夹角为0)，所以且，故A错误；对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于C，若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；对于

7、D，因为，两边平方得，则，故，而向量的夹角范围为，得与的夹角为30，故D项错误.故错误的选项为ACD故选：ACD【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.2BD【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.【详解】A选项，若与共线，与，都解析：BD【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.【详解】A选项，若与共线，与

8、，都不共线，则与不可能共线，故A错；B选项，因为，,是非零平面向量,若，则，所以，即B正确；C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由不能推出；如与同向，与反向，且，则，故C错；D选项，若，则，所以，即D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.3AC【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利

9、用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得【详解】解：由正弦定理可将条件转化为，因为，故，因为，则，故正确；若，则由正弦定理可知，则，因为，则，故错误；若，根据正弦定理可得，又因为，即，即有，所以，因为，则，故，整理得，即，解得，故，则，即，所以是等边三角形，故正确；若的面积是，即，解得，由余弦定理可得，即设三角形的外接圆半径是，由正弦定理可得，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，故选：AC【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题4ABD【分析】对

10、于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【解析：ABD【分析】对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【详解】对于A，根据余弦函数单调性，可得，故A正确；对于B，若，则，则，即，故B正确；对于C，故C错误；对于D，在为非直角三角形，则，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质考查

11、了推理和归纳的能力5ACD【分析】根据正弦定理的性质即可判断.【详解】对于A，在，由正弦定理得，则，故A正确；对于B，若，则或，所以和不一定相等，故B错误；对于C，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD【分析】根据正弦定理的性质即可判断.【详解】对于A，在，由正弦定理得，则，故A正确；对于B，若，则或，所以和不一定相等，故B错误；对于C，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角，所以，故C正确；对于D，由正弦定理得，则，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.6CD【分析】转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故 即,故选：CD【点睛】本题考查了向

12、量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD【分析】转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故 即,故选：CD【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.7AD【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误.【详解】对于A，故A正确；对于B，故B错误；对于C，,故C错误；对于D，,故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查三角形解析：AD【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误.【详解】对于A，故A正确；对于B，故B错误；对于C，,故C错误；对于D，,故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问

13、题，属于基础题.8ACD【分析】 先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又 ，所以角为解析：ACD【分析】 先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又 ，所以角为锐角，所以B错误；由上可知：边最小，所以三角形中角最小，又，所以，所以由三角形中角最大且角为锐角,可得：，所以，所以C正确；由正弦定理得：，又所以 ，解得：，所以D正确.故选:ACD.【点睛】本题考查了正弦定理和与余

14、弦定理，属于基础题.9ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】根据正弦定理 ,即. , 或.即或解析：ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】根据正弦定理 ,即. , 或.即或,ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选：ABCD【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为18010ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可

15、的答案.【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A正确；对于B选项，由于为三解析：ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A正确；对于B选项，由于为三等分点靠近点的点，所以，故正确；对于C选项，故C错误；对于D选项，故D正确.故选：ABD 【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.11AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不

16、一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若与的方向相反，则与平行，C选项合乎题意；对于D选项，与都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则与不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.12ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到

17、或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，

18、主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.13AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.14AD【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】单位向量的模均为1，故A正确；向量共线包括同向和反向，

19、故B不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C不正确；根据解析：AD【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】单位向量的模均为1，故A正确；向量共线包括同向和反向，故B不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C不正确；根据相等向量的概念知，D正确.故选：AD【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题15ABD【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确对于：若，当 时，无法得到，故不正确对解析：ABD【详解】解：对于：对于实数和向量、，

20、根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确对于：若，当 时，无法得到，故不正确对于：若，则成立，故正确故选：【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况二、平面向量及其应用选择题16B【分析】设塔高为x米，根据题意可知在ABC中，ABC=90，ACB=60，AB=x，从而有BC=，在BCD中，CD=10，BCD=105，BDC=45，CBD=30，由正弦定理可求 BC，从而可求x即塔高【详解】设塔高为x米，根据题意可知在ABC中，ABC=90，ACB=60，AB=x，从而有BC=，A

21、C=，在BCD中，CD=10，BCD=60+30+15=105，BDC=45，CBD=30由正弦定理可得， 可得，BC=.则x=10；所以塔AB的高是10米；故选B【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解17A【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.【详解】对于：零向量与任一向量平行，故正确；对于：若，则，必须有，故错误；对于：，与不共线，故错误；对于：，根据三角不等式的应用，故正确；对于：若，则为一个三角形的三个顶点，也可为，故错误；对于：一个

22、平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故错误.综上：正确.故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题18D【分析】根据正弦定理，可得，令，再结合公式，列出关于的方程，解出后，进而可得到的大小.【详解】解：，即，令，显然，解得，B故选：D.【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k表示，是本题关键19D【分析】根据已知条件可得，整理可得，若为中点，可知，从而可知在中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.【详解】设为中点，则 为的垂直平分线轨迹必过的外心本题正确选项：【点睛】本题考查向

23、量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.20C【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得，由余弦函数性质判断B，然后结合二倍角公式判断CD【详解】设三边所对的角分别为，由，则，正确；由余弦函数性质知，B正确；， 当为钝角时就有，C错误，；，D正确故选：C【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题21C【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得 ，从而可得答案【详解】解：在中， ，为等腰三角形，故选：C【点睛】本题考查三角形形状的

24、判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题22A【分析】由条件求得BCD150，CBE15，故ABE30，可得AEB105计算sin105，代入正弦定理，化简求得AE【详解】由题意可得，ACBCCDDA，BAC45，BCDACB+ACD90+60150又BCD为等腰三角形，CBE15，故ABE451530，故BEC75，AEB105再由 sin105sin（60+45）sin60cos45+cos60sin45，ABE中，由正弦定理可得，AE），故选【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题23A【分析】设，则，再利用平行四边形法则可知，P在中线上，即可得答案；【

25、详解】如图，由平行四边形法则可知，P在中线上，P的轨迹一定通过的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.24C【分析】根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果.【详解】由，可知点是的外心，又，可知点是的重心，所以点既是的外心，又是的重心，故可判断该三角形为等边三角形，故选：C【点睛】本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题.25B【分析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的

26、取值范围求得的最小值.【详解】.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.26无27D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！28C【分析】先建立平面直角坐标系，求出B,E,F坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.【详解】如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，为轴，为轴，则，因此，故选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公

27、式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.29D【分析】将已知向量关系变为：，可得到且共线；由和反向共线，可构造关于的方程，求解得到结果.【详解】由得：设，则 三点共线如下图所示：与反向共线 本题正确选项：【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.30A【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论【详解】法一：由题意可得22cos2，()()()()()(1)(1) 2(1)2(1)422(1)

28、463，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，D(1，)令P(x,0)，由(3，)(x1，)3x333x3得x1.，.故选A.【点睛】1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b2.2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.31B【解析】【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.【详解】逐一考查所给的命题：由向量的减法法则可知：，题中的说法错误；由向量加法的三角形法则可得：，题中的说法正确；因为，即；又因为，所以，即，所以ABC是等腰三角形.题中

29、的说法正确；若，则，据此可知为锐角，无法确定为锐角三角形，题中的说法错误综上可得，正确的命题个数为2.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.32A【分析】由条件化简得出，设的外接圆半径为，根据求得的范围，然后利用不等式的性质判断即可.【详解】的内角、满足，即，即，即，即，即，设的外接圆半径为，则，C、D选项不一定正确；对于A选项，由于，A选项正确；对于B选项，即成立，但不一定成立.故选：A.【点睛】本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基

30、本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题33D【分析】由正弦定理可得，根据，可得B角的大小.【详解】由正弦定理可得，又，或.故选：D【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目.34B【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案【详解】因为，所以所以所以所以,所以,所以.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题35A【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得的值，进而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在中，利用三角形的面积公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故选A.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.