北京市2020年高考6月30日猜题卷（二）数学试题纯word版（解析版）.docx

1、 北京北京市市 2020 年高考年高考 6 月月 30 日日猜题卷（二）猜题卷（二） 数数 学学 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1.已知命题p：x R，e1 x ，那么命题 p的否定为（ ） A. 0 xR， 0 e1 x B. x R，e 1 x C. 0 xR， 0 e1 x D. x R，e 1 x 【答案】A 【解析】原命题是全称命题， 命题p的否定是“ 0 xR， 0 e1 x ”. 故选：A. 2.设集合 2 |340AxZ xx， 2 |e1 x Bx ，则AB=（ ） A. 1,0,1,2 B. 1

2、,2) C. 1,0,1 D. 1,2 【答案】C 【解析】由题意 2 |340| 141,0,1,2,3,4AxZ xxxZx ， 2 |e1|20|2 x Bxx xx x ， 则 1,0,1,2,3,4|21,0,1ABx x . 故选：C. 3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（ ） A. 3 ( )2xfx B. 1 2 ( )log |f xx C. 3 ( )3f xxx D. ( )sinf xx 【答案】C 【解析】对于 A， 3 ()2fxxf x ，不是奇函数，故 A 错误； 对于 B， 1 2 ()log |fxxf x ，所以 f x为偶函数不是

3、奇函数，故 B 错误； 对于 C， 3 ()3fxxxf x ，所以 f x为奇函数；由 2 ()31fxx ，当 0,1x时，()0fx ，故 f x在0,1上单调递减，故 C 正确； 对于 D，由正弦函数的单调性可知，函数( )sinf xx在0,1上单调递增，故 D错误. 故选：C. 4.已知 3 log2a ， 0.2 log0.3b ， 11 tan 3 c ，则a，b，c的大小关系是（ ） A. cba B. bac C. cab D. bca 【答案】A 【 解 析 】 由 对 数 函 数 的 单 调 性 可 知 33 log2log31a ， 0.20.2 0log0.3log

4、0.21b， 由正切函数的性质得 112 tantan30 33 c ， 故01cba . 故选：A. 5.为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”） ，组委会举办了 “西博会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的1565岁市民进 行随机抽样，各年龄段人数情况如下： 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图 第1组 15,25) 10 第2组 25,35) a 第3组 35,45) b 第4组 45,55) c 第5组 55,65 d 根据以上图表中的数据可知图表中a和x的值分别为（ ） A. 20，0.15 B. 15，0.015 C.

5、20，0.015 D. 15，0.15 【答案】C 【解析】由题意可得总人数为 10 100 0.01 10 人，则100 0.02 1020a ， 由各组频率和为 1可得0.01 0.020.030.025101x，解得0.015x . 故选：C. 6.已知向量(2,2 3)a ，若 16 3 a b ，则b在a上的投影是（ ） A. 3 4 B. 3 4 C. 4 3 D. 4 3 【答案】D 【解析】由题意b在a上的投影为 2 2 16 4 3 3 22 3 a b a . 故选：D. 7.某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为（ ） A. 5 B. 3 C. 6 D.

6、 2 3 【答案】B 【解析】将几何体还原在长方体中，如图，则该几何体即为ABCD， 可得最长棱为长方体的一条体对角线 22 2213AC . 故选：B. 8.已知ABC，则“sincosAB ”是“ABC是直角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若sincosAB，则 2 AB 或 2 AB ，不能推出ABC是直角三角形； 若 2 A ，则sincosAB，所以ABC是直角三角形不能推出sincosAB; 所以“sincosA B”是“ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9

7、.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就， 它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是 由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 n a为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列 n a 的第n项，则 100 a的值为（ ） A. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101 【答案】B 【解析】由题意得 1 1a ， 2 312a ， 3 6123a ， 4 101234a 观察规律可得 1 123 2 n n n an ， 所以 100 100 101 5050 2 a . 故选：B. 10.关于函数 2 ( )(1)exf xxax，有以下三个结论： 函数恒有两个零点，且

8、两个零点之积为1； 函数的极值点不可能是1； 函数必有最小值. 其中正确结论的个数有（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】D 【解析】由题意函数 2 ( )1 exf xxax的零点即为函数 2 1yxax的零点， 令 2 10xax ，则 2 40a，所以方程必有两个不等实根 1 x， 2 x，设 12 xx， 由韦达定理可得 12 1x x ，故正确； 22 ( )2e1 e21 e xxx fxxaxaxxaxa ， 当1x 时， 11 ( )121 e20fxaae ，故1不可能是函数 ( )f x的极值 点，故正确； 令( )0fx 即 2 210x

9、axa ， 2 2 24180aaa， 设 2 210xaxa 的两个实数根为 3 x， 4 x且 34 xx， 则当 3 ,xx ， 4, xx时，( )0fx，函数( )f x单调递增， 当 34 ,xx x时，( )0fx，函数( )f x单调递减，所以 4 ()f x为函数极小值； 由知，当 1 ,xx 时，函数( )0f x ，所以当 3 ,xx 时，( )0f x ， 又 (0) 0 x fe ，所以 3 0,x，所以 4 ()00f xf， 所以 4 ()f x为函数的最小值，故正确. 故选：D. 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11.在 5 2 x x

10、的二项展开式中， 3 x的系数为_.（用数字作答） 【答案】80 【解析】由题意 5 2 x x 的通项公式为 55 2 155 2 2 r r rrrr r TC xCx x ， 令5 23r即4r ，则 4 4 5 280C. 故答案为：80. 12.已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足| | 5z ， 6zz，则z的实部 为_，虚部为_. 【答案】 (1). 3 (2). 4 【解析】设0,0zabi ab，则z abi ， 由 6zz 可得26a 即3a ， 则3zbi ，由| 5z 可得 22 35zb，解得4b， 所以34zi ，故z的实部为 3，虚部为 4. 故答案为

11、：3，4. 13.设无穷等比数列 n a的各项为整数， 公比为q， 且| | 1q ， 132 2aaa， 写出数列 n a 的一个通项公式_. 【答案】 1* 2() n n anN （答案不唯一） 【解析】由题意可得数列首项 1 a、公比q均为整数， 由 132 2aaa可得 2 111 2aa qa q， 若 1 0a ，则 2 210qq 无解，不合题意； 若 1 0a ，则 2 210qq ，解得1q . 所以数列 n a首项 1 0a . 所以数列 n a的通项公式可以为 1* 2() n n anN . 故答案为： 1* 2() n n anN （答案不唯一）. 14.在平面直角

12、坐标系中，已知点(0,1)A， (1,1)B ，P为直线AB上的动点，A关于直线OP 的对称点记为Q，则线段BQ的长度的最大值是_. 【答案】 21 【解析】A关于直线OP的对称点记为Q，P为直线AB上的动点， OQOA，Q点轨迹为以O为圆心，OA为半径的圆（不包括点F） ，如图， 又 1 12OB ， max 221BQOA=+=+. 故答案为： 21 . 15.关于曲线 22 :4C xxyy，给出下列三个结论： 曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称； 曲线C恰好经过 4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ； 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2. 其中，正确结论的序号是_.

13、【答案】 【解析】设 ,P a b为曲线上任意一点，则 22 4aabb， 设点P关于原点、x轴、y轴的对称点分别为,Qab、,M ab、,Na b， 因为 22 22 4aabbaabb ； 2 222 4aabbaabb ； 2 222 4aa bbaabb ； 所以点Q在曲线C上，点M、点N不在曲线C上， 所以曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称，故正确； 当0x 时，2y ；当0y ，2x . 此外，当2x 时，2y ；当2x 时，2y . 故曲线过整点0,2，0, 2，2,2，2, 2，2,0，2,0，故错误； 又 2 22 20xyxyxy，所以 22 2 xy xy 恒成立

14、， 由 22 4xxyy可得 22 22 44 2 xy xyxy ，当且仅当x y 时等号成立， 所以 22 8xy，所以曲线上任一点到原点的距离 22 22xy ，故正确. 故答案为：. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.已知：函数 1 ( )cossin()(0) 64 f xxx ； 向量( 3sin,cos2)mxx， 11 ( cos, ) 24 nx，且0，( )f xm n； 函数 1 ( )sin(2)(0,) 22 f xx 的图象经过点 1 (, ) 6 2 请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知_

15、，且函数 ( )f x的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 . （1）若0 2 ，且 1 sin 2 ，求( )f的值； （2）求函数 ( )f x在0,2 上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案不唯一 【解析】方案一：选条件 因为 1 ( )cossin() 64 f xxx 1 cos(sincoscossin) 664 xxx 2 311 sincoscos 224 xxx 31 sin2cos2 44 xx 131 (sin2cos2) 222 xx 1 sin(2) 26 x ， 又 2 2 T ，所以1，所以 1 ( )sin(2) 26

16、 f xx . 方案二：选条件 因为( 3sin,cos2)mxx， 11 ( cos, ) 24 nx， 所以 311 ( )sincoscos2sin(2) 2426 f xm nxxxx . 又 2 2 T ，所以1，所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . 方案三：选条件 由题意可知， 2 2 T ，所以1，所以 1 ( )sin(2) 2 f xx. 又因为函数 ( )f x图象经过点 1 (, ) 6 2 ，所以 11 sin(2) 226 . 因为| 2 ，所以 6 ，所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . （1）因为0 2 ， 1 sin 2 ，所以 6 .

17、所以 11 ( )()sin 6222 ff （2）由 3 222, 262 kxkkZ ， 得 2 , 63 kxkkZ ， 令0k ，得 2 63 x ，令1k ，得 75 63 x ， 所以函数 ( )f x在0,2 上的单调递减区间为 2 , 63 ， 75 , 63 . 17.体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：C）平均在 3637CC之间即为正常体温，超过37.1 C即为发热.发热状态下，不同体温可分成以 下三种发热类型： 低热：37.138T； 高热：3840T； 超高热 （有生命危险） ：40T . 某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治

18、疗. 医生根据病情变化，从 14日开始，以 3 天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午 8:00 服药，护士每天下午 16:00为患者测量腋下体温记录如下： （1）请你计算住院期间该患者体温不低于39 C的各天体温平均值； （2）在19日23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊 项目“项目”的检查，记X为高热体温下做“ 项目”检查的天数，试求X的分布列与数学 期望； （3）抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到 消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗

19、生素治疗 效果最佳，并说明理由. 【答案】 （1）39.55 C； （2）分布列见解析， 6 () 5 E X ； （3）答案不唯一，给出合理理由 即可. 【解析】 （1）由表可知，该患者共 6 天的体温不低于39 C，记平均体温为x， 1 (39.439.740.1 39.939.2+39.0)39.55 C 6 x . 所以，患者体温不低于39 C的各天体温平均值为39.55 C. （2）X的所有可能取值为0，1，2. 30 32 3 5 1 (0) 10 C C P X C ， 21 32 3 5 63 (1) 105 C C P X C ， 12 32 3 5 3 (2) 10 C C

20、 P X C . 则X的分布列为： X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 1336 ()012 105105 E X . （3）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由： “抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0C又回升 0.1C，“抗生素 C”使用期间持续降温 共计 1.2C，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳. 抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03C，方差约为0.0156；“抗生素 C”平均体温 38C， 方差约为0.1067，“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果 明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳. “抗生素 B

21、”治疗效果最佳可使用理由： 自使用“抗生素 B”开始治疗后， 体温才开始稳定下降， 且使用“抗生素 B”治疗当天共降温 0.7 C，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳. 18.在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD.底面ABCD为梯形， /ABCD， ABAD，且1AB ，2PAADDC， 2 2PD . （1）求证：ABPD； （2）求二面角PBCD的余弦值； （3）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行. 【答案】 （1）见解析； （2） 6 6 ； （3）见解析 【解析】 （1）证明：因为平面ABCD 平面PAD， 平面ABCD平

22、面PADAD， AB平面ABCD， ABAD， 所以AB 平面PAD， 又因为PD 平面PAD， 所以ABPD. （2）因为2PAAD， 2 2PD ，所以PAAD. 由（1）得AB 平面PAD，所以ABPA， 故AB，AD，AP两两垂直. 如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 , ,x y z轴， 建立空间直角坐标系Axyz， 则(0,0,2)P，(1,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D. 因为PA 平面BCD，所以平面BCD的一个法向量是(0,0,1)n . 而 (1,0, 2)PB uur ，(2,2, 2)PC ， 设平面PBC的一个法向量为( , , )mx

23、y z， 则由 0, 0, m PB m PC 得 20 2220 xz xyz 取1z ，有(2, 1,1)m ， 所以 16 cos, 66 n m n m n m . 由题知，二面角PBCD为锐角，所以二面角PBCD的余弦值为 6 6 . （3）证明：假设棱BC上存在点F，/ /MFPC，设,0,1BFBC. 依题意，可知(0,0,1)M，(1,2,0)BC ，(1,2 ,0)F， 所以(1,2 , 1)MF，(2,2, 2)PC ，设MFPC， 根据假设，有 12 22 12 ，而此方程组无解，故假设错误，问题得证. 19.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率

24、为 1 2 ， 过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于 A，B两点，当直线l与x轴垂直时， 3AB . （1）求椭圆C的标准方程； （2）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于点F） ，使x轴上任意点到 直线PA，PB的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2）存在点 (4,0)P 【解析】 （1）由题意得 2 222 2 3, 1 , 2 b a c a abc ，解得:2a ， 3b ，1c . 所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy . （2） 依题意， 若直线l的斜率不为零， 可设直线:1(0)l xmym，

25、 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy. 假设存在点P，设 0 (,0)P x，由题设， 0 1x ，且 01 xx， 02 xx. 设直线PA，PB的斜率分别为 1 k， 2 k， 则 1 1 10 y k xx ， 2 2 20 y k xx . 因为 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy在1xmy上， 故 11 1xmy， 22 1xmy， 而x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等等价于“PF平分APB”， 继而等价于 12 0kk. 则 12 12 1020 yy kk xxxx 1221012 1020 () ()() x yx yxyy xxxx 12012

26、 1020 2(1)() 0 ()() my yxyy xxxx . 联立 22 1 43 1 xy xmy ，消去x得： 22 (34)690mymy， 有 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m . 则 00 12 22 10201020 1866246 0 (34)()()(34)()() mmmxmmx kk mxxxxmxxxx ， 即 0 40mmx，故 0 4x 或 0m （舍）. 当直线l的斜率为零时，(4,0)P也符合题意. 故存在点(4,0)P，使得x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等. 20.已知函数 2 ( )e() x f xaxaR.

27、 （1）若曲线( )yf x在(1,(1)f处的切线与x轴平行，求a； （2）已知 ( )f x在0,1上的最大值不小于2，求a的取值范围； （3）写出 ( )f x所有可能的零点个数及相应的a的取值范围.（请直接写出结论） 【答案】 （1） e 2 a ； （2）(,e2； （3）见解析 【解析】 （1）因为 2 ( )e() x f xaxaR，故( )e2 x fxax. 依题意(1)e20fa ，即 e 2 a . 当 e 2 a 时， e (1)0 2 f，此时切线不与x轴重合，符合题意， 因此 e 2 a . （2）当0,1x时， ( )f x最大值不小于 2 2 ( )e2 x

28、f xax在0,1x上有解， 显然0x 不是解，即 2 e2 x a x 在 (0,1x上有解， 设 2 e2 ( ) x g x x ， (0,1x， 则 3 e2e4 ( ) xx x g x x . 设( )e2e4 xx h xx ，(0,1x， 则( )e (1)0 x h xx. 所以( )h x在(0,1单调递减， ( )(1)40h xhe， 所以( )0g x ，所以( )g x在(0,1单调递增， 所以 max ( )(1)2g xge. 依题意需2ae ， 所以a的取值范围为(,e2. （3）当0a 时，( )yf x有 0个零点；当 2 e 0 4 a时， ( )yf

29、x有 1 个零点 当 2 e 4 a 时， ( )yf x有 2 个零点；当 2 e 4 a 时， ( )yf x有 3 个零点. 21.已知集合 12 |( ,),0,1 ,1,2, (2) nni SX Xx xxxin n，对于 12 (,) n Aa aa n S， 12 ( ,) nn Bb bbS，定义A与B的差为 1122 (,) nn ABababab；A与B之间的距离为 1122 ( , )=+ nn d A Bababab. （1）若(0,1)AB，试写出所有可能的A，B； （2）, , n A B CS ，证明：(,)( , )d AC BCd A B； （3）, , n

30、 A B CS ，( , ), ( ,), ( ,)d A B d A C d B C三个数中是否一定有偶数？证明你的结论. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）一定有偶数，理由见解析 【解析】 （1）由题意可得，所有满足要求的A，B为： 0,0A，0,1B ； 0,1A，0,0B ； 1,0A，1,1B ； 1,1A，1,0B . （2）证明：令 12 (,) n Aa aa， 12 ( ,) n Bb bb， 12 ( ,) n Cc cc， 对1,2,in， 当0 i c 时，有 iiiiii acbcab； 当1 i c 时，有1(1) iiiiiiii acbcabab

31、. 所以(,)d AC BC 11112222nnnn acbcacbcacbc 1122 ( , ) nn abababd A B. （3）A，B， n CS，( , )d A B，( ,)d A C，( ,)d B C三个数中一定有偶数. 理由如下： 设 12 (,) n Aa aa， 12 ( ,) n Bb bb， 12 ( ,) nn Cc ccS， ( , )d A Bk，( ,)d A Cl，( ,)d B Ch， 记0(0,0,0) n S，由（2）可知: ( , )(,)(0,)d A Bd AA BAdBAk， ( ,)(,)(0,)d A Cd AA CAdCAl，( ,)(,)d B Cd BA CAh， 所以(1,2, ) ii bain中 1的个数为k，(1,2, ) ii cain中 1的个数为l. 设t是使1 iiii baca成立的i的个数，则2hlkt . 由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数， 即 ( , )d A B，( ,)d A C，( ,)d B C三个数中一定有偶数.