离散傅里叶变换DFT的性质课件.ppt

1、离散傅里叶变换DFT的性质上节回顾DTFT连续采样周期化LN10102/DFTIDFT:()()0,1,11 ()()0,1,1 ()():NknNnNknNnDjNNFTNX kx n WkNx nX kx nX k WnNNWe 1 我们为什么要讨论DFT的性质2 回顾离散时间傅里叶变换DTFT的性质3 DFT的隐含周期性、线性、对称性4 圆周对称性、DFT乘法和圆周卷积5 其他特性讨论DFT的性质有何意义呢？1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取，降低计算的复杂性。例如后面重点学习的F

2、FT算法就利用了DFT的周期性和对称性。离散时间傅里叶变换对（DTFT）：21()2()jjnjjnnx nX eedX ex n e1、周期性()(),()()()()DFTNx nX kx nNx nnX kNX kk 假定有则有对所有的对所有的有没有对此产生疑惑呢？通过上一节对离散时间信号的频域采样与重建可知，DFT对应的时域和频域都是离散的，且只在有限区域上有定义，时域为0,1N-1，频域为0-2。对于 ，可理解为是 的主值序列，一旦对n的取值域不加限制时，xn以N为周期。x n px n ()()()2()()0 2 NDFT()NjjjjX kX eX eX kX eX e 由前可

3、知，是对的采样，是以为周期的周期函数,即是的主值区，上 点等间隔采样。显然，当k超出变换区间时，必然得到0,2 以外区间上的采样，且以 为周期重复出现。1122121 1221122 ()()()()()()()()DFTDFTNNDFTNx nX kx nXkaaa x na x na X ka Xk 如果有 和则对任意常数 和,有2、线性1010()()()01()()()0122:()()cos()sin22 ()()sin()cos12:()()cosRIRINRRInNIRInRRx nxnjxnnNXkXkjXkkNknknD F TXkxnxnNNknknXkxnxnNNID F

4、 TxnXkN 10102()sin122 ()()sin()cosNInNIRInknknXkNNknknxnXkXkNNN3、对称性*10()()=X()()()(),()()()0,122()()()cos()sinlNRRlkx nX NkkXkX NkX kX NkX kx nknknx nxnXkXkNNN 为实序列(1)实序列(2)实偶序列1010()()01()02()()cos 0112()0()()cos 01INnNIkx nx NnnNXkknX kx nkNNknXkx nX knNNN ()x nX k为实偶函数，则也为实偶函数101022:()()cos()sin

5、22 ()()sin()cosNRRInNIRInknknDFTXkxnx nNNknknXkxnx nNN（3）实奇序列1010()()01()02()()sin 0112()0()()sin 01RNnNRkx nx NnnNXkknX kjx nkNNknXkx njX knNNN ()x nX k为实奇函数，则为虚奇函数101022:()()cos()sin22 ()()sin()cosNRRInNIRInknknDFTXkxnx nNNknknXkxnx nNN（4）纯虚序列10102()()sin()()2()()cosNRInINIInknXkx nNx njx nknXkx n

6、N自行查阅并掌握 表7.1(P348)中列出的所有性质()()0()()()0()lllRx nX kX kx nXkX k 如果是奇数，那么，则为实奇函数；另一方面，如果是偶数，那么，则为虚偶函数。4、序列的圆周对称性()()()(n)()()()(n)(),01()()()0,N()=(,)()pplppplppNx nx nx nx n lx nkx nx n kx n lkxnnNx nx nx nx n x n kNx n k 是的周期延拓，现将向右移位 个单位，对应的有限长序列就是的圆周移位其他通常，序列的圆周移位可表示成序号对 求余，可写成对 求余4444424()(2)(0)(

7、2)(2)(1)(1)(3)(2)(0)(0)(3)(1)(1)kNx nxnxxxxxxxxxxxx当和N点序列的圆周移位等价于它的周期延拓的线性移位 序列关于零点对称，称为圆周偶序列:对应于周期序列 为偶序列：序列关于零点反对称，称为圆周奇序列：对应于周期序列 为奇序列：共轭偶序列和共轭奇序列()()11x Nnx nnN()pxn()()()pppx nxnx N n()()11x Nnx nnN()()()pppx nxnx N n()pxn5、两个DFT的乘法和圆周卷积3131331222/11012/220()()()0,1,1()()0,1,1()()0,()()DFT 1,1

8、)()(Njnk NnNjnk NnXkXX kx n ekNXkkx n ekNXkNx nx nkkx nXxNn 假定为长度为 的序列的，与和之间的关系？试着做个猜想 12/33012/1201112/2/2/12000112012()/01()()1()()1 ()()1 ()()Njk m n lNNjkm NkNjkm NkNNNjkn Njkl Njkm NknlNknx mXk eNXk Xk eNx n exl eeNx nxlNe 10Nl21010()/31 ,1 1,11(),()(,)0NkNkNjmkNkn lNNaaaaalmnpNmnpNaaexmx n x 此

9、时为整数其他，120()0,1,1NNnmnmN 上式具有卷积和的形式，包含了序号 ，因而称为圆周卷积。()Nm n在圆周卷积中，折叠和移位(旋转)操作是通过对一个序列的序号做模N运算按照周期方式实现的，而在线性卷积中，不存在模运算。例7.2.1 对下面两个序列进行圆周卷积：12()2,1,2,1 ()1,2,3,4x nx n13120()()()0,1,1NNnx mx n xm nmN可利用圆周序列图来计算注意:序列默认是以逆时针方向画在圆周上的，反转序列则是以顺时针方向画出。以m=0为例，计算出3(0)x3(0)246214x卷积的四个步骤：1、反转序列 2、移位反转后的序列 3、将两

10、个序列点点相乘 4、将乘积序列各值相加注：可自行查阅信号与系统P59-60比较与计算线性卷积的区别例7.2.2 通过DFT和IDFT来计算两个序列对应的圆周卷积序列3()x m12()2,1,2,1 ()1,2,3,4x nx n利用312()()()X kX k Xk32/4/23/2110111132/4/23/22202222()()22(0)6 (1)0 (2)2 (3)0()()1234(0)10 (1)22 (2)2 (3)22 jnkj kj kjknjnkj kj kjknX kx n eeeeXXXXXkx n eeeeXXjXXj解解:计算两个计算两个DFT的的乘积乘积:计

11、算计算 的的IDFT 3123333()()()(0)60 (1)0(2)4(3)0XkX k XkXXXX 3()Xk32/411334403333()()(604)(0)14 (1)16 (2)14 (3)16jnkjnkxnXk eexxxx6、序列的时域反转()(),()()()()DFTNDFTNNNx nX kxnx NnXkX Nk 假如有则有7、序列的圆周时域移位2/()(),()()DFTNDFTNNjkl Nx nX kx nlX k e 假如有则有12/0112/2/0112/2/002()()()()()()()()()Njkn NNNnlNjkn Njkn NNnn

12、llNjkn Njkn NNnNjk mnx n lx N lDFT x n lx n lex n lexnx mn l ex n lex N len e 12/112()/2/2/2/01)/12()00/()()()()()Njkn Nn lNNjk m l Njkl Njkm Njkl NNNl Nm N lNljk m l Nmmmx n l eDFT x n lx m eex m eXx m ek e 8、圆周频域移位（调制）2n/()(),()()DFTNDFTjlNNNx nX kx n eXkl 假如有则有9、复共轭特性*()(),()()()DFTNDFTNNx nX kx

13、nXkXNk 假如有则有Homework1：推导圆周频域移位性质和复共轭性质：推导圆周频域移位性质和复共轭性质*1*0 ()()()()()()()()():()()()DFTDFTNNDFTxyxyNNxyxyNnx nX ky nY krlRkX k Ykrlrlx n ynl 则有为循环互相关序列10、圆周相关性1212()()()()1 ()()()()DFTDFTNNDFTNx nX ky nY kx n x nX kXkN 如果有 则有11、序列的乘积证明:12/31211112/2/2/120001112()/122000()()()11=()()1()()Njkn NnNNNj

14、ln Njmn Njkn NnllNNNjmlk n NlmnXkx n xn eXl eXm eeNNXlXmeN 21010()/31 ,1 1,11(),1 (0,X()NnNnNjm l knNnNNaaaaamaekX lNklpNklpNa 此时为整数其他，120)()k0,1,1NNlXklN1*0112/*2/00112200()()(0)11()()()()1()()()()NxynNNjkl Njkl NxyxynnNNnnx n ynrrlRk eXk Yk eNNy nx nx nXkN证：当11*00()(),()()()()1()()()()D F TD F TNNNNnkx ny nx nXky nYkx nynXk YkN 对 于 复 值 序 列和如 果 有 则 有11、帕塞瓦定理 请大家结合课上学习、课下性质推导及练习题，熟练掌握表7.2（P356）Homework2：P372 7.1 7.2 7.4 7.10仔细看书中的7.2DFT性质列表，与DTFT性质表进行对比1.哪些性质DFT和DTFT是完全相同的？2.哪些性质DFT与DTFT存在一些差别？3.哪些性质是DFT没有的