点与直线的投影课件.ppt

1、教学要求教学要求：1 1、熟练掌握点的三面投影规律及两点的相熟练掌握点的三面投影规律及两点的相对位置对位置；2 2、掌握各种空间直线的投影特性及其基本、掌握各种空间直线的投影特性及其基本作图方法；熟悉点与直线、直线与直线的相对作图方法；熟悉点与直线、直线与直线的相对位置及其判别。位置及其判别。教学教学重点：重点：点的投影规律点的投影规律，点与点、，点与点、点与直线、点与直线、直线与直线的相对位置及其判别。直线与直线的相对位置及其判别。教学教学难点难点：相对位置及其判别相对位置及其判别教学方法：讲授教学方法：讲授+自学自学+实训实训 2.2 2.2 点与直线的投影点与直线的投影本节内容：本节内容

2、：X XY YZ ZO O直角坐标系下的点直角坐标系下的点：点点A A（x x，y y，z z）AX XY YZ ZO OAa aa（x，z）（x，y）（y，z）Pb AP采用三面投影采用三面投影。B1B2B3 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。a 解决办法？解决办法？HWV投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W W面）面）投影轴投影轴oXZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZO

3、Z轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三投影面三投影面互相垂直互相垂直它与坐标系有什么不同？它与坐标系有什么不同？Y点点A A在三投影面体系中的投影在三投影面体系中的投影W WH HV VO OX XZ ZY Ya aa A Aa 点点A A的正面投影的正面投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影规定：规定：空间点空间点用大写字母表示用大写字母表示，如，如A A、B B、C C 等，等，水平水平投影投影用相应的小写字母用相应的小写字母a a、b b、c c表示表示，正面投影正面投影用相应用相应的小写字母加撇表示的

4、小写字母加撇表示，如，如aa、bb、cc，侧面投影侧面投影用用相应的小写字母加两撇表示相应的小写字母加两撇表示，如，如aa、bb、cc。投影面展开投影面展开 a aOX轴，轴，V、H投影投影长对正长对正；aaZ轴，轴，V、W投影投影高平高平齐齐；aayYH，aayYW即即H、W投影投影宽相等宽相等。aax=a az=y=A到到V面的距离面的距离;a ax=a ay=z=A到到H面的距离面的距离;aay=a az=x=A到到W面的距离面的距离。YZaza XYayOaaxaya 点的点的投影规律投影规律：W WH HV VO OX XZ ZY Ya aa A A点的三面投影点的三面投影和和坐标坐

5、标的的关系关系（x，z）（x，y）（y，z）A（x，y，z）a aa（x，y）（x，z）（y，z）若把三个投影面当作空间若把三个投影面当作空间直角坐标面直角坐标面，投影轴当作，投影轴当作直角坐标轴直角坐标轴，则点的空间位置可用其（，则点的空间位置可用其（X X、Y Y、Z Z）三个）三个坐标来确定，坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值点的投影就反映了点的坐标值，其投影，其投影与坐标值之间存在着与坐标值之间存在着对应关系对应关系。a aaxa a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用分规直接量用分规直接量取取a az=aaxa 例例2 2：已知点

6、：已知点A A（1010，1212，1515），），求作求作它的三面影。它的三面影。XZYHYWO分析：分析：A（10，12，15）a aa（10，15）（10，12）（12，15）aa a d d e e f f e f d zxYW YH0 d a a a 点的投影规律点的投影规律:aax=a az=y（A到到V面的距离面的距离）a ax=a ay=z（A到到H面的距离面的距离）aay=a az=x（A到到W面的距离面的距离）a aOX轴，轴，V、H投影投影长对正长对正；aaZ轴，轴，V、W投影投影高平齐高平齐；aayYH，aayYW即即H、W投影投影宽宽相等相等。空间点空间点 点的点的X

7、 X、Y Y、Z Z三个坐标均不为零，其三三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。个投影都不在投影轴上。投影面上的点投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。轴上。投影轴上的点投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。影都与原点重合。各种位置点的投影各种位置点的投影 两点的相对位置指两点

8、两点的相对位置指两点在空间的在空间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：两点间的相对位置可通两点间的相对位置可通过它们的过它们的坐标差坐标差来确定。来确定。x x坐标坐标大大的在的在左左 y y坐标坐标大大的在的在前前z z坐标坐标大大的在的在上上B B点在点在A A点之点之左左、之、之前前、之、之下下。无轴投影图无轴投影图 不画投影轴的投影图，称为不画投影轴的投影图，称为无无轴投影图轴投影图。无轴投影图无轴投影图是根据是根据相对坐标相对坐标来绘制的，其投来绘制的，其投影图仍符合点的影图仍符合点的投影规律。投影规律。例例4 4：已知点已知点A A的三投影，又

9、知另一点的三投影，又知另一点B B对点对点A A的相的相对坐标对坐标X=X=1212，Y=Y=8 8，Z=10Z=10，求点，求点B B的三的三投影投影 。点点A A是参考点，根是参考点，根据相对坐标据相对坐标X X、Y Y、Z Z的正负值，的正负值，可判定点可判定点B B在点在点A A的的右方、后方和上方。右方、后方和上方。侧面投影侧面投影Y Y的量取方向的量取方向 两点的相对位置是根据两点相对于两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或投影面的距离远近（或坐标大小坐标大小）来确）来确定的。定的。X X坐标值大的点在左；坐标值大的点在左；Y Y坐标值大坐标值大的点在前；的点在前；Z

10、Z坐标值大的点在上。坐标值大的点在上。根据一个点相对于另一点上下、左根据一个点相对于另一点上下、左右、前后右、前后坐标差坐标差，可以确定该点的空间，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。位置并作出其三面投影。例例5 5：已知点已知点B B的投影和点的投影和点A A 的两个投影，的两个投影，求点求点A A的第三个投影。的第三个投影。b bb a a解法一：解法一：a b bb a aa yy解法二：解法二：例例5 5：已知点已知点B B的投影和点的投影和点A A 的两个投影，的两个投影，求点求点B B的第三个投影。的第三个投影。重影点：重影点：空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的影面上的投

11、影重合为一投影重合为一点点时，则称此两点为时，则称此两点为该该投影面投影面的的重影点重影点。A A、C C为为H H面的面的重影点重影点A A、C C为哪个投为哪个投影面的影面的重影点重影点呢？呢？a a c c()a c()被挡住的投被挡住的投影加影加()重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，面上的投影，坐标值大的点的投影

12、可见，反之不可见，坐标值大的点的投影可见，反之不可见，不可不可见点的投影加见点的投影加括号括号表示。表示。两点确定一条直线两点确定一条直线，将两，将两点的点的同面投影用直线连接同面投影用直线连接，就，就得到直线在该投影面上的得到直线在该投影面上的投影投影直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性ABab直线直线垂直垂直于投影面于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线直线平行平行于投影面于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABab=AB 实形性实形性直线直线倾斜倾斜于投影面于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短ab=ABcosab=ABcos类似性类似性AB

13、abAMBabmaa a b b b直线投影的基本特性直线投影的基本特性 一般情况下，一般情况下，直线的投直线的投影仍然为直线，特殊情况积影仍然为直线，特殊情况积聚为一点。聚为一点。二、直线在三个投影面中的投影特性二、直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位

14、置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面而而与其余两投影面平行与其余两投影面平行 规定：规定：与与H H面面的夹角为的夹角为；与与V V面面的夹角为的夹角为；与；与W W面面的夹角为的夹角为。b b a a a ab ba a b b 正平线正平线水平线水平线b ba a a aa a b b b b b b a aa a b b b ba a 侧平线侧平线投影面平行线的投影特性：投影面平行线的投影特性：在与线段平行的投影面上的在与线段平行的投影面上的投影反映实长投影反映实长，该线段的投，该线段的投影为倾斜的线段（影

15、为倾斜的线段（反映直线与另两个投影面的反映直线与另两个投影面的倾角倾角）。）。其余两个投影分别其余两个投影分别平行平行于相应的于相应的投影轴投影轴，且都，且都小于实长小于实长。投影特性投影特性：其余两个投影分别平行于相应的投影轴，其余两个投影分别平行于相应的投影轴，且都反映且都反映实长实长 。在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影投影积聚为一点积聚为一点。投影特性：投影特性：三个投影三个投影都是都是倾斜线段倾斜线段，且都，且都小于实长小于实长。如何求实长？如何求实长？ABbbaaCXO|zA-zB|ABab|zA-zB|XaabbAB|zA-zB|abAB|zA-zB|ABbbaaCXO

16、|YA-YB|aXabbabAB|YA-YB|AB|YA-YB|ABab|YA-YB|XZYOABbbabaaZXab”aOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|ABabb Xa bAB。a|zA-zB|ab|yA-yB|怎样在怎样在“原图原图”上求作？上求作？a有两种方法，有两解有两种方法，有两解|yA-yB|a b AB|zA-zB|空间直线上的点：空间直线上的点：直线直线ABAB上上K K点的诸投影必在直线点的诸投影必在直线ABAB的同面的同面投影上，且投影上，且分直线及其投影成定比分直线及其投影成定比。AK：KB=a k ：k b =a k：kb=a k ：k b 定比定理定比定理例

17、例2 2：判断点判断点C C是否在线段是否在线段ABAB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?bXaabc例例3 3：已知点已知点C C 在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正面的正面投影投影。cabacabac解法一：应用解法一：应用定比定理。定比定理。例例3 3：已知点已知点C C 在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正面的正面投影投影。解法一：应用解法一：应用定比定理。定比定理。bXaabc解法二：应用解法二：应用第三投影。第三投影。a b k k bbXaaBC=L

18、例例4 4：已知点已知点C C在线段在线段ABAB上，试作出点上，试作出点C C 的投影，的投影，使使BCBC 的实长等于已知长度的实长等于已知长度L L。cLczB-zAabABC平平行行相相交交交交叉叉垂垂直直相相交交空间两直线的相对位置空间两直线的相对位置平行平行相交相交交叉交叉同面直线同面直线异面直线异面直线垂直相交垂直相交一般相交一般相交垂直交叉垂直交叉一般交叉一般交叉两直线平行两直线平行投影特性：投影特性：空间两直空间两直线平行，则其线平行，则其同面投影同面投影必互必互相平行，反之相平行，反之亦然。亦然。aVHc bcdABCDb d a abcdc a b d 对于对于一般位置直

19、一般位置直线线，只要有，只要有两个两个同面同面投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就两直线就平行平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置直特殊位置直线线，只有两个同面投，只有两个同面投影互相平行，空间直影互相平行，空间直线线不一定平行。不一定平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：ABAB与与CDCD不平行。不平行。例例6 6：判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。作出侧面投影作出侧面投影如何判断？如何判断？HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d b c d a kk k 若空间两直线相若空间两直线相交，交，

20、则其同面投影必则其同面投影必相交，且交点的投影相交，且交点的投影必符合空间点的投影必符合空间点的投影规律规律。交点交点是两直是两直线的线的共有点共有点cabb a c d k kd例例7 7：过过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影d b a abcdc 1(2)3(4)同面投影可能相交，同面投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空不符合空间点的投影规律间点的投影规律。“交点交点”是两直线是两直线上的一对上的一对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。、是面的是面的重影点重影点，、是是H H面的面的

21、重影点重影点。为什么？为什么？两直线相交吗两直线相交吗？123 4 投影特性投影特性：例例8 8：判断图中两直线的相对位置判断图中两直线的相对位置baacddcbX11直线直线ABAB与与CDCD交叉！交叉！可否作侧面投影来判别可否作侧面投影来判别？XOBDACbb aa c cdd(3)4 1(2)431 2 判断两直线重影点的判断两直线重影点的可见性可见性 判断判断重影点重影点的的可见性可见性时，需时，需要看重影点在另要看重影点在另一投影面上的投一投影面上的投影，影，坐标值大的坐标值大的点投影可见点投影可见，反，反之不可见，之不可见，不可不可见点的投影加见点的投影加括括号号表示表示。例例9

22、 9：判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa、是是H H面的面的重影点重影点、是是V V面的面的重影点重影点121(2)3(4)34 直角投影定理：直角投影定理：若直角有一边平行于投影面，若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为则它在该投影面上的投影仍为直角直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB,同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.证明：证明：d abca b c

23、 dABAB为正平线为正平线,正面投影反映正面投影反映直角直角。例例11:11:已知直线已知直线ABAB的两面投影和的两面投影和C C点的水平投影点的水平投影,试过试过C C点作一条直线点作一条直线CECE垂直于垂直于ABAB。cbabaOXeece1e1c1作法一：作法一：作法二：作法二：想一想，想一想，CECE是是不是不是点点C C到直到直线线ABAB的距离的距离？再想想，再想想，为什么为什么有两个距离有两个距离？因为有两解：因为有两解：点点C C与点与点C C1 1。ffOcbaabXcddee例例1212：过点过点E E 作线段作线段ABAB、CD CD 的公垂线的公垂线EFEF。Xa

24、 ab be eLf f ZFE ZFEf 0Lc0cc dd 例例1313：已知菱形已知菱形ABCDABCD的对角线的对角线ABAB的两投影，另一的两投影，另一对角线对角线CDCD长为长为2L,2L,且知其正面投影且知其正面投影的方向，求作菱的方向，求作菱形的两投影。形的两投影。小小 结结 点与直线的投影特性，尤其是点与直线的投影特性，尤其是特殊位特殊位置直线的投影特性置直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的点与直线及两直线的相对位置的判断判断方法及投影特性方法及投影特性。定比定理。定比定理。直角投影定理直角投影定理，即两直线垂直时的投，即两直线垂直时的投影特性。影特性。重点掌握：重点

25、掌握：一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性 一般位置直线一般位置直线三个投影都是倾斜线段，且都小于实长。三个投影都是倾斜线段，且都小于实长。投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映实长和与在其平行的投影面上的投影反映实长和与另两投影面的夹角。另两个投影平行于相应的另两投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。投影轴。投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且平行于相应的投影轴。另两个投影反映实长且平行于相应的投影轴。二、直线上的点二、直线上的点直线上的点的诸投影必在直线的同面投影上，直线

26、上的点的诸投影必在直线的同面投影上，且遵守点的投影规律，反之亦然。且遵守点的投影规律，反之亦然。点分线段及其投影成定比点分线段及其投影成定比定比定理定比定理。三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置 平行平行 相交相交 交叉（交叉（异面异面）同面投影互相平行。同面投影互相平行。同面投影相交，交点是两直线的共有同面投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间点的投影规律点，且符合空间点的投影规律。同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但“交点交点”不符合空间点的投影规律。不符合空间点的投影规律。“交点交点”是两直线是两直线上一对上一对重影点重影点的投影的投影。四、相互垂直的两直线的投影特性四、相互

27、垂直的两直线的投影特性相互垂直的相互垂直的两直线同时平行于某一投影两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。面时，在该投影面上的投影反映直角。相互垂直的相互垂直的两直线中只要有一条平行于两直线中只要有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影就反某一投影面时，在该投影面上的投影就反映直角。映直角。相互垂直的相互垂直的两直线均两直线均为一般位置直线时，在为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都三个投影面上的投影都不反映直角。不反映直角。直角投影定直角投影定理理点的投影点的投影直线的投影和实直线的投影和实长的求作长的求作直线与点、直线直线与点、直线的相对位置的相对位置作业：作业：详见习题集详见习题集