第6章-窄带随机过程要点课件.ppt

1、上海大学通信学院第六章第六章 窄带随机过程窄带随机过程一、窄带随机过程的定义一、窄带随机过程的定义 很多无线电系统的通频带很多无线电系统的通频带 是比较窄的，它们远小于是比较窄的，它们远小于其中心频率其中心频率 ，这种系统只允许输入信号靠近，这种系统只允许输入信号靠近 附近的附近的频率分量通过，故称为频率分量通过，故称为窄带系统窄带系统。其满足：。其满足：0 0,0 一般为高频载波。一般为高频载波。同理，可定义窄带随机过程，即：同理，可定义窄带随机过程，即：&若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波0 附近的一个较窄的频率范围附近的一个较窄的频率

2、范围内，且满足内，且满足0时，则称该过程为时，则称该过程为窄带随机过程窄带随机过程。记为：。记为：Z(t)。0 上海大学通信学院例：图例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数为以窄带随机过程的功率谱密度函数 0问题问题:对应于功率谱密度对应于功率谱密度GZ()的窄带随机过程的窄带随机过程Z(t)的表达的表达 式为何？即式为何？即 。)()(tZGz 上海大学通信学院1.由由 可知可知:若若Gz()占的频带很窄，则占的频带很窄，则ZT()也一定占很窄的也一定占很窄的 频带。频带。2.由频移特性由频移特性(信号与线性系统信号与线性系统上册上册P166-168)可知：可知：Gz()的谱特征实际上

3、是一个具有幅度慢变化的谱特征实际上是一个具有幅度慢变化(窄窄)的随机过程谱特征的随机过程谱特征经移频变换的结果经移频变换的结果。即时域中的一个。即时域中的一个 慢变化信号对一高频慢变化信号对一高频(0)信号的调幅变换。信号的调幅变换。因此，任一窄带随机过程因此，任一窄带随机过程Z(t)可用下式表示：可用下式表示：表达式表达式1：|)(|lim)(2TZEGTTz 0)(),(cos)()(0 tBtttBtZ 引入引入(t)是为了不失一般性的考虑。是为了不失一般性的考虑。式中式中B(t)与与(t)分别称为窄带随机过程分别称为窄带随机过程Z(t)的包络函数的包络函数 与相位函数，且与相位函数，且

4、B(t)和和(t)都是随时间都是随时间 t 慢变化的随机慢变化的随机过程。过程。Z(t)的一个实现（样本函数）如图的一个实现（样本函数）如图6.2所示。所示。上海大学通信学院表达式表达式 2：ttYttXtZ00sin)(cos)()(其中：其中：)(sin)()()(cos)()(ttBtYttBtX)(/)()(tan,)()()(22tXtYttYtXtB 由于由于 与与 正交，正交，故称故称X(t)为为Z(t)的同相分的同相分量量，Y(t)为为Z(t)的正交分量的正交分量。引入表达式。引入表达式 2 的目的是将的目的是将Z(t)分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。分解成两个相互正

5、交的分量，以便于分别分析。t0cos t0sin 上海大学通信学院表达式表达式 1 和表达式和表达式 2 两者间的几何关系：两者间的几何关系：表达式表达式1：表达式表达式2：0)(),(cos)()(0 tBtttBtZ ttYttXtZ00sin)(cos)()(上海大学通信学院噪声通过窄带线性系统形成窄带随机过程的物理现象噪声通过窄带线性系统形成窄带随机过程的物理现象1.输出信号的振荡频率等于窄带系统的谐振频率输出信号的振荡频率等于窄带系统的谐振频率0；2.输出信号的振幅取决于输入脉冲信号的面积。由于输输出信号的振幅取决于输入脉冲信号的面积。由于输 入脉冲信号的面积是随机的，故输出的振幅也

6、是随机的；入脉冲信号的面积是随机的，故输出的振幅也是随机的；3.系统是有耗的，故输出信号是衰减振荡的。系统是有耗的，故输出信号是衰减振荡的。窄带系统的总体输出就是许多个不同时刻输出衰减振窄带系统的总体输出就是许多个不同时刻输出衰减振 荡随机信号的和，荡随机信号的和，即可表示为即可表示为 其中其中 。),(cos)()(ttBtZ )()(,0)(0ttttB 上海大学通信学院 表达式表达式1：表达式表达式2：问题的提出问题的提出：若已知若已知Z(t)的功率谱密度的功率谱密度 或统计特性或统计特性 （讨论平稳窄带过程），则其（讨论平稳窄带过程），则其B(t)与与(t)或或X(t)和和Y(t)的统

7、计特性如何确定呢？的统计特性如何确定呢？)(ZR),(cos)()(0tttBtZ )()(,0)(0ttttB ttYttXtZ00sin)(cos)()()(sin)()()(cos)()(ttBtYttBtX )(/)()(tan,)()()(22tXtYttYtXtB )(ZG上海大学通信学院二、解析信号与希尔伯特变换二、解析信号与希尔伯特变换*1 解析信号的引入解析信号的引入时域实信号时域实信号S(t)()()()(2fjIfRdtetsfStfj )(fS满足共轭对称性，即，满足共轭对称性，即，)()(fSfS 奇函数)()(偶函数),()(，fIfIfRfR 奇函数)(偶函数)(

8、)()()()(22)(，ffSefIfRe)fS()fS(fRfIjfj 由此可知：由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。时域实信号正、负频域的频谱可互求。上海大学通信学院 从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余的，所以只要保留正频域的频谱，记为的，所以只要保留正频域的频谱，记为 ，即可。，即可。)(fS 若只取正频域频谱若只取正频域频谱 ，则，则 ，即，即 不满不满足共轭对称性，且足共轭对称性，且 时域复信号。时域复信号。复信号复信号=实部实部+虚部，虚部，传送二路信号不经济。传送二路信号不经济。信号传输：信号传输：实信号；实

9、信号；信号处理：信号处理：复信号。复信号。问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?)(fS)(fS)(fS)()(fSfS 上海大学通信学院2解析信号的构造解析信号的构造 对给定的时域实信号对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为，设构造的时域复信号为)()()(ts jtstz 其中，其中，为一由为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，构造的信号，其构造方法可为，)(ts即，即，)()()()(thtjststz 变变换换F )(1)()(fjHfSfZ 上海大学通信学院H(f)的设计要求：的设计要求：1要满足使得要满足使得

10、Z(f)只有正频域频谱；只有正频域频谱；2要使要使z(t)信号与信号与s(t)信号的总能量保持不变。信号的总能量保持不变。由此可得，由此可得，)sgn(0,0,00,)(fjfjffjfH tfHFth 1)()(1 。故此，故此，dtsttsts)(11)()(H s(t)，称为称为Hilbert变换。变换。上海大学通信学院 H(f)或或h(t)称为称为Hilbert变换器。它不改变信号的幅频特性，变换器。它不改变信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。只改变信号的相频特性。由此方法构造的复信号称为实信号由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的的解析信号解析信号。写为。写为jtstsA )()

11、(H )(ts。0,00),(0),(2)(1)()(fffSffSfjHfSfSA 11 0)f(Hf10|)f(H|f090090 0)f(H f上海大学通信学院3Hilbert变换的性质变换的性质n 性质性质1.H =。n 性质性质2 若若 ，则，则 H n 性质性质3 和和x(t)的能量及平均功率相等，即的能量及平均功率相等，即)(tx)(tx)()()(txthty )(ty)()()()(txthtxth )(tx dttxdttx)()(22。TTTTTTdttxTdttxT)(21lim)(21lim22上海大学通信学院性质性质4.平稳随机过程平稳随机过程X(t)和其对应的和其

12、对应的Hilbert变换变换)(tX的自相关函数满足：的自相关函数满足：)()(XXRR，)()(XXRR 其中，其中，TTXTXdtttRTR),(21lim)(性质性质5.平稳随机过程平稳随机过程X(t)和其对应的和其对应的Hilbert变换变换)(tX的互相关函数满足：的互相关函数满足：)()(),()(XXXXXXRRRR ，上海大学通信学院 且且)()()()(XXXXXXXRRRR )(XXR为奇函数。即为奇函数。即0)0()0(XXXXRR由此可知，由此可知，X(t)与与)(tX在同一时刻正交。在同一时刻正交。性质性质6.设具有有限带宽设具有有限带宽 的信号的信号)(ta的傅氏变

13、换的傅氏变换)(A，假定，假定 0，则有则有tta0cos)(tta0sin)(tta0sin)(tta0cos)(H H 上海大学通信学院三、窄带随机过程的性质三、窄带随机过程的性质问题：若已知问题：若已知Z(t)的功率谱密度的功率谱密度 或统计特性或统计特性 （讨论平稳窄带过程），则其（讨论平稳窄带过程），则其 和和 或或 和和 的统计特性如何确定呢？的统计特性如何确定呢？)(ZG)(ZR)(t ttYttXtZ00sin)(cos)()(若若Z(t)是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，零均是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，零均 且功率谱密度满足：且功率谱密度满足：其其他他,0,0)(00

14、ZG 0)(tB)(tX)(tY上海大学通信学院则则X(t)和和Y(t)具有下列性质：具有下列性质：性质性质1 X(t)和和Y(t)各自宽平稳且联合宽平稳。各自宽平稳且联合宽平稳。性质性质2 0)()(tYEtXE性质性质3)()()(222tZEtYEtXE 性质性质4 00)cos()(1)(dGRZX性质性质5)()(YXRR 性质性质6 00)sin()(1)(dGRZXY性质性质7)()(),()(YXYXYXXYRRRR上海大学通信学院性质性质8 0)0(,0)()()0(XYYXRtYtXER性质性质9 )()()(00 ZZpXGGLG性质性质10)()(YXGG 性质性质11

15、)()()(00 ZZpYXGGjLG性质性质12),()(YXXYGG 其中，其中，Lp为求等效低通运算。即，令为求等效低通运算。即，令0=0 上海大学通信学院窄带随机过程性质的证明，窄带随机过程性质的证明，p.165168。窄带随机过程的性质的证明与讨论：窄带随机过程的性质的证明与讨论：1.均值均值 ttYEttXEtZE00sin)(cos)()(由由0)(tZE的条件，可知：的条件，可知：0)()(tYEtXE2.相关函数相关函数)(sin)()(cos)(sin)(cos)(),(0000 ttYttXttYttXEttRZ )(sinsin),()(cossin),()(sinco

16、s),()(coscos),(00000000 ttttRttttRttttRttttRYYXXYX上海大学通信学院由由Z(t)的平稳性：的平稳性：可知，可知，Z(t)的自相关函数应该与时间的自相关函数应该与时间 t 无关，而仅与无关，而仅与 有有关。关。即即 t 可为任何值，而不影响可为任何值，而不影响 。故，故，),(ttRZ(1)令令 t=0，可得：，可得：)1(sin)(cos)()(00 XYXZRRR （2）令令 t=/20，可得：，可得：)2(sin)(cos)()(00 YXYZRRR 结论一结论一:若若Z(t)是宽平稳的是宽平稳的,则则X(t)与与Y(t)也是宽平稳的。也是宽

17、平稳的。)(),(ZZRttR 上海大学通信学院v 、以及以及 、的性质：的性质：性质性质1.窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等。窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等。由上述关系式（由上述关系式（2）-（1），可得），可得)3(0sin)()(cos)()(00 XYYXXYRRRR)()(YXRR 性质性质2.同相和正交分量的互相关函数为奇函数。同相和正交分量的互相关函数为奇函数。由式（由式（3）同理可得：）同理可得：)()(YXXYRR 由互相关函数性质：由互相关函数性质：)()(YXXYRR，可得：，可得：)()(XYXYRR)(YR)(XR)(XYR)(YXR上海大学

18、通信学院性质性质3.同一时刻的同一时刻的X(t)与与Y(t)互不相关。互不相关。)(XYR和和)(YXR为奇函数为奇函数0)0()0(YXXYRR 性质性质3.零均窄带平稳随机过程零均窄带平稳随机过程Z(t)、X(t)、Y(t)的方差相同。的方差相同。由（由（1）和）和(2)式式,令令0 ,可得可得:)0()0()0(YXZRRR 若窄带平稳随机过程的均值为零，则可得：若窄带平稳随机过程的均值为零，则可得：222YXZ 上海大学通信学院四四.窄带高斯随机过程窄带高斯随机过程Z(t)1.Z(t)的同相分量的同相分量X(t)和正交分量和正交分量Y(t)的概率分布的概率分布由由ttYttXtZ00s

19、in)(cos)()(，可得：，可得：)()(2)()(02202111tYtZ，ttXtZ，t时时时时 由由Z(t)为高斯的可知：为高斯的可知：X(t1)和和Y(t2)也是高斯随机变量。也是高斯随机变量。又因为高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，而又因为高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，而严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关，即有：严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关，即有：上海大学通信学院 )()()(11tXptXptZp ，t 的任意性。的任意性。)()()(22tYptYptZp ，t 的任意性。的任意性。222)(exp21)()()(ZZtZtYptXptZ

20、p 故，故，其中，其中，可替换为可替换为 或或 。)(tZ)(tY)(tX上海大学通信学院结论二、零均窄带平稳高斯随机过程结论二、零均窄带平稳高斯随机过程Z(t)，其同相分量，其同相分量X(t)和正交分量和正交分量Y(t)同样是平稳高斯随机过程，且具有一般窄带同样是平稳高斯随机过程，且具有一般窄带平稳过程的性质。同时由平稳过程的性质。同时由 可知：同时刻的可知：同时刻的X(t)与与Y(t)互不相关，互不相关，统计独立。统计独立。0)0()0(YXXYRR高高斯斯2Z(t)的包络的包络B(t)和相位和相位(t)的概率分布的概率分布0)(),(cos)()(0 tBtttBtZ 若若Z(t)为零均

21、窄带平稳高斯随机过程，则为零均窄带平稳高斯随机过程，则 22222exp21),(ZttZttYXYXp 。)()(),(,ttttttYpXpYXpYX 统统计计独独立立上海大学通信学院设设B(t)和和(t)的二维概率密度函数为：的二维概率密度函数为：),(ttBp 其中：其中：ttttttttBBYBBX sin),(cos),(则，则，),(),(),(),(ttttttttBYXYXpBp 。tttttttttttttttttttttttBBBBYBXBBYBBXBYX cossinsincos),(),(),(),(),(),(2222exp2),(ZtZtttBBBp ，20,0

22、ttB。上海大学通信学院由边缘分布可得由边缘分布可得0)(tBBt (B(t)的包络的包络)，相位，相位(t)在在0，2上取值。上取值。均均匀匀分分布布令令瑞瑞利利分分布布20,21)exp(21)2(2exp2),()(0,2exp2exp2),()(022022222220222 tZttZtZttttttZtZttZtZtttttdyyBydBBBdBBppBBBdBBdBpBp上海大学通信学院结论三、零均窄带平稳高斯随机过程：结论三、零均窄带平稳高斯随机过程：0)(),(cos)()(0 tBtttBtZ 其包络其包络B(t)服从瑞利分布，相位服从瑞利分布，相位(t)服从均匀分布。服从

23、均匀分布。且且B(t)与与(t)在同一时刻在同一时刻t是统计独立的。是统计独立的。)()(),(ttttpBpBp 有窄带过程，则必存在非窄带过程。因此，相对于窄有窄带过程，则必存在非窄带过程。因此，相对于窄带过程我们可以给非窄带过程下一个粗略的定义，即：带过程我们可以给非窄带过程下一个粗略的定义，即：功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或不满足不满足ffo条件的）随机过程，称为非窄带过程。条件的）随机过程，称为非窄带过程。上海大学通信学院例：例：求求窄带高斯随机过程窄带高斯随机过程包络平方的概率分布。包络平方的概率分布。设包络的平

24、方为：设包络的平方为：2ttBu ，0,ttBu已知：已知：0,2exp)(222 tZtZttBBBBp 。求。求)(tup。tttttududBJuB21,0,2exp2121)()()(22 tttttttuuuuBpJBpup 解：解：上海大学通信学院五、余弦波加窄带高斯过程五、余弦波加窄带高斯过程通信系统接收机前端模型通信系统接收机前端模型)(ts)(ts)(H)()(tstR 信信道道白白高高斯斯噪噪声声带带通通滤滤波波器器n)(tn)(tZ(t)(H 0 0 0上海大学通信学院其中：其中：)cos()(0 tats 是是0，2上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。S(t)为

25、随相余弦信号为随相余弦信号；ttYttXtttBtZNNN000sin)(cos)()(cos)()(22)(,0)(tZDtZE。由此可见，研究余弦信号加窄带高斯过程的重要性。由此可见，研究余弦信号加窄带高斯过程的重要性。Z(t)为零均窄带高斯过程，其为零均窄带高斯过程，其其其中，中，)(sin)()(),(cos)()(ttBtYttBtXNNNN 上海大学通信学院设合成信号：设合成信号：)()()(tZtStR ttYttXtaNN000sin)(cos)()cos()4(sin)(sincos)(cos00ttYattXaNN 其中：其中：为确知量，为确知量，是是0，2上均匀分布的随机

26、变量。上均匀分布的随机变量。令：令：)(sin)(),(cos)(tYatYtXatXNN 则（则（4）式可改写为：）式可改写为：)(cos)(sin)(cos)()(000tttBttYttXtR 其中：其中：)()()()()()(22tXtYarctgttYtXtB。，0,a上海大学通信学院B(t)为为R(t)的包络函数，的包络函数，(t)为为R(t)的相位函数。则的相位函数。则B(t)与与(t)在同一时刻在同一时刻t的包络和相位分别为的包络和相位分别为)5(20,0,22 ttttttttXYarctgBYXB问题：余弦信号加窄带高斯过程之和问题：余弦信号加窄带高斯过程之和R(t)的包

27、络函数的包络函数B(t)和相位函数和相位函数(t)的统计特征如何？的统计特征如何？1.包络函数包络函数B(t)的统计特征的统计特征 若若给定（即给定（即为一确定值），则为一确定值），则,cos)(cos)(atXaEtXEN sin)(atYE 2222)()()()()(tZEtXEtXEtXEtXDNN上海大学通信学院同理，同理，222)()()(tZEtYEtYDNN 在给定在给定的的条件下，条件下，X(t)和和Y(t)在任意时刻在任意时刻t，随机变量，随机变量Xt和和Yt的联合概率密度函数为：的联合概率密度函数为：)sin()cos(21exp21)/,(2222 aYaXYXpttZ

28、tt利用（利用（5）式可得）式可得 ttttttBYBX sincos由此可求出由此可求出)/,(ttBp的表达式如下：的表达式如下：上海大学通信学院 tttttttttttttttBYXpYXBYBXYXpBp )/,()/,()/,()cos(221exp22222ttttaBaBB 上海大学通信学院 tttttttttdaBaBBdBpBp 202222220)cos(exp21exp2)/,()/(0,21exp202222 ttttBaBIaBB 包络的条件概率：包络的条件概率：上式与上式与无关，故可得：无关，故可得：上海大学通信学院 0,21exp)(202222 tttttBaB

29、IaBBBp 上式称为：上式称为：广义瑞利分布或莱斯密度函数广义瑞利分布或莱斯密度函数。若若a=0，则退化为瑞利分布，则退化为瑞利分布。其中，其中，ttdxxI 200cosexp21是是零阶修正贝塞尔函数零阶修正贝塞尔函数。其级数形式为。其级数形式为 02220)!(2)(nnnnxxI。上海大学通信学院a)当当x1时，时，有有xexIx 2)(0 因此当信噪比很大时，包络的概率密度为因此当信噪比很大时，包络的概率密度为 0,21exp2)(222 ttttBaBaBBp 其将其将趋于高斯分布。趋于高斯分布。1)(0 xI上海大学通信学院2.相位函数的统计特征相位函数的统计特征 0)/,()

30、/(ttttdBBpp 代入代入 ，并求积分可得：并求积分可得：)/,(ttBp 22222222)cos(1)(sin2exp22)cos(2exp21)/(ttttaerfaaap)()/(),(ppptt，2020)/(21)()/()(dpdpppttt故，故，相位分布积分较复杂。相位分布积分较复杂。上海大学通信学院小结：小结：sinattYttXtttBtZNNN000sin)(cos)()(cos)()(Z(t)为零均窄带高斯过程，其为零均窄带高斯过程，其 22)(,0)(tZDtZE。1.由由 )(sin)()(cos)(tYatYtXatXNN 可知，可知，X(t)和和Y(t)

31、分别与分别与XN(t)和和YN(t)呈线性关系，而且呈线性关系，而且二者分别是均值为二者分别是均值为 和和 窄带高斯过程；窄带高斯过程；cosa上海大学通信学院2由由 可知，可知，B(t)和和(t)与与X(t)和和Y(t)为非线性关系，令为非线性关系，令 ，则：，则：)()()()()()(22tXtYarctgttYtXtB 222 ar 当当 时，时，B(t)为瑞利分布；为瑞利分布；当当 和和 可比较时，可比较时，B(t)为广义瑞利分布；为广义瑞利分布；当当r较大时，较大时，B(t)趋于正态分布；趋于正态分布；0r22a2 相位相位(t)分布较复杂。当分布较复杂。当r从从0逐渐变大时，逐渐

32、变大时，从均匀从均匀分布逐渐趋向于正态分布。分布逐渐趋向于正态分布。)/(tp上海大学通信学院例：例：余弦信号加窄带高斯随机包络平方的概率分布余弦信号加窄带高斯随机包络平方的概率分布设包络的平方为：设包络的平方为：222)(sin)(cos)()(tYatXatBtUNN 已知：已知：0,21exp)(202222 tttttBaBIaBBBp 求求)(tup。任意时刻任意时刻t的包络平方为：的包络平方为：2ttBu ，0,ttBu。tttttududBJuB21,解：解：上海大学通信学院 0,21exp2121exp2121)()()(2022220222 ttttttttttttuuaIa

33、uuaIauuuuuBpJBpup 上海大学通信学院第六章第六章 内容的基本要求：内容的基本要求：n基本要求：基本要求：掌握解析信号与希尔伯特变换；窄带随机过程的描掌握解析信号与希尔伯特变换；窄带随机过程的描述与性质，窄带高斯过程的包络和相位分布；余弦述与性质，窄带高斯过程的包络和相位分布；余弦加窄带高斯过程的包络和相位分布。加窄带高斯过程的包络和相位分布。n重点及难点：重点及难点：希尔伯特变换及其性质，窄带随机过程的描述与性希尔伯特变换及其性质，窄带随机过程的描述与性质，余弦加窄带高斯过程的包络和相位分布。质，余弦加窄带高斯过程的包络和相位分布。作业：作业：6.1，6.3，6.4，6.5，6.10，6.12。