DSP第二章4 .ppt

1、l时域分析方法l变换域分析方法：连续时间信号与系统Laplace变换Fourier变换离散时间信号与系统z变换Fourier变换1、z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：()()()nnX zZT x nx n z z 是复变量，所在的复平面称为z平面例：123()21 1.5+0.5X zzzzz l对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。l级数收敛的充要条件是满足绝对可和()nnx n zM()()()P zX zQ z令X(z)X(z)=0()0()()()P zQ zP zQ z 则的零点：使的点，即和当阶次高于时X(z)X(z)()0(

2、)()()Q zP zQ zP z 的极点：使的点，即和当阶次高于时12()()0 x nnnnx nn其它21Z ()()nnn nX zx n z其 变换：0Rocz 至少为：Re zIm jz0120nn11(1)111()()(1)(1)nnX zx n zx nzxz22(1)0122(0)(1)(1)()nnxzxzx nzx nz210:0nnRocz 120nn00:0nnRocz 00:0nnRocz 120nn11()()0 x nnnx nnn110Z()()()nnn nnX zx n zx n z其 变换：Roc:0z 前式Roc:xRz 后式110:0:xxnRoc

3、 RznRoc Rz 当时，当时，Re zIm jz0 xRz 包括处10n l 的右边序列，lRoc:l因果序列的z变换必在 处收敛l在 处收敛的z变换，其序列必为因果序列10n xRz Re zIm jz0 xRz 包括处220()()nnx nx nnn201()()()nnnnnzX zx n zx n z其 变换：Roc:0 xzR前式Roc:0z 后式220:00:0 xxnRoczRnRoczR当时，当时，Re zIm jz0 xR20n n为任意值时皆有值10z()()()nnnnX zx n zx n z其 变换：Roc:0 xzR前式Roc:xRz 后式:xxxxxxRRR

4、ocRRRoc RzR当时，当时，Re zIm jz0 xRxR1()()zNx nRn例：求的 变换及其收敛域Re zIm jz0X(z)=()=()nnNnnx n zRn z解：10=Nnnz2 1,.,1rjNzerN零点：01zN极点：（）阶:0Rocz 122111nnnnn nqqqq111Nzz11(1)NNzzz2()()znx na u n例：求的 变换及其收敛域Re zIm jz0a0X(z)=()=()=nnnnnnnnx n za u n za z解：0z 零点：za极点：:Rocza111az11az当时3()(1)znx na un 例：求的 变换及其收敛域Re

5、zIm jz0aX(z)=()=(1)nnnnnx n za unz 解：0z 零点：za极点：:Rocza111111a za zaz11a z当时11=nnnnnna zaz4()znx naa例：求，为实数，求其 变换及其收敛域10X(z)=()=nnnnnnnnnnnx n za zaza z解：10=nnnnnna za z11nnnaza zaz11/azza 1011nnna zaz11azza 1X()az当时，无公共收敛域，不存在Re zIm jz0a1/a211(1)1()11(1)()azzaaX zazazazza当时，0,z 零点：1,za a极点：:1/Rocaza

6、l给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。lX(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列右边序列的z变换收敛域一定在模最大大的有限极点所在圆之外之外左边序列左边序列的z变换收敛域一定在模最小小的有限极点所在圆之内之内Re zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abc实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法：围线积分法（留数法）部分分式法 长除法()()x nIZT X zz反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)cndZZZXjnx1)(21)(1125()2316zX zzzz例：，求z反变换R

7、e zIm jz032 112255516623zzzX zzzzzzz解：111123121 3zzX zzzzz23z1112z2()nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu nun 11()1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz 2()1/44(4)(1/4)zX zzzz例：，求z反变换解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式161()1515(4)()41/41/4X zzzzzzz116()151/44zzX zzz22233416164 44

8、zzzzzzzz 23144zzz1114114161 141 146 zzzzz 12111416zz2123111()141544X zzzzzz 1+16244()()(1)1515nnx nu nun201114154nnnnnnzz1、线性若()()()()ZT ax nby naX zbY zab，为任意常数()()xxZT x nX zRzR()()yyZT y nY zRzRmax(,)min(,)xyxyRRRzRRR则若()()xxZT x nX zRzR()()mZT x nmzX zm为任意整数xxRzR则()()(3)()x nu nu nX z例：，求()()(3)

9、X zZT u nu n解：()(3)ZT u nZT u n3111zzzzzz321(1)zzz2210zzzz若()()xxZT x nX zRzR()nzZT a x nXaa为任意常数xxa Rza R()()nnnnZT a x na x n z()nnzzx nXaaxxxxzRRa Rza Ra则证：若()()xxZT x nX zRzR()()dZT nx nzX zdz xxRzR2()()ZT n x nZT n nx n()()dzZT nx ndzddX zzzdzdz 则同理：若()()xxZT x nX zRzR*()()ZT x nXzxxRzR*()()()(

10、)nnnnZT x nx n zx n z*()XzxxRzR则证：若()()xxZT x nX zRzR1()ZT xnXz11xxzRR则()()()nnnnZT xnxn zx n z证：11()()nnx n zXz111xxxxRRzzRR证：因为x(n)为因果序列()lim()(0)zx nX zx对于因果序列，有0()()()nnnnX zx n zx n z12(0)(1)(2)xxzxzlim()(0)zX zx 设x(n)为因果序列，且X(z)=ZTx(n)的极点处于单位圆以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶极点），则：1lim()lim(1)()nzx nzX z11()

11、lim()lim(1)()Re()znzxx nzX zs X z 设x(n)为因果序列，即x(n)=0，n0()()xZT x nX zzR0()()1nmzZTx mX zzmax,1xzR则设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和：()()xxX zZT x nRzR()()()()Y zZT y nX zH z()()hhH zZT h nRzR()()*()()()my nx nh nx m h nmmax(,)min(,)xhxhRRzRR则且若()()xxX zZT x nRzR()()()()Y zZT y nZT x n h n()()hhH zZT h nRzR()()()y nx nh nxhxhR RzR R11()2czXH v v dvjv max,min,hhxxzzRvRRR则且若()()xxX zZT x nRzR()()hhH zZT h nRzR1xhxhR RR R*1*11()()()2cnx n h nX v Hv dvjv 11max,min,xxhhRvRRR则且