3.2导数的计算参考修改模板范本.doc

1、3.2 导数的计算基本初等函数的导数提出问题已知函数：(1)yf(x)c，(2)yf(x)x，(3)yf(x)x2，(4)yf(x)，(5)yf(x).问题1：函数yf(x)c的导数是什么？提示：0，y0.问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x)1，(x2)2x，() .问题3：函数(2)(3)(5)均可表示为yx(Q*)的形式，其导数有何规律？提示：(x)1x11，(x2)2x21，()(x)x，(x)x1.导入新知基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos

2、xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)化解疑难理解公式时要注意的五点：(1)对于幂函数型函数的导数，x为自变量，为常数，可推广到R也成立；(2)对于正、余弦函数的导数，关键是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数；(3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围；(4)公式是公式的特例，公式是公式的特例；(5)要重视公式和，对指数和对数的运算要准确导数的运算法则提出问题已知f(x)x，g(x).问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？提示：f(x)

3、1，g(x).问题2：试求Q(x)x，H(x)x的导数提示：y(xx)x，1，Q(x)1.同理H(x)1.问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差问题4：f(x)g(x)f(x)g(x)对吗？提示：不对，因为f(x)g(x)1，f(x)g(x)0，而f(x)g(x)1.导入新知导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)；(4)cf(x)cf(x)化解疑难导数的运算法则的认识1在两个函数

4、积与商的导数运算中，不能认为f(x)g(x)f(x)g(x)以及.2注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的导数公式中分子上是“”3(1)f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)；(2)cf(x)cf(x)，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数利用导数公式求函数的导数例1求下列函数的导数：(1)yx20；(2)y；(3)ysin；(4)ylog6x；(5)y .解(1)y(x20)20x20120x19.(2)y(x4)4x414x5.(3)y0.(4)y(log6x).(5)y(x)xx.类题通法求简单函数的导函数有两种基本

5、方法(1)用导数的定义求导，运算比较繁杂(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式活学活用求下列函数的导数：(1)yx6；(2)ylog7x；(3)yx2.解：(1)y(x6)6x5.(2)y(log7x).(3)y(x2)(x2x)(x)x.求导公式及导数运算法则例2求下列函数的导数：(1)yx53x35x26；(2)y(2x23)(3x2)；(3)y；(4)yx3ex；(5)yx2log3x.解(1)y(x53x35x26)(x5)(3x3)(5x2)65x49x210x.(2)法一：y(2x23)(3x2)

6、(2x23)(3x2)4x(3x2)(2x23)318x28x9.法二：y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(3)法一：y.法二：y1，y.(4)y(x3)exx3(ex)3x2exx3exx2(3x)ex.(5)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.类题通法解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量活学活用求下列函数的导数：(1)yx；(2)y；(3)y3xex2xe.解：(1)因为yxx31，所以y3x2.(2)y.(3)y

7、(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.求曲线的切线方程例3(1)曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是_(2)若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10相互垂直，则实数a_.解(1)ysin xex，ycos xex，ycos 0e02，曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程为y12(x0)，即2xy10.(2)因为f(x)sin xxcos x，所以fsincos1.又直线ax2y10的斜率为，所以根据题意得11，解得a2.答案：(1)2xy10(2)2类题通法根据

8、导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标活学活用求曲线y在点处的切线方程解：y，y，y|x2.因此曲线y在点处的切线方程为y(x2)，即6x25y320.典例(12分)已知函数f(x)x3x16，直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标解题流程 随堂即时演练1曲线f(x)xln x在点x1处的切线方程为()Ay2x2By2x2Cyx1 Dyx1解析：选Cyxln x，yln x1，故切线斜率为ky|x11.切线方程为yx1.2函数y的导

9、数是()A. B.C. D.解析：选Ay.3曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_解析：y3ln x4，则曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，故切线方程为y14(x1)，即y4x3.答案：y4x34已知函数f(x)，则f_.解析：f(x)，则f1.答案：15已知抛物线f(x)ax2bx7经过点(1,1)，且在点(1,1)处的切线方程为4xy30，求a，b的值解：因为抛物线f(x)ax2bx7经过点(1,1)，所以1ab7，即ab80.又在点(1,1)处的抛物线的切线方程为4xy30，其斜率为4，f(x)2axb，所以f(1)4，即2ab40.解方程组得课时达标检测一、选择题1给

10、出下列结论：(cos x)sin x；cos；若y，则y； .其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析：选B(cos x)sin x，所以错误；sin，而0，所以错误；2x3，所以错误；x，所以正确2已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3 B2 C1 D.解析：选A因为y，所以由导数的几何意义可知，解得x3(x2不合题意，舍去)3对任意的x，有f(x)4x3，f(1)1，则此函数解析式为()Af(x)x3 Bf(x)x42Cf(x)x31 Df(x)x41解析：选B由f(x)4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x1代入选项中验证可得4已知直线y3x1与曲线ya

11、x33相切，则a的值为()A1 B1 C1 D2解析：选A设切点为(x0，y0)，则y03x01，且y0ax3，所以3x01ax3.对yax33求导得y3ax2，则3ax3，ax1.由可得x01，所以a1.5若f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 015(x)()Asin x Bsin xCcos x Dcos x解析：选D因为f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)cos x，所以循环周期为4，因此f

12、2 015(x)f3(x)cos x.二、填空题6若f(x)ex(cos xsin x)，则f(x)_.解析：f(x)2exsin x.答案：2exsin x7(陕西高考)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_解析：yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1)答案：(1,1)8已知f(x)x22fx，则f_.解析：f(x)2x2f，令x，则f2f，f.答案：三、解答题9求下

13、列函数的导数：(1)y(x1)2(x1)；(2)yx2sin x；(3)y.解：(1)法一：y(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1.法二：y(x22x1)(x1)x3x2x1，y(x3x2x1)3x22x1.(2)y(x2sin x)(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y.10设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR.求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程解：因为f(x)x3ax2bx1，所以f(x)3x22axb.令x1，得f(1)32ab.又f(1)2a，所以32ab2a，解得b3.令x2，得f(2)124ab.又f(2)b，所以124abb，解得a.所以f(x)x3x23x1，从而f(1).又f(1)23，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3(x1)，即6x2y10.12 / 12