第十二章-第5讲-随机变量的均值与方差课件.pptx

1、1创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验考试要求1.离散型随机变量的均值与方差(B级要求)；2.高考中对本讲的考查将以实际问题为背景，结合常见的概率问题，考查离散型随机变量的分布列的求法，期望与方差的求法，多以解答题形式出现，一般中等难度.要加强常见概率模型的理解与识别.第第5讲随机变量的均值与方差讲随机变量的均值与方差2创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验知 识 梳 理1.离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2xixnPp1p2pipn3创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(1)均值称E(X)_为随机变量X的均值或_.它反映了离散型随机变量取值的

2、_.(2)方差x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn平均偏离程度标准差4创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验2.均值与方差的性质(1)E(aXb)_.(2)V(aXb)_(a，b为常数).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)_，V(X)_.(2)若XB(n，p)，则E(X)_，V(X)_.aE(X)ba2V(X)p(1p)npnp(1p)p5创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定.()

3、(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大.()(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关.()(5)若XB(n，p)，则E(X)np.()答案(1)(2)(3)(4)(5)诊 断 自 测6创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验2.(教材改编)某射手射击所得环数的概率分布如下：已知的均值E()8.9，则y的值为_.78910Px0.10.3y可得y0.4.答案0.47创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验3.(2017全国卷)一批产品的二等品率为0.02

4、，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则V(X)_.解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p0.02，n100，则V(X)np(1p)1000.020.981.96.答案1.968创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验4.已知随机变量X8，若XB(10，0.6)，则随机变量的均值E()及方差V()分别是_.解析设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，V(X)，因为XB(10，0.6)，所以E(X)100.66，V(X)100.6(10.6)2.4，故E()E(8X)8E(X)2，V()V(8X)V(X)2.4.答案2和2.49创新设计创新设计考点聚焦

5、突破知识衍化体验5.(2018全国卷改编)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，V(X)2.4，P(X4)P(X6)，则p_.答案0.610创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验考点一离散型随机变量的均值、方差角度1求离散型随机变量的均值、方差(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.11创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验解(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，12创新设计创新设计考点聚焦突破知

6、识衍化体验所以随机变量X的概率分布为(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为13创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验角度2已知离散型随机变量的均值与方差求参数值【例12】(2019扬州模拟)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的概率分布；解(1)由题意得2，3，4，5，6，14创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验所以的概率分布为15创新设计创新设计考

7、点聚焦突破知识衍化体验(2)由题意知的概率分布为解得a3c，b2c，故abc321.16创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验规律方法离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.17创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验【训练1】(2019扬州期末检测)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖

8、的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的概率分布及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.18创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验

9、解(1)设顾客所获的奖励额为X.由题意，得X的所有可能取值为20，60.19创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找均值为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.即X的概率分布为20创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(2

10、0，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的概率分布为21创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的概率分布为由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.22创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验考点二与二项分布有关的均值与方差解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么23创新设计创新设

11、计考点聚焦突破知识衍化体验所以随机变量的概率分布为24创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验规律方法解决与二项分布有关的均值、方差问题关键有二点：一是准确把握概率模型，确认要解决的问题是否属于二项分布问题.二是正确套用概率公式.25创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验解(1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球.26创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(2)的取值为0，1，2，3，27创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验所以的概率分布为28创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验考点三均值与方差在决策中的

12、应用【例31】(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0；当p(0.1，1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验.31创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.32创新设计

13、创新设计考点聚焦突破知识衍化体验【训练31】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数12333创新设计创新设计考点聚

14、焦突破知识衍化体验若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为34创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).安排1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)

15、p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的概率分布如下Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.35创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.安装3台发电机的情形.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5 00031

16、5 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.因此得Y的概率分布为Y3 4009 20015 000P0.20.70.136创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验【训练32】某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：37创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的概率分布为解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的概率分布为38创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.39本讲内容结束